1、备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编(1981-2020)专题22复数B辑历年联赛真题汇编1【1999高中数学联赛(第01试)】已知=arctan512，那么，复数z=cos2+isin2239+i的辐角主值是 .2【1998高中数学联赛(第01试)】设复数z=cos+isin0180，复数z，(1+i)z，2z在复平面上对应的三个点分别是P，Q，R，当P，Q，R不共线时，以线段PQ，PR为两边的平行四边形的第四个顶点为S，则点S到原点距离的最大值是 .3【1997高中数学联赛(第01试)】已知复数z满足2z+1z=1，则z的辐角主值范围是 .4【1996高中数学联赛(第01试)】复平面上
2、非零复数z1，z2在以i为圆心，1为半径的圆上，z1z2的实部为零，z1的辐角主值为16，则z2= .5【1995高中数学联赛(第01试)】设,为一对共轭复数，若|-|=23，且2为实数，则|= .6【1993高中数学联赛(第01试)】二次方程(1-i)x2+(+i)x+(1+i)=0(i为虚数单位，R)有两个虚根的充分必要条件是的取值范围为 .7【1993高中数学联赛(第01试)】若zC，argz2-4=56,argz2+4=3，则z的值是 .8【1992高中数学联赛(第01试)】设z1,z2都是复数，且z1=3,z2=5，z1+z2=7，则argz2z13的值是 .9【1991高中数学联赛
3、(第01试)】设复数z1，z2满足z1=z1+z2=3，z1-z2=33，则log3z1z22000+z1z22000= .10【2019高中数学联赛A卷(第01试)】称一个复数数列zn为“有趣的”，若|z1|=1，且对任意正整数n，均有4zn+12+2znzn+1+zn2=0.求最大的常数C，使得对一切有趣的数列zn及任意正整数m，均有z1+z2+zmC.11【2019高中数学联赛B卷(第01试)】设复数数列zn满足:z1=1，且对任意正整数n，均有4zn+12+2znzn+1+zn2=0.证明:对任意正整数m，均有z1+z2+zm0,Rez20，且Rez12=Rez22=2(其中Re(z)
4、表示复数z的实部)(1)求Rez1z2的最小值；(2)求z1+2+|z2+2|-z1-z2的最小值.13【2014高中数学联赛(第01试)】确定所有的复数，使得对任意复数z1，z2(z1,z21,z1z2)，均有z1+2+z1z2+2+z2.14【2003高中数学联赛(第01试)】设A，B，C分别是复数Z0=ai，Z1=12+bi，Z2=1+ci(其中a，b，c都是实数)对应的不共线的三点，证明：曲线Z=Z0cos4t+2Z1cos2tsin2t+Z2sin4t(tR)与ABC中平行于AC的中位线只有一个公共点，并求出此点.15【1998高中数学联赛(第01试)】已知复数z=1-sin+ico
5、s2b，sin=2aba2+b2(其中02)，An=a2+b2nsin.求证对一切自然数n，An均为整数18【1988高中数学联赛(第01试)】复平面上动点z1的轨迹方程为z1-z0=z1,z0为定点，z00，另一个动点z满足z1z=-1，求点z的轨迹，指出它在复平面上的形状和位置.优质模拟题强化训练1已知复数z1满足(z1-2)(1+i)=1-i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2.则 z1z2 为实数的条件是z2=_.2已知方程x5-x2+5=0的五个根分别为x1,x2,x3,x4,x5，f(x)=x2+1，则k=15f(xk)=_ .3满足(a+bi)6=abi(其中a，bR，i2=1)
6、的有序数组(a，b)的组数是_ .4已知复数z,z1,z2(z1z2)满足z12=z22=-2-23i，且，则|z|=_ .5已知虚数z满足w=z+1z为实数，且-1w2,u=1-z1+z，那么|-u2|的最小值是_ .6已知复数z1,z2,z3使得z1z2为纯虚数，|z1|=|z2|=1，|z1+z2+z3|=1，则|z3|的最小值是_ .7设a是实数，关于z的方程(z22z+5)(z2+2az+1)=0有4个互不相等的根，它们在复平面上对应的4个点共圆，则实数a的取值范围是_.8若复数z满足|z-3|+|z+3|=4，则|z+i|的最大值为_.9在复平面内，复数z1、z2、z3的对应点分别
7、为Z1、Z2、Z3.若|z1|=|z2|=2，OZ1OZ2=0，|z1+z2-z3|=1，则|z3|的取值范围是_.10已知虚数z满足z3+1=0，则(zz-1)2018+(1z-1)2018=_.11设三个复数1、i、z在复平面上对应的三点共线，且|z|=5，则z=_.12设a、b均为实数，复数z1=3a-1+(3-b)i与z2=2-3a+bi的模长相等，且z1z2为纯虚数，则a+b=_.13已知(a+bi)2=3+4i，其中a，bR，i是虚数单位，则a2+b2的值为_.14已知定义在复数集上的函数f(z)=(4+i)z2+pz+q(p、q为复数).若f(1)与f(i)均为实数，则|p|+|
8、q|的最小值为_。15若复数z满足|z-1|+|z-3-2i|=22，则|z|的最小值为_16在复平面内，复数z1,z2,z3对应的点分别为Z1,Z2,Z3若|z1|=|z2|=2,OZ1OZ2=0，|z1+z2-z3|=2，则|z3|的取值范围是_17已知复数z1,z2,z3满足|z1|1,|z2|1，|2z3-(z1+z2)|z1-z2|.则|z3|的最大值是_.18设方程x10+(13x-1)10=0的10个复根分别为x1,x2,x10.则1x1x1+1x2x2+1x5x5=_.19设复数z1=sin+2i，z2=1+cosi(R).则f=13-|z1+iz2|2|z1-iz2|的最小值为_20给定整数a、b、c、d若关于z的方程z4+az3+bz2+cz+d=0的根在复平面上对应四个点A、B、C、D为正方形四个顶点，则正方形ABCD的面积的最小值为_
