1、第四章函数应用1函数与方程1.1利用函数性质判定方程解的存在教学目标：1.理解函数零点的概念，领会函数零点与相应方程解的关系，并且能够利用函数性质判定方程解的存在性.2.通过利用函数性质判定方程解的存在，提高数学知识的综合运用的能力.3.通过学习体会事物间相互转化的辩证思想.教学重难点：重点：函数零点与相应方程解的关系；利用函数性质判定方程解的存在难点：利用函数性质判定方程解的存在教学方法：合作探究课型：新授教学过程：一. 问题引入1.我们学过了一元一次方程、一元二次方程的解法，那么方程 x+1=0是否存在实数解？2.方程x2-x-6=0是否存在实数解？3.方程3x-x2=0是否存在实数解？二
2、. 探究新知1判断方程x2-x-6=0解的存在解：考察函数f(x)=x2-x-6,其图像为抛物线因此，点B(0,-6)与点C(4,6)之间的那部分曲线必然穿过x轴，即在区间(0,4) 至少有一点x1，使f(x1)=0；同样，在区间(-4，0) 至少有一点x2，使f(x2)=0。而方程x2-x-6=0至多有两个解，所以方程x2-x-6=0在(-4,0)、(0,4)内各有一解容易算出：f(0)0, f(-4)0并且函数y=f(x)图像为连续曲线， 1.函数零点的定义：函数y=f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点.思考：零点是点吗？所有函数都有零点吗？函数y=f(x) 零点与对应方程
3、f(x)=0实数解的关系：方程f(x)=0有实数解函数y=f(x) 有零点函数y=f(x) 存在零点就是对应方程f(x)=0存在实数解，那么我们可以通过判定函数y=f(x) 是否存在零点来判定对应方程f(x)=0是否存在实数解。探究新知2函数y=f(x) 满足什么条件存在零点？ 如图1，y=f(x)在闭区间a,b，f(a)f(b)0，函数y=f(x)有零点吗？ 如图2，此时函数y=f(x) 有零点吗？函数y=f(x)在 a,b上连续，能否改为在(a,b)连续归纳总结2.函数零点存在性的判定方法若函数y=f(x)在闭区间a,b上的图像是连续曲线，并且在区间端点处的函数值符号相反，即f(a)f(b
4、)0，则在区间(a,b)内，函数y=f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)=0在(a,b)内至少有一个实数解。注：条件 y=f(x)在 a,b上连续 f(a)f(b)0结论： y=f(x)在(a,b)内至少有一个零点例2 已知函数f(x)=3x-x2.问:方程f(x)=0在区间-1,0内有没有实数解?为什么?解：f(-1)=3-1-(-1)2=0f(0)=30-(0)2=10且函数f(x)=3x-x2的图像是连续曲线f(x)在区间-1,0内有零点即f(x)=0在区间-1,0内有实数解.跟踪练习判定方程4x3+x-15=0在1,2内是否存在实数解？并说明理由.解：构造函数f(x)=4x3+
5、x-15 f(1)=-100且函数f(x)=4x3+x-15图像是连续曲线函数f(x)在区间1,2内有零点.即方程4x3+x-15=0在区间1,2内有实数解.例3 判定方程(x-2)(x-5)=1有两个相异的实数解,且一个大于5,一个小于2. 解:方程(x-2)(x-5)=1可写成(x-2)(x-5)-1=0对应函数为f(x)=(x-2)(x-5)-1函数f(x)图像是连续曲线且 f(5)=(5-2)(5-5)-1=-10f(2)=(2-2)(2-5)-1=-10函数f(x)在（0，2），（5，7）至少各存在一个零点函数f(x)是二次函数函数f(x)与x轴至多有两个交点方程(x-2)(x-5)=1有两个相异的实数解,且一个大于5,一个小于2 三.巩固提高1.观察下面的四个函数图像,指出在区间(-,0)内,方程fi(x)=0(i=1,2,3,4)哪个有解?说明理由.2.指出下列方程存在实数解,并给出一个实数解的存在区间:四.课时小结1.本节课主要学习了哪些知识？ 2.本节课涉及了哪些主要数学思想？五.作业习题4-1A组第1题,B组第1题六.板书设计1.1利用函数性质判定方程解的存在1.函数零点的定义引例练习例2 小结2.函数零点存在性的判定方法例3 作业课后反思
