1、计时双基练二十三解三角形应用举例A组基础必做1某人向正东方向走x km后，向右转150，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好是 km，那么x的值为()A. B2C.或2 D3解析如图所示，设此人从A出发，则ABx，BC3，AC，ABC30，由余弦定理得()2x2322x3cos 30，整理得x23x60，解得x或2。答案C2张晓华同学骑电动自行车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30方向上，15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是()A2 km B3 kmC3 km D2 km解析如图，
2、由条件知AB246，在ABS中，BAS30，AB6，ABS18075105，所以ASB45。由正弦定理知，所以BSsin 303。答案B3一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B，C两点间的距离是()A10海里 B10海里C20海里 D20海里解析如图所示，易知，在ABC中，AB20，CAB30，ACB45，根据正弦定理得，解得BC10(海里)。答案A4如图所示，长为3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的一端A在离堤足C处1.4 m的地面上，另
3、一端B在离堤足C处2.8 m的石堤上，石堤的倾斜角为，则坡度值tan 等于()A. B.C. D.解析由题意，可得在ABC中，AB3.5 m，AC1.4 m，BC2.8 m，且ACB。由余弦定理，可得AB2AC2BC22ACBCcos ACB，即3.521.422.8221.42.8cos()，解得cos ，所以sin ，所以tan 。答案A5.如图，在湖面上高为10 m处测得天空中一朵云的仰角为30，测得湖中之影的俯角为45，则云距湖面的高度为(精确到0.1 m)()A2.7 mB17.3 mC37.3 mD373 m解析在ACE中，tan 30。AE m。在AED中，tan 45，AE m
4、，CM10(2)37.3 m。答案C6.如图所示，某电力公司为保护一墙角处的电塔，计划利用墙OA，OB，再修建一长度为AB的围栏，围栏的造价与AB的长度成正比。现已知墙角AOB的度数为120，当AOB的面积为时，就可起到保护作用。则当围栏的造价最低时，ABO()A30 B45C60 D90解析只要AB的长度最小，围栏的造价就最低。设OAa，OBb，则由余弦定理得AB2a2b22abcos 120a2b2ab2abab3ab(当且仅当ab时取等号)，又SAOBabsin 120，所以ab4。故AB212，即AB的最小值为2。由ab及3ab12，得ab2。由正弦定理得sin ABO。故ABO30，
5、故选A。答案A7甲、乙两楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30，则乙楼的高是_m。解析如图，依题意甲楼高度AB20tan 6020，又CMDB20 m，CAM60，所以AMCM m，所以乙楼的高CD20 m。答案8(20152016学年度上学期衡水中学高三年级六调考试)为了测量一古塔的高度，某人在塔的正西方向的A地测得塔尖的仰角为45，沿着A向北偏东30前进100米到达B地(假设A和B在海拔相同的地面上)，在B地测得塔尖的仰角为30，则塔高为_米。解析如图所示，CD为古塔的高度，设为h m，由题意得，CD平面ABD，AB100米，BAD60，CAD45，CB
6、D30，在CBD中，BDh m，在CAD中，ADh m，在ABD中，BDh m，ADh m，AB100 m，BAD60，3h210 000h22100hcos60，解得h50或100(舍)，塔高为50米。答案509江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45和60，而且两条船与炮台底部连线成30角，则两条船相距_m。解析如图，OMAO tan 4530(m)，ONAO tan 303010(m)，在MON中，由余弦定理得，MN10(m)。答案1010.如图所示，A、C两岛之间有一片暗礁，一艘小船于某日上午8时从A岛出发，以10海里/小时的速度沿
7、北偏东75方向直线航行，下午1时到达B处。然后以同样的速度沿北偏东15方向直线航行，下午4时到达C岛。(1)求A、C两岛之间的距离；(2)求BAC的正弦值。解(1)在ABC中，由已知，得AB10550(海里)，BC10330(海里)，ABC1807515120，由余弦定理，得AC250230225030cos1204 900，所以AC70(海里)。故A、C两岛之间的距离是70海里。(2)在ABC中，由正弦定理，得，所以sinBAC。故BAC的正弦值是。11(2016广州模拟)在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内的海域被设为警戒水域。点E正北55海里处有一个雷达观测站A。某时刻测得一艘匀速
8、直线行驶的船只位于点A的北偏东45且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A的北偏东(45)(其中sin ，090)且与点A相距10海里的位置C。(1)求该船的行驶速度(单位：海里/小时)；(2)若该船不改变航行方向继续行驶。判断它是否会进入警戒水域，并说明理由。解(1)如图所示，AB40，AC10，BAC，sin 。因为090，所以cos ，BC10。所以该船的行驶速度为15海里/小时。(2)解法一：如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，设点B，C的坐标分别是B(x1，y1)，C(x2，y2)，BC与x轴的交点为D。由题设，得x1y1AB40，x2ACcos CAD1
9、0cos(45)30，y2ACsin CAD10sin(45)20。所以过点B，C的直线l的斜率k2，直线l的方程为y2x40。又点E(0，55)到直线l的距离d340AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QEAEAQ15。过点E作EPBC于点P，则EP为点E到直线BC的距离。在RtQPE中，PEQEsin PQEQEsin AQCQEsin(45ABC)1530)，则BN20x，于是AN ，PNNCtan 30x，所以tan ，令t，则1625t240t1，当t时，625t240t1取最小值，因此 的最小值为 ，这时tan 的最大值为(此时x)。故选D。答案D3.如图，经过村庄A有两条夹角为6
10、0的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N(异于村庄A)，要求PMPNMN2(单位：千米)。如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)?解设AMN，在AMN中，。因为MN2，所以AMsin(120)。在APM中，cos AMPcos(60)。AP2AM2MP22AMMPcos AMPsin2(120)422sin(120)cos(60)sin2(60)sin(60)cos(60)41cos(2120)sin(2120)4sin(2120)cos(2120)sin(2150)，(0,120)。当且仅当2150270，即60时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2。
