专题22 双曲线解析.docx

1、专题22 双曲线第一部分 真题分类1（2021江苏高考真题）已知双曲线的一条渐近线与直线平行，则该双曲线的离心率是（ ）ABC2D【答案】D【解析】双曲线的渐近线为，易知与直线平行，所以.故选：D.2（2021天津高考真题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若则双曲线的离心率为（ ）ABC2D3【答案】A【解析】设双曲线与抛物线的公共焦点为，则抛物线的准线为，令，则，解得，所以,又因为双曲线的渐近线方程为，所以，所以，即，所以，所以双曲线的离心率.故选：A.3（2021北京高考真题）双曲线过点，且离心率为，则该双曲线的标准方程

2、为（ ）ABCD【答案】A【解析】，则，则双曲线的方程为，将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故，因此，双曲线的方程为.故选：A.4（2021全国高考真题（理）已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ）ABCD【答案】A【解析】因为，由双曲线的定义可得，所以，；因为,由余弦定理可得，整理可得，所以，即.故选：A5（2020天津高考真题）设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为（ ）ABCD【答案】D【解析】由题可知，抛物线的焦点为，所以直线的方程为，即直线的斜率为，又双曲线的渐近线的方程为，所以，因为，解得故

3、选：6（2019北京高考真题（文）已知双曲线（a0）的离心率是 则a=AB4C2D【答案】D【解析】 双曲线的离心率 ， ， ，解得 ，故选D.7（2019天津高考真题（文）已知抛物线的焦点为，准线为.若与双曲线的两条渐近线分别交于点A和点B，且（为原点），则双曲线的离心率为ABC2D【答案】D【解析】抛物线的准线的方程为，双曲线的渐近线方程为，则有，故选D8（2019全国高考真题（文）设F为双曲线C：（a0，b0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点若|PQ|=|OF|，则C的离心率为ABC2D【答案】A【解析】设与轴交于点，由对称性可知轴，又，为以为直

4、径的圆的半径，为圆心，又点在圆上，即，故选A9（2020北京高考真题）已知双曲线，则C的右焦点的坐标为_；C的焦点到其渐近线的距离是_【答案】 【解析】在双曲线中，则，则双曲线的右焦点坐标为，双曲线的渐近线方程为，即，所以，双曲线的焦点到其渐近线的距离为.故答案为：；.10（2021全国高考真题（理）已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为_【答案】4【解析】由渐近线方程化简得，即，同时平方得，又双曲线中，故，解得（舍去），故焦距.故答案为：4.11（2021全国高考真题）在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为.（1）求的方程；（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线

5、的斜率与直线的斜率之和.【答案】（1）；（2）.【解析】因为，所以，轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支，设轨迹的方程为，则，可得，所以，轨迹的方程为；（2）设点，若过点的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线无公共点，不妨直线的方程为，即，联立，消去并整理可得，设点、，则且.由韦达定理可得，所以，设直线的斜率为，同理可得，因为，即，整理可得，即，显然，故.因此，直线与直线的斜率之和为.第二部分 模拟训练一、单选题1已知双曲线：（，）的离心率为3，双曲线的一个焦点到它的一条渐近线的距离为，则双曲线的方程为（ ）ABCD【答案】C【解析】，设双曲线的焦点，其中 双曲线：的渐近线方程为：，即 所以焦

6、点到渐近线的距离为，所以，故双曲线的方程为：故选：C.2若双曲线与双曲线有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】因为双曲线的渐近线方程为，双曲线的渐近线方程为，为使双曲线与双曲线有公共点，只需，则离心率为.故选：D.3已知平行于轴的一条直线与双曲线相交于，两点，（为坐标原点），则该双曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】D【解析】如图，由题可知，是等边三角形，将点P代入双曲线可得，可得，离心率.故选：D.4已知点，设点满足，且，则的最大值为（ ）A7B8C9D10【答案】C【解析】解：因为，所以点在以，为焦点，实轴长为6，焦距为10的双曲线的右支上，则双曲线的方程为

7、由题意知在圆上，在圆上，如图所示，则当是延长线与圆的交点，是与圆的交点时取等号故选：C5设为坐标原点，直线与双曲线：的两条渐近线分别交于两点，若的面积为，则的焦距的最小值为（ ）ABCD【答案】B【解析】由题意知：双曲线的渐近线方程为，因为D，E分别为直线与双曲线C的渐近线的交点，所以不妨设，故，又由，即，当且仅当等号成立，所以.故选：B.6已知双曲线的左右焦点分别为、，过点的直线交双曲线右支于A、B两点，若是等腰三角形，且，则的周长为（ ）ABCD【答案】A【解析】由双曲线可得设，则，所以，因为是等腰三角形，且，所以，即，所以，所以，在中，由余弦定理得，即，所以，解得，的周长故选：A 二、填

8、空题7已知双曲线，点是直线上任意一点，若圆与双曲线的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围为_.【答案】【解析】如下图所示：直线与双曲线的渐近线平行，且点在直线上，由于圆与双曲线的右支没有公共点，则直线与直线间的距离大于或等于，即，又，.因此，该双曲线离心率的取值范围是.故答案为：.8已知双曲线的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为_【答案】【解析】因为双曲线的离心率为，所以，解得，所以双曲线C的渐近线方程为，故答案为：9点是椭圆与双曲线的一个交点，点是椭圆的两个焦点，则的值为_.【答案】【解析】对于椭圆：焦点在轴上，；对于双曲线：焦点在轴上，；则椭圆与双曲线有相同的焦点坐标，设，不妨设，利用

9、椭圆与双曲线的定义，得到，则，所以，则的值为；故答案为：. 三、解答题10已知实数满足，方程表示双曲线.（1）若，命题为真命题，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】解：（1）当，命题，解得：；（2），命题，命题方程表示双曲线，则，即，因为是的充分不必要条件，则是的真子集，等号不同时成立，解 得，实数的取值范围为.11记到点与直线：的“有向距离”（1）分别求点与到直线：的“有向距离”，由此说明直线与两点、的位置关系（2）求证：到两条相交定直线（，不同时为零）的“有向距离”之积等于非零常数的动点的轨迹为双曲线（3）利用上述（2）结论证明：

10、曲线为双曲线，并求其虚轴长【答案】（1）两点“有向距离”分别为，；说明两点、分别在直线的两侧，且点距离直线较远；（2）证明见解析；（3）证明见解析，虚轴长为【解析】（1）由，说明两点、分别在直线的两侧，且点距离直线较远（2）证明：设两条相交的直线方程为（，不同时为零），动点，则有向距离之积为即即形式显然所求动点的轨迹为双曲线反之，可以证明：双曲线上任意一点到两条渐近线的“有向距离”之积为常数证明：设双曲线方程上任意一点为，它到双曲线的两条渐近线的有向距离之积为（3）因为方程可以变为，所以方程表示为到轴和直线的有向距离之积为的轨迹，因此曲线为双曲线，且该双曲线的两条渐近线为轴和直线因为方程可以变为，所以方程表示的曲线在第一、三象限内，双曲线实轴所在的直线为两条渐近线所夹角的平分线，于是双曲线的实轴所在的直线的方向向量为，斜率为，因此双曲线实轴所在的直线为联立方程求得解得双曲线的顶点为，因此故双曲线的实轴长为设过点作实轴的垂直线交轴为，则直线的方程为令，得因此，故双曲线的虚轴长为