1、2016-2017学年河南省驻马店市西平高中高二（上）第四次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1抛物线y=x2的准线方程为（）ABy=1Cx=1D2命题：“若a2+b2=0（a，bR），则a=b=0”的逆否命题是（）A若ab0（a，bR），则a2+b20B若a=b0（a，bR），则a2+b20C若a0且b0（a，bR），则a2+b20D若a0或b0（a，bR），则a2+b203不等式2x25x30成立的一个必要不充分条件是（）Ax0或x2Bx0或x2Cx1或x4D或x34设等差数列an的公差d0，a1=
2、2d，若ak是a1与a2k+1的等比中项，则k=（）A2B3C6D85双曲线上的点P到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为（）A1或21B14或36C1D216平行六面体ABCDABCD中，若，则x+y+z=（）AB1CD7已知A，B，C，D是抛物线y2=8x上的点，F是抛物线的焦点，且，则的值为（）A2B4C8D168在锐角ABC中，BC=1，B=2A，AC的取值范围为（）ABCD9已知F1，F2分别为双曲线C：=1的左、右焦点，若存在过F1的直线分别交双曲线C的左、右支于A，B两点，使得BAF2=BF2F1，则双曲线C的离心率e的取值范围是（）A（3，+）B（1，2+）C（3，2
3、+）D（1，3）10若实数x，y满足x2+y22x2y+1=0，则的取值范围为（）A0，B，+）C（D，0）11已知椭圆C： +=1（ab0）的离心率为，与双曲线x2y2=1的渐近线有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为（）A +=1B +=1C +=1D +=112已知O为坐标原点，F是椭圆C： +=1（ab0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点P为C上一点，且PFx轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）ABCD二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13命题“xR，ax22ax+30恒成
4、立”是真命题，则实数a的取值范围是14等比数列an的前n项和Sn=3n+t，则t+a3的值为15不等式2x22axy+y20对任意x1，2及任意y1，4恒成立，则实数a取值范围是16双曲线（a0，b0）的右焦点为F，B为其左支上一点，线段BF与双曲线的一条渐进线相交于A，且，（O为坐标原点），则双曲线的离心率为三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知等差数列an首项是1公差不为0，Sn为的前n和，且S22=S1S4（1）求数列an的通项公式；（2）设数列bn=，求数列bn的前n项和Tn18在锐角ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2
5、asinB=b（1）求角A的大小；（2）若a=4，b+c=8，求ABC的面积19命题p：关于x的不等式x2+（a1）x+a20的解集是空集，命题q：已知二次函数f（x）=x2mx+2满足，且当x0，a时，最大值是2，若命题“p且q”为假，“p或q”为真，求实数a的取值范围20如图，圆柱的高为2，底面半径为3，AE，DF是圆柱的两条母线，B、C是下底面圆周上的两点，已知四边形ABCD是正方形（1）求证：BCBE；（2）求几何体AEBDFC的体积；（3）求平面DFC与平面ABF所成的锐二面角的余弦值21已知椭圆C的方程为，双曲线的两条渐进线为l1、l2，且l1与x轴所成的夹角为30，且双曲线的焦距
6、为（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的右焦点F作直线l，l与椭圆C相交于A、B，与圆O：x2+y2=a2相交于D、E两点，当OAB的面积最大时，求弦DE的长22已知E（2，2）是抛物线C：y2=2px上一点，经过点（2，0）的直线l与抛物线C交于A，B两点（不同于点E），直线EA，EB分别交直线2于点M，N（1）求抛物线方程及其焦点坐标；（2）已知O为原点，求证：以MN为直径的圆恰好经过原点2016-2017学年河南省驻马店市西平高中高二（上）第四次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
7、1抛物线y=x2的准线方程为（）ABy=1Cx=1D【考点】抛物线的简单性质【分析】将抛物线化成标准方程，得x2=4y，由此求出=1，即可得到该抛物线的准线方程【解答】解：抛物线方程化简，得x2=4y，2p=4，可得=1，因此抛物线的焦点坐标为F（0，1），准线方程为y=1故选：B2命题：“若a2+b2=0（a，bR），则a=b=0”的逆否命题是（）A若ab0（a，bR），则a2+b20B若a=b0（a，bR），则a2+b20C若a0且b0（a，bR），则a2+b20D若a0或b0（a，bR），则a2+b20【考点】四种命题【分析】根据逆否命题的定义，直接作答即可，注意常见逻辑连接词的否定形式
8、【解答】解：“且”的否定为“或”，因此其逆否命题为“若a0或b0，则a2+b20”；故选D3不等式2x25x30成立的一个必要不充分条件是（）Ax0或x2Bx0或x2Cx1或x4D或x3【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法【分析】根据题意，解不等式2x25x30可得x或x3，可以转化为找x或x3的必要不充分条件条件；依次分析选项即可得答案【解答】解：根据题意，解不等式2x25x30可得x或x3，则2x25x30x或x3；即找x或x3的必要不充分条件条件；依次选项可得：、x1或x4是x或x3成立的必要不充分条件条件，其余三个选项均不符合；故选：C4设等差数列an的公差
9、d0，a1=2d，若ak是a1与a2k+1的等比中项，则k=（）A2B3C6D8【考点】等差数列与等比数列的综合【分析】根据等差数列的通项公式表示出ak与a2k+1，由ak是a1与a2k+1的等比中项，根据等比数列的性质列出关系式，根据公差d不为0，化简后得到关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值【解答】解：由a1=2d，得到ak=2d+（k1）d=（k+1）d，a2k+1=2d+2kd=（2k+2）d，又ak是a1与a2k+1的等比中项，所以（k+1）d2=2d（2k+2）d，化简得：（k+1）2d2=4（k+1）d2，由d0，得到：（k+1）2=4（k+1），即k22k3=0，k为正整数
10、，解得：k=3，k=1（舍去），则k的值为3故选：B5双曲线上的点P到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为（）A1或21B14或36C1D21【考点】双曲线的简单性质【分析】利用双曲线的定义|PF1|PF2|=2a=10，结合题意即可求得答案【解答】解：依题意，设P到另一个焦点的距离为m（m0），P到一个焦点的距离为11，由双曲线的定义得：|11m|=10，m=1或m=21a=5，c=7，不妨设点P为右支上的点，则当点P为右顶点，F1为左焦点时，|PF1|a+c=12，|PF2|75=2，m=1不符合题意，舍去故选D6平行六面体ABCDABCD中，若，则x+y+z=（）AB1CD【考
11、点】平面向量的基本定理及其意义【分析】由题意，结合条件，求出x，y，z，即可得出结论【解答】解：由题意，x=1，y=，z=，x+y+z=1+=故选：A7已知A，B，C，D是抛物线y2=8x上的点，F是抛物线的焦点，且，则的值为（）A2B4C8D16【考点】抛物线的简单性质【分析】由题意可得，焦点F（2，0），准线为x=2，由，可得x1+x2+x3+x4=8，根据抛物线的定义，可得结论【解答】解：抛物线y2=8x的准线方程为x=2，焦点F坐标为（2，0）设A，B，C，D的横坐标分别为x1，x2，x3，x4，则，x12+x22+x32+x42=0，x1+x2+x3+x4=8，根据抛物线的定义，可得
12、=x1+x2+x3+x4+8=16故选：D8在锐角ABC中，BC=1，B=2A，AC的取值范围为（）ABCD【考点】三角形中的几何计算【分析】求出A的范围，由正弦定理可得 b=2cosA，从而得到 b 的取值范围【解答】解：在锐角ABC中，BC=1，B=2A，3 A，且 02A，故A，故 cosA 由正弦定理可得 =，b=2cosA，b，故选：C9已知F1，F2分别为双曲线C：=1的左、右焦点，若存在过F1的直线分别交双曲线C的左、右支于A，B两点，使得BAF2=BF2F1，则双曲线C的离心率e的取值范围是（）A（3，+）B（1，2+）C（3，2+）D（1，3）【考点】双曲线的简单性质【分析】
13、由三角形相似的判断可得BAF2BF2F1，即有=，运用双曲线的定义和最值的性质，结合离心率公式，即可得到所求范围【解答】解：在BAF2和BF2F1中，由BAF2=BF2F1，ABF2=F2BF1，可得BAF2BF2F1，即有=，即为=，=e1，可得AF2=e（BF2BA）c+a，即有BF2BA，又BA2a，即BF22a，BF2取最小值ca时，BF2也要大于BA，可得2aca，即c3a，即有e=3当AF1与x轴重合，即有=，e=，可得e24e1=0，解得e=2+，即有3e2+故选：C10若实数x，y满足x2+y22x2y+1=0，则的取值范围为（）A0，B，+）C（D，0）【考点】直线与圆的位置
14、关系【分析】已知等式变形后得到圆方程，找出圆心与半径，求出圆心（1，1）到直线txy2t+4=0的距离d=1，即可得出所求式子的范围【解答】解：令=t，即txy2t+4=0，表示一条直线；又方程x2+y22x2y+1=0可化为（x1）2+（y1）2=1，表示圆心为（1，1），半径1的圆；由题意直线与圆有公共点，圆心（1，1）到直线txy2t+4=0的距离d=1，t，即的取值范围为，+）故选B11已知椭圆C： +=1（ab0）的离心率为，与双曲线x2y2=1的渐近线有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为（）A +=1B +=1C +=1D +=1【考点】圆锥曲线的共
15、同特征；椭圆的标准方程；双曲线的简单性质【分析】由题意，双曲线x2y2=1的渐近线方程为y=x，根据以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，可得（2，2）在椭圆C： +=1利用，即可求得椭圆方程【解答】解：由题意，双曲线x2y2=1的渐近线方程为y=x以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，故边长为4，（2，2）在椭圆C： +=1（ab0）上又a2=4b2a2=20，b2=5椭圆方程为： +=1故选D12已知O为坐标原点，F是椭圆C： +=1（ab0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点P为C上一点，且PFx轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E若直线BM经过OE的中点，则C的离
16、心率为（）ABCD【考点】椭圆的简单性质【分析】由题意可得F，A，B的坐标，设出直线AE的方程为y=k（x+a），分别令x=c，x=0，可得M，E的坐标，再由中点坐标公式可得H的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值【解答】解：由题意可设F（c，0），A（a，0），B（a，0），令x=c，代入椭圆方程可得y=b=，可得P（c，），设直线AE的方程为y=k（x+a），令x=c，可得M（c，k（ac），令x=0，可得E（0，ka），设OE的中点为H，可得H（0，），由B，H，M三点共线，可得kBH=kBM，即为=，化简可得=，即为a=3c，可得e=故选：A二、填空题（每
17、题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13命题“xR，ax22ax+30恒成立”是真命题，则实数a的取值范围是0a3【考点】命题的真假判断与应用【分析】若命题“xR，ax22ax+30恒成立”是真命题，则a=0，或，解得实数a的取值范围【解答】解：若命题“xR，ax22ax+30恒成立”是真命题，则a=0，或，解得：0a3，故答案为：0a314等比数列an的前n项和Sn=3n+t，则t+a3的值为17【考点】等比数列的性质；等比数列的前n项和【分析】由题意易得数列的前3项，可得t的方程，解t值可得答案【解答】解：由题意可得a1=S1=3+t，a2=S2S1=6，a3=S3S2=18，由等比数
18、列可得36=（3+t）18，解得t=1，t+a3=1+18=17故答案为1715不等式2x22axy+y20对任意x1，2及任意y1，4恒成立，则实数a取值范围是（，【考点】基本不等式在最值问题中的应用【分析】不等式等价变化为2a=+，由x1，2及y1，4，求得4，运用基本不等式求得+的最小值即可【解答】解：依题意，不等式2x22axy+y20等价为2a=+，设t=，x1，2及y1，4，1，即4，t4，则+=t+，t+2=2，当且仅当t=，即t=，4时取等号2a2，即a，故答案为：（，16双曲线（a0，b0）的右焦点为F，B为其左支上一点，线段BF与双曲线的一条渐进线相交于A，且，（O为坐标原
19、点），则双曲线的离心率为【考点】双曲线的简单性质【分析】由题意，OA垂直平分BF，设F（c，0），B（m，n），运用点关于直线对称的特点，由中点坐标公式和垂直的条件解得m，n，代入双曲线方程，化简整理，结合离心率公式计算即可得到【解答】解：由题意，OA垂直平分BF，设F（c，0），B（m，n），则，且n=（c+m），解得m=，n=将B代入双曲线方程，=1，b2=c2a2化简整理可得，c2=5a2，e=，故答案为：三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知等差数列an首项是1公差不为0，Sn为的前n和，且S22=S1S4（1）求数列an的通项公式；（
20、2）设数列bn=，求数列bn的前n项和Tn【考点】数列的求和【分析】（1）由等差数列的性质可得：，即，由a1=1，d0，求得d，根据等差数列通项公式，即可求得数列an的通项公式；（2）由（1）可得=（），利用“裂项法”即可求得数列bn的前n项和Tn【解答】解：（1）由已知，得，即，又由a1=1，d0，d=2，an=1+2（n1）=2n1，数列an的通项公式an=2n1；（2）由（1）可得=（），Tn=b1+b2+b3+bn，=，数列bn的前n项和Tn=18在锐角ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b（1）求角A的大小；（2）若a=4，b+c=8，求ABC的面积【考点
21、】余弦定理；正弦定理【分析】（1）由正弦定理将已知等式化成角的正弦的形式，化简解出sinA=，再由ABC是锐角三角形，即可算出角A的大小；（2）由余弦定理a2=b2+c22bccosA的式子，结合题意化简得b2+c2bc=16，与联解b+c=8得到bc的值，再根据三角形的面积公式加以计算，可得ABC的面积【解答】解：（1）ABC中，根据正弦定理，得，锐角ABC中，sinB0，等式两边约去sinB，得sinA=A是锐角ABC的内角，A=；（2）a=4，A=，由余弦定理a2=b2+c22bccosA，得16=b2+c22bccos，化简得b2+c2bc=16，b+c=8，平方得b2+c2+2bc=
22、64，两式相减，得3bc=48，可得bc=16因此，ABC的面积S=bcsinA=16sin=419命题p：关于x的不等式x2+（a1）x+a20的解集是空集，命题q：已知二次函数f（x）=x2mx+2满足，且当x0，a时，最大值是2，若命题“p且q”为假，“p或q”为真，求实数a的取值范围【考点】复合命题的真假【分析】对于命题p：由关于x的不等式x2+（a1）x+a20的解集是空集，可得0，解得p的取值范围由已知得二次函数f（x）=x2mx+2的对称轴为，可得m，可得f（x）=x23x+2，当x0，a时，最大值是2，由对称性知a的取值范围由命题“p且q”为假，“p或q”为真，可知：p，q恰一
23、真一假【解答】解：对于命题p：关于x的不等式x2+（a1）x+a20的解集是空集，=3a22a+10，解得，由已知得二次函数f（x）=x2mx+2的对称轴为，即，m=3，f（x）=x23x+2，当x0，a时，最大值是2，由对称性知q：0a3由命题“p且q”为假，“p或q”为真，可知：p，q恰一真一假当p真q假时，a1或a3，当p假q真时，综上可得，20如图，圆柱的高为2，底面半径为3，AE，DF是圆柱的两条母线，B、C是下底面圆周上的两点，已知四边形ABCD是正方形（1）求证：BCBE；（2）求几何体AEBDFC的体积；（3）求平面DFC与平面ABF所成的锐二面角的余弦值【考点】二面角的平面角
24、及求法；棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】（1）根据AE底面BEFC，可得AEBC，而ABBC，又AEAB=A满足线面垂直的判定定理所需条件，则BC面ABE，根据线面垂直的性质可知BCBE；（2）根据题意可知四边形EFBC为矩形则BF为圆柱下底面的直径，设正方形ABCD的边长为x，建立方程，解之即可求出经，由此能求出几何体AEBDFC的体积（3）以F为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面DFC与平面ABF所成的锐二面角的余弦值【解答】证明：（1）AE是圆柱的母线，AE底面BEFC，BC面BEFC，AEBC，ABCD是正方形，ABBC，又AEAB=A，BC面ABE，又BE面AB，BCBE（2
25、）四边形AEFD为矩形，且ABCD是正方，EFBC，BCBE，四边形EFBC为矩形，BF为圆柱下底面的直径，设正方形ABCD的边长为x，则AD=EF=AB=x，在直角AEB中，AE=2，AB=x，且BE2+AE2=AB2，得BE2=x24，在直角BEF中，BF=6，EF=x，且BE2+EF2=BF2，得BE2=36x2，解得x=2，即正方形ABCD的边长为2，何体AEBDFC的体积V=SAEBEF=8（3）如图以F为原点建立空间直角坐标系，则A（2，0，2），B（2，4，0），F（0，0，0），C（0，4，0），D（0，0，2），=（2，0，2），=（2，4，0），=（0，4，0），=（0，0
26、，2），设平面ABF的法向量=（x，y，z），则，取x=，得=（，5），设平面CDF的法向量=（1，0，0），设平面DFC与平面ABF所成的锐二面角为，则cos=平面DFC与平面ABF所成的锐二面角的余弦值为21已知椭圆C的方程为，双曲线的两条渐进线为l1、l2，且l1与x轴所成的夹角为30，且双曲线的焦距为（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的右焦点F作直线l，l与椭圆C相交于A、B，与圆O：x2+y2=a2相交于D、E两点，当OAB的面积最大时，求弦DE的长【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程【分析】（1）因为直线l1的倾斜角为30，所以，因为双曲线的焦距为4，所以c=4再根据a，
27、b，c关系，可得椭圆方程（2）设直线l的方程为：my=x2与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，利用弦长公式可得弦弦长|AB|，利用点到直线的距离公式可得原点到直线l的距离d，再利用SOAB=|AB|d，导利用基本不等式求最值，及直线方程，再求圆的弦【解答】解：（1）由已知得，a2+b2=8解得：a2=6，b2=2，椭圆C的方程为：（2）解：椭圆C的右焦点F（2，0），故设直线l的方程为：x=my+2联立得化为（3+m2）y2+4my2=0|AB|=，点O到直线l的距离d=SOAB=|AB|d=，令=t1，SOAB=f（t）=，当t=，即m=1时，OAB的面积最大此时直线l的方程为：x=y+2，
28、圆心O到直线l的距离为d1=，DE=222已知E（2，2）是抛物线C：y2=2px上一点，经过点（2，0）的直线l与抛物线C交于A，B两点（不同于点E），直线EA，EB分别交直线2于点M，N（1）求抛物线方程及其焦点坐标；（2）已知O为原点，求证：以MN为直径的圆恰好经过原点【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的简单性质【分析】（1）将E（2，2）代入y2=2px，可得抛物线方程及其焦点坐标；（2）设出直线方程代入抛物线方程，利用韦达定理及向量知识，计算=0，即可得到结论【解答】（1）解：将E（2，2）代入y2=2px，得p=1所以抛物线方程为y2=2x，焦点坐标为（2）证明：设，M（xM，yM），N（xN，yN），设直线l方程为x=my+2，与抛物线方程联立，消去x，得：y22my4=0则由韦达定理得：y1y2=4，y1+y2=2m直线AE的方程为：，即，令x=2，得同理可得：=4+yMyN=4+=4+=0OMON，即MON为定值2017年4月19日