1、第十章 概 率第二节 古典概型栏目导航123课 堂 考 点 突 破课 时 跟 踪 检 测课 前 基 础 巩 固最新考纲考情分析核心素养1.理解古典概型及其概率计算公式.2.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率.全国卷对古典概型每年都会考查，主要考查实际背景的可能事件，通常与互斥事件、对立事件一起考查在高考中单独命题时，通常以选择题、填空题形式出现，属于中低档题；与统计等知识结合在一起考查时，以解答题形式出现，属中档题.1.数学运算2.数学建模 课 前 基 础 巩 固 1知识梳理1基本事件的特点(1)任何两个基本事件是 1 _的(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的
2、和2古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型(1)试验中所有可能出现的基本事件只有 2 _(2)每个基本事件出现的可能性 3 _互斥有限个相等3如果一次试验中可能出现的结果有 n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1n；如果某个事件 A 包括的结果有 m 个，那么事件 A 的概率 P(A)4 _4古典概型的概率公式P(A)5 _mnA包含的基本事件的个数基本事件的总数常用结论一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型正确地判断试验的类型是解决概率问题的关键基础自测
3、一、疑误辨析1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”()(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个事件是等可能事件()(3)从3，2，1，0，1，2 中任取一数，取到的数小于 0 与不小于 0 的可能性相同()(4)利用古典概型可求：“从长度为 1 的线段 AB 上任取一点 C，求满足|AC|13的概率”是古典概型()答案：(1)(2)(3)(4)二、走进教材2(必修 3P127 例 3 改编)一个盒子里装有标号为 1，2，3，4 的 4 张卡片，随机地抽取 2 张
4、，则取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数的概率是_解析：抽取两张卡片的基本事件有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共 6 个，和为奇数的事件有(1，2)，(1，4)，(2，3)，(3，4)，共 4 个 所求概率为 P4623.答案：233(必修 3P145A 组 T5 改编)袋中装有 6 个白球，5 个黄球，4 个红球，从中任取一球，则取到白球的概率为_解析：从袋中任取一球，有 15 种取法，其中取到白球的取法有 6 种，则所求概率为P 61525.答案：25三、易错自纠4抛掷两枚质地均匀的骰子，向上的点数之差的绝对值为 3 的概率是_解析：抛掷两枚质地均
5、匀的骰子，共有 36 种情况，其中向上的点数之差的绝对值为3 的情况有 1，4；4，1；2，5；5，2；3，6；6，3，共 6 种情况，所以向上的点数之差的绝对值为 3 的概率为 P 63616.答案：165将 2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行，则 2 本数学书相邻的概率为_解析：设两本不同的数学书为 a1，a2，1 本语文书为 b，则在书架上的摆放方法有a1a2b，a1ba2，a2a1b，a2ba1，ba1a2，ba2a1，共 6 种，其中数学书相邻的有 4 种 因此 2 本数学书相邻的概率 P4623.答案：236已知函数 f(x)2x24ax2b2，若 a4，6，8
6、，b3，5，7，则该函数有两个零点的概率为_解析：要使函数 f(x)2x24ax2b2 有两个零点，即方程 x22axb20 有两个不相等的实根，则 4a24b20，又 a4，6，8，b3，5，7，所以 ab，而 a，b的取法共有 339(种)，其中满足 ab 的取法有(4，3)，(6，3)，(6，5)，(8，3)，(8，5)，(8，7)，共 6 种，所以所求的概率为 P6923.答案：23课 堂 考 点 突 破2考点 基本事件与古典概型的判断|题组突破|1下列试验中，古典概型的个数为()向上抛一枚质地不均匀的硬币，观察正面向上的概率；向正方形 ABCD 内，任意抛掷一点 P，点 P 恰与点
7、C 重合；从 1，2，3，4 四个数中，任取两个数，求所取两数之积是 2 的概率；在线段0，5上任取一点，求此点小于 2 的概率A0 B1C2 D3解析：选 B 中，硬币质地不均匀，不是等可能事件，所以不是古典概型；的基本事件都不是有限个，不是古典概型；符合古典概型的特点，是古典概型2有两个正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字 1，2，3，4，下面做投掷这两个正四面体玩具的试验：用(x，y)表示结果，其中 x 表示第 1 个正四面体玩具出现的点数，y 表示第 2 个正四面体玩具出现的点数试写出：(1)试验的基本事件；(2)事件“出现点数之和大于 3”包含的基本事件；(3)事件“出现点数相等”
8、包含的基本事件解：(1)这个试验的基本事件为(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)(2)事件“出现点数之和大于 3”包含的基本事件为(1，3)，(1，4)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)(3)事件“出现点数相等”包含的基本事件为(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)3袋中有大小相同的 5 个白球，3 个黑球和 3 个红球，每球有一个区别于
9、其他球的编号，从中摸出一个球(1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？(2)若按球的颜色作为划分基本事件的依据，有多少个基本事件？以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？解：(1)由于共有 11 个球，每个球有不同的编号，故共有 11 种不同的摸法又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型(2)由于 11 个球共有 3 种颜色，因此共有 3 个基本事件，分别记为 A：“摸到白球”，B：“摸到黑球”，C：“摸到红球”，又因为所有球大小相同，所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为 11
10、1，而白球有 5 个，故一次摸球摸到白球的可能性为 511，同理可知摸到黑球、红球的可能性均为 311，显然这三个基本事件出现的可能性不相等，故以颜色为划分基本事件的依据的概率模型不是古典概型名师点津 一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型考点 古典概型的概率求法【例】(1)(一题多解)甲、乙两人有三个不同的学习小组 A，B，C 可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为()A.13B.14C.15D.16(2)在一个袋子中装有分别标注数字 1，2，3，4，5 的五个小球，这些
11、小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出 2 个小球，则取出的小球标注的数字之和为 3 或 6 的概率是()A.310B.15C.110D.112解析(1)解法一：因为甲、乙两人参加学习小组的所有情况有(A，A)，(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，B)，(B，C)，(C，A)，(C，B)，(C，C)，共 9 种，其中两人参加同一个学习小组的情况有(A，A)，(B，B)，(C，C)，共 3 种，所以两人参加同一个学习小组的概率为 P3913，故选 A.解法二：甲、乙两人参加 A，B，C 三个学习小组的情况共有 339(种)，其中两人参加同一个学习小组的情况有 3 种，则两人参加同一个学
12、习小组的概率为 P3913.故选 A.(2)从袋中随机取出 2 个小球的基本事件总数为 10，取出的小球标注的数字之和为 3的事件为(1，2)，取出的小球标注的数字之和为 6 的事件为(1，5)，(2，4)，所以取出的小球标注的数字之和为 3 或 6 的概率 P1210 310.答案(1)A(2)A|母题探究|(变问法)在本例(2)中，求取出的两个小球标注的数字都不小于 2 的概率解：从袋中随机取出 2 个小球的基本事件总数为 10，其中取出的两个小球标注的数字都不小于 2 的有(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共 6 种，故所求的概率为 P 61035.
13、名师点津 1古典概型概率的求解步骤2基本事件个数的确定方法方法适用条件列表法此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验，也可看成是坐标法树状图法树状图是进行列举的一种常用方法，适合于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件数的探求|跟踪训练|1用 3 种不同颜色给甲、乙两个小球随机涂色，每个小球只涂一种颜色，则两个小球颜色不同的概率为()A.13B.12C.23D.58解析：选 C 设 3 种不同的颜色分别用 A，B，C 表示，则所包含的基本事件为(A，A)，(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，B)，(B，C)，(C，A)，(C，B)，(C，C)，共 9 个，其中两个小球颜色不同的事件有 6 个
14、，则两个小球颜色不同的概率 P6923，故选 C.2从分别写有 1，2，3，4，5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为()A.110B.15C.310D.25解析：选 D 从 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张的情况如图：基本事件总数为 25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为 10，故所求概率 P102525.3若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为 m，n，则点 P(m，n)在直线 xy4 上的概率是()A.13B.14C.16D.112解析：选 D 由题意(m，n)的取值情况有(1，1
15、)，(1，2)，(1，6)；(2，1)，(2，2)，(2，6)；(6，1)，(6，2)，(6，6)，共 36 种，而满足点 P(m，n)在直线 xy4 上的取值情况有(1，3)，(2，2)，(3，1)，共 3 种，故所求概率为 336 112，故选D.4(2019 届长春市质量检测)长春市的“名师云课”活动自开展以来获得广大家长和学子的高度赞誉，在第二季“名师云课”中，数学学科共计推出 36 节云课，为了更好地将课程内容呈现给学生，现对某一时段云课的点击量进行统计如下：点击量0，1 000(1 000，3 000(3 000，)节数61812(1)现从 36 节云课中采用分层抽样的方式选出 6
16、 节，求选出的点击量超过 3 000 的节数；(2)为了更好地搭建云课平台，现将云课进行剪辑，若点击量在区间0，1 000内，则需要花费 40 分钟进行剪辑，若点击量在区间(1 000，3 000内，则需要花费 20 分钟进行剪辑，若点击量超过 3 000，则不需要剪辑，现从(1)中选出的 6 节课中任意选出 2 节课进行剪辑，求剪辑时间为 40 分钟的概率解：(1)根据分层抽样，从 36 节云课中选出 6 节课，其中点击量超过 3 000 的节数为612618122.(2)在(1)中选出的 6 节课中，点击量在区间0，1 000内的有 1 节，点击量在区间(1 000，3 000内的有 3
17、节，点击量在区间(3 000，)内的有 2 节设点击量在区间0，1 000内的 1 节课为 A1，点击量在区间(1 000，3 000内的 3 节课分别为 B1，B2，B3，点击量超过 3 000 的 2 节课分别为 C1，C2.从中选出 2 节课的方式有 A1B1，A1B2，A1B3，A1C1，A1C2，B1B2，B1B3，B1C1，B1C2，B2B3，B2C1，B2C2，B3C1，B3C2，C1C2，共 15 种，其中剪辑时间为 40 分钟的情况有 A1C1，A1C2，B1B2，B1B3，B2B3，共 5 种，则剪辑时间为 40 分钟的概率 P 51513.考点 古典概型的交汇问题 命题角
18、度一 古典概型与平面向量的交汇【例 1】从集合2，3，4，5中随机抽取一个数 a，从集合1，3，5中随机抽取一个数 b，则向量 m(a，b)与向量 n(1，1)垂直的概率为()A.16B.13C.14D.12解析 由题意可知 m(a，b)有(2，1)，(2，3)，(2，5)，(3，1)，(3，3)，(3，5)，(4，1)，(4，3)，(4，5)，(5，1)，(5，3)，(5，5)，共 12 种情况 因为 mn，即 mn0，所以 a1b(1)0，即 ab，满足条件的有(3，3)，(5，5)，共 2 种，故所求的概率为 P 21216.答案 A命题角度二 古典概型与函数(方程)的交汇【例 2】(2
19、019 届益阳、湘潭调研试卷)已知 a2，0，1，2，3，b3，5，则函数 f(x)(a22)exb 为减函数的概率是()A.310B.35C.25D.15解析 若函数 f(x)(a22)exb 为减函数，则 a220，又 a2，0，1，2，3，故只有 a0，a1 满足题意，所以函数 f(x)(a22)exb 为减函数的概率是25.故选C.答案 C命题角度三 古典概型与解析几何的交汇【例 3】将一个骰子投掷两次，第一次出现的点数记为 a，第二次出现的点数记为b，设任意投掷两次使两条不重合的直线 l1：axby2，l2：x2y2 平行的概率为 P1，相交的概率为 P2，若点(P1，P2)在圆(x
20、m)2y2137144的内部，则实数 m 的取值范围是()A.518，B.，718C.718，518D.518，718解析 对于 a 与 b 各有 6 种情形，故总数为 36 种 两条直线 l1：axby2，l2：x2y2 平行的情形有 a2，b4 或 a3，b6，故概率为 P1 236 118；两条直线 l1：axby2，l2：x2y2 相交的情形除平行与重合(a1，b2)即可，所以 P233361112，因为点(P1，P2)在圆(xm)2y2137144的内部，所以118m 211122137144，解得 518m 718，故选 D.答案 D命题角度四 古典概型与统计的交汇【例 4】已知某
21、校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为 240，160，160.现采用分层抽样的方法从中抽取 7 名同学去某敬老院参加献爱心活动(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(2)设抽出的 7 名同学分别用 A，B，C，D，E，F，G 表示，现从中随机抽取 2 名同学承担敬老院的卫生工作试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；设 M 为事件“抽取的 2 名同学来自同一年级”，求事件 M 发生的概率解(1)由已知，得甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为 322，由于采用分层抽样的方法从中抽取 7 名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取 3 人，2 人，2 人(
22、2)从抽出的 7 名同学中随机抽取 2 名同学的所有可能结果为A，B，A，C，A，D，A，E，A，F，A，G，B，C，B，D，B，E，B，F，B，G，C，D，C，E，C，F，C，G，D，E，D，F，D，G，E，F，E，G，F，G，共 21 种由(1)，不妨设抽出的 7 名同学中，来自甲年级的是 A，B，C，来自乙年级的是 D，E，来自丙年级的是 F，G，则从抽出的 7 名同学中随机抽取的 2 名同学来自同一年级的所有可能结果为A，B，A，C，B，C，D，E，F，G，共 5 种所以，事件 M 发生的概率 P(M)521.名师点津 解决古典概型交汇命题的方法解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的
23、知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算提醒 解决古典概型问题时，需注意以下几点：(1)忽视基本事件的等可能性导致错误；(2)列举基本事件考虑不全面导致错误；(3)在求基本事件总数和所求事件包含的基本事件数时，一个按有序，一个按无序处理导致错误|跟踪训练|1将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数 a，b，则直线 axby0 与圆(x2)2y22 有公共点的概率为_解析：依题意知，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a，b)有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(6，6)，共 36 种，其中满足直线 axby0 与圆(x2)2y22
24、 有公共点，即满足2aa2b22，即 ab 的有当 a1 时，b1，2，3，4，5，6，共有 6种；当 a2 时，b2，3，4，5，6，共 5 种，同理当 a3 时，有 4 种，当 a4 时，有3 种，当 a5 时，有 2 种，当 a6 时，有 1 种，故共有 65432121(种)，因此所求的概率 P2136 712.答案：7122(2019 届成都市第一次诊断性检测)某部门为了解该企业在生产过程中的用水量情况，对日用水量做了记录，得到了大量该企业的日用水量的统计数据，从这些统计数据中随机抽取 12 天的日用水量的数据作为样本，得到的统计结果如下表：日用水量(单位：吨)70，80)80，90
25、)90，100频数36m频率n0.5p(1)求 m，n，p 的值；(2)已知样本中日用水量在80，90)内的这 6 个数据分别为 83，85，86，87，88，89.从这 6 个数据中随机抽取 2 个，求抽取的 2 个数据中至少有一个大于 86 的概率解：(1)因为 36m12，所以 m3.由题意知 n 31214，pm12 31214.所以 m3，np14.(2)从这 6 个数据中随机抽取 2 个数据的情况有83，85，83，86，83，87，83，88，83，89，85，86，85，87，85，88，85，89，86，87，86，88，86，89，87，88，87，89，88，89，共 15 种其中 2 个数据都小于或等于 86 的情况有83，85，83，86，85，86，共 3 种故抽取的 2 个数据中至少有一个大于 86 的概率 P1 31545.点此进入该word板块课 时 跟 踪 检 测3谢 谢 观 看 THANKS
