1、专题21.9 二次函数图象与系数的关系选填压轴专项训练（30道）【沪科版】考卷信息：本套训练卷共30题，选择题15题，填空题15题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对二次函数图象与系数的关系的理解！一、单选题1（2023春河北邢台九年级校联考期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a0)的对称轴是直线x=-2，并与x轴交于A，B两点，若OA=5OB，则下列结论：abc0；(a+c)2-b2=0；9a+4c0；因为对称轴是直线x=-2，所以x=-2=-b2a，b=4a0；因为抛物线与y轴的交点位于负半轴，所以c0，所以abc0；故错误；因为OA=5OB，所以，OE=2OB，所以O
2、B=1，即B1,0，所以a+b+c=0，所以c=-5a，所以(a+c)2-b2=(a-5a)2-(4a)2=16a2-16a2=0，即正确；所以9a+4c=9a-20a=-11a0，即正确；根据题意，得抛物线有最小值，且最小值为：y=4ac-b24a=4a(-5a)-(4a)24a=-9a，所以am2+bm+c-9a，所以am2+bm-9a-c=-9a+5a=-4a，所以am2+bm+2b-4a+2b=-4a+8a，所以am2+bm+2b4a，正确故选B【点睛】本题考查了抛物线的图像及其性质、对称轴、最值、抛物线与x轴的交点坐标等知识点，熟练掌握抛物线的性质，特别是对称性和最值是解题的关键2（
3、2023春湖南长沙九年级校考期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（-1，0），其部分图象如图所示，下列结论；4ac0时，x的取值范围是-1x3；当x0，即4ac0时，x的取值范围是-1x3，当x0；9a+3b+c0；若点M12,y1，点52,y2是函数图象上的两点，则y1y2；-35a0其中正确结论有（）A2个B3个C4个D5个【答案】B【分析】结合图象，可得a0，c0，可得abc0，即可判断；根据二次函数的性质，因为12-252-2，故y1y2，即可判断；根据二次函数与y轴的交点B在0,2与0,3之间，可得2c3，用a表示出c，即可判断出
4、-35a0，即可判断，由此即可解答【详解】解：根据图象可得，a0，对称轴为x=2，-b2a=2，即b=-4a0，abc0，故正确； 12-252-2，y1y2，故错误；根据二次函数与y轴的交点B在0,2与0,3之间，可得2c3，当x=-1时，a-b+c=a+4a+c=5a+c=0，即c=-5a，2-5a3，解得-35a0，故正确，综上所述，正确，正确结论有3个故选：B【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键4（2023春山东日照九年级统考期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a0)与x轴交于点(4,0)，其对称轴为直线x=1，结合图象给出下列结论：ab
5、c0；3a+c0；M-3,y1，N3,y2是抛物线上两点，则y1y2；若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=a-5没有实数根，则0a0，对称轴x=-b2a=1，则b=-2a0，c0，所以正确；抛物线对称轴为x=1，与x轴的一个交点为(4,0)，则另一个交点为(-2,0)，于是有4a-2b+c=0，联立4a-2b+c=0b=-2a，解得c=-8ab=-2a，3a+c=3a-8a=-5a0，即y1y2，所以错误；若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=a-5没有实数根，ax2-2ax-8a=a-5，ax2-2ax-9a+5=0，=4a2-4a(-9a+5)0，0a0；b2-4ac0；4a+c0；
6、若t为任意实数，则有a-btat2+b；为图象经过点12,2时，方程ax2+bx+c-2=0的两根为x1,x2x10，利用抛物线的对称轴方程得到b=2a0，利用抛物线与y轴的交点位置得到c0，把b=2a代入得到3a+c0，然后利用a0可对进行判断；利用二次函数当x=-1时有最小值可对进行判断；由于二次函数y=ax2+bx+c与直线y=2的一个交点为12,2，利用对称性得到二次函数y=ax2+bx+c与直线y=2的另一个交点为-52,2，从而得到x1=-52，x2=12，则可对进行判断【详解】解：抛物线开口向上，a0，抛物线的对称轴为直线x=-1，即-b2a=-1，b=2a0，抛物线与y轴的交点
7、在x轴下方，c0，abc0故正确；x=1时，y0，a+b+c0，而b=2a，3a+c0，a0，4a+c0，所以正确；抛物线开口向上，对称轴为直线x=-1，当x=-1时，y有最小值，a-b+cat2+bt+c(t为任意实数），即a-btat2+b，所以正确；图象经过点12,2时，方程ax2+bx+c-2=0的两根为x1,x2x10时，抛物线向上开口；当a1，下列结论：abc0；a+b+c7；当x-12时，y随x的增大而增大；关于x的方程ax2+bx+c=0两根满足x1-x21其中，正确的个数有()A1个B2个C3个D4个【答案】D【分析】抛物线y=ax2+bx+c过点(-1,-1)，(0,1)，
8、表示出c=1，a=b-2，当x=-2时，与其对应的函数值y1，表示出b4，从而判断abc0；a+b+c=b-2+b+1=2b-1，根据b4，即可求出a+b+c7；表示出对称轴x=-b2b-2=-121-2b=14b-2，判断-114b-21，4a-2b+11，4b-2-2b+11，解得：b4，a=b-20，abc0，故正确；a=b-2，c=1，a+b+c=b-2+b+1=2b-1，由（1）得：b42b-17，a+b+c7故正确；由（1）得：a=b-2，c=1，y=ax2+bx+c=b-2x2+bx+1对称轴是x=-b2b-2=-121-2b=14b-2由（1）得：b4，04b1-24b-2-1
9、-114b-20，抛物线y=ax2+bx+c的图象开口向上抛物线y=ax2+bx+c的对称轴-114b-21故正确故选：D【点睛】本题考查二次函数系数的取值范围，对称轴，一元二次方程的解，解题的关键是表示出a，b，c之间的关系7（2023春山东德州九年级统考期末）已知二次函数y=ax2+bx+ca0的图象如图所示，直线x=1是它的对称轴，下列结论：abc0；b2-4ac0；3a+c0；2a-b=0；方程ax2+bx+c-3=0有两个相等的实数根a+c2b2，其中正确的有()A1个B2个C3个D4个【答案】C【分析】根据二次函数的图象与性质求出a0，c0进而可判断；根据根的二次函数与坐标轴的交点
10、可判断；根据特殊点的函数值和二次函数的对称性可判断；对称轴为直线x=-b2a可判断；根据二次函数与一元二次方程的关系可判断；根据特殊点的函数值和平方差公式可判断【详解】抛物线的开口向下：a0，抛物线与y轴交于正半轴：c0；abc0，故正确；对称轴为直线x=1，x=-1与x=3时y的值相等，x=1时，y0，x=3时，9a+3b+c0，b=-2a，9a-6a+c0，3a+c0,a-b+c0，a+c-b=a+b+ca-b+c0，a+c-3b；（3）7a-3b+2c0；（4）若点A-3,y1、点B-12,y2、点C7,y3在该函数图象上，则y1y3y2；（5）若方程a(x+1)(x-5)=-3的两根为
11、x1和x2，且x1x2，则x1-150，即9a+c-3b；由图象过点-1,0，知a-b+c=0，易得c=-5a，再根据抛物线开口向下得a0，可得7a-3b+2c=9a0，即：9a+3b+c0，9a+c-3b，故正确；图象过点-1,0，a-b+c=0又4a+b=0b=-4a，a+4a+c=0，即：c=-5a7a-3b+2c=7a+12a-10a=9a抛物线开口向下，a0，7a-3b+2c=9a0，故错误，抛物线的对称轴为直线x=2，C7,y3在图象上的对称轴点坐标为：C-3,y3A-3,y1y1=y3而-3-12在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，y1=y3y2，故错误，y=ax2+bx+c=a
12、x2-4ax-5a=ax2-4x-5=ax+1x-5则：方程a(x+1)(x-5)=0的两根为x=-1或x=5，交抛物线与x的两交点的横坐标，过y=-3作x轴的平行线，直线y=-3与抛物线的交点的横坐标为方程的两根，依据函数图象可知：x1-150；（2）2a=b；（3）点-72,y1、-32,y2、54,y3是该抛物线上的点，则y1y2y3；（4）3b+2cb2，其中正确结论的个数是（）A2B3C4D5【答案】C【分析】由抛物线与x轴有两个不相同的交点结合根的判别式即可得出（1）正确；根据抛物线的对称轴为x=-1，即可得出b=2a，即（2）正确；根据抛物线的对称性找出点(-134,y3)在抛物
13、线上，再结合抛物线对称轴左边的单调性，即可得出（3）错误；由x=-3时，y0，即可得出3a+c0，结合b=2a，即可得出（4）正确；由方程at2+bt+a=0中=b2-4aa=0结合a0，即可得出抛物线y=at2+bt+a中y0，由此即可得出（5）正确；先根据因式分解得到a+c2-b2 =3a+cc-a，再求出a+c2-b20，（1）正确；抛物线y=ax2+bx+c(a0)的对称轴为x=-1，-b2a=-1，2a=b，（2）正确；抛物线的对称轴为x=-1，点(54,y3)在抛物线上，(-134,y3)-72-134-32，且抛物线对称轴左边图象y值随x的增大而增大，y1y3y2（3）错误；当x
14、=-3时，y=9a-3b+c0，且b=2a，9a-32a+c=3a+c0，6a+2c=3b+2c0，（4）正确；b=2a，方程at2+bt+a=0中=b2-4aa=0，抛物线y=at2+bt+a与x轴只有一个交点，图中抛物线开口向下，a0，a0，3a+c0，3a+cc-a0，a+c2-b20，即a+c2b2（6）错误故选：C【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数与不等式以及抛物线与x轴的交点，解题的关键是逐一分析6条结论是否正确本题属于中档题，难度不大，但过程较为繁琐，解决该题型题目时，熟练掌握二次函数的图象是关键10（2023春湖南常德九年级统考期末）二次函数y=ax2+bx+
15、ca0的部分图像如图所示，对称轴为直线x=12且经过点2,0下列说法：abc0；-2b+c=0；4a+2b+c0；若-12,y1，52,y2是抛物线上的两点，则y1mam+b（其中m12）其中正确的结论有（）A2B3C4D5【答案】B【分析】先根据抛物线开口向下、与y轴的交点位于y轴正半轴a0，再根据对称轴可得b=-a0，由此可判断结论；将点2,0代入二次函数的解析式可判断结论；根据二次函数的对称轴可得其增减性，由此可判断结论；利用二次函数的性质可求出其最大值，由此即可得判断结论【详解】解：抛物线的开口向下，与y轴的交点位于y轴正半轴，a0，抛物线的对称轴为x=-b2a=12，b=-a0，ab
16、c0，则结论正确；将点2,0代入二次函数的解析式得：4a+2b+c=0，则结论错误；将a=-b代入4a+2b+c=0得：-2b+c=0，则结论正确；抛物线的对称轴为x=12，x=32和x=-12时的函数值相等，即都为y1，又当x12时，y随x的增大而减小，且32y2，则结论错误；由函数图像可知，当x=12时，y取得最大值，最大值为14a+12b+c=-14b+12b+c=14b+c，m12，14b+cam2+bm+c，即14bm(am+b)，结论正确；综上，正确的结论有，共3个故选：B【点睛】本题主要考查了利用二次函数的图像判断式子的符号、二次函数的性质等知识点，从函数图像上得到相关信息是解题
17、的关键11（2023春天津和平九年级天津一中校考期末）二次函数y=ax2+bx+c大致图象如图所示，其中顶点为（-2，-9a）下列结论：abc0；5a-b+c=0；若方程a(x+5)(x-1)=-1有两根为x1和x2，且x1x2，则-5x1x20有下列结论：abc0；-2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根；对称轴为x=-12；0m+n0得出a0，进而判断结论；根据二次函数对称轴x=-b2a进而判断结论；由二次函数的轴对称性进而判断结论；利用待定系数法将点(-1,m)，(2,n)代入解析式得出m+n=4(a-1)，再由a0，二次函数开口向下，a0 a0，c0（结论符合题意） x=-2
18、时，y=t， -2是关于x的方程ax2+bx+c=t的根对称轴x=-b2a=-a2a=12，-2+32=12，（结论不符合题意） -2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根（结论符合题意）x=-1时，y=a-b-2=m，x=2时，y=4a+2b-2=n，m+n=a-b-2+4a+2b-2=5a+b-4=4(a-1)m+n0，当x-b2a时，y随x的增大而增大如果a0，当x-b2a时，y随x的增大而减小灵活运用二次函数的性质与图象对每个结论依次分析是解本题的关键13（2023春浙江金华九年级统考期末）已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c都是常数，且a0）开口向上且过点A-1,0，B
19、m,0（1m0；若-1,y1和1,y2都在抛物线上，则y1y2；2a+c0；若方程ax-mx+1+4=0没有实数根，则b2-4ac16a其中正确结论的个数是（）A4B3C2D1【答案】B【分析】根据抛物线的开口以及对称轴即可判断，根据抛物线上的点离对称轴的距离越远，其函数值越大，即可判断，将方程转化为ax2+bx+c +4=0无实根，根据一元二次方程根的判别式即可求解【详解】解：抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c都是常数，且a0）开口向上且过点A-1,0，Bm,0（1m0，又对称轴为x=-b2a， ba=1-m1m21-m0b=1-ma0故不正确，对称轴为直线x=m-12，1m2，1-m-
20、12=3-m21-1,y1和1,y2都在抛物线上，又抛物线开口向上，离抛物线越远的点的函数值越大， y1y2故正确，对称轴为直线x=m-12，1m2， 0m-1212，0-b2a-b0，由抛物线过点A-1,0，则a-b+c=0，a-b+c0，故正确，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c都是常数，且a0）开口向上且过点A-1,0，Bm,0（1m2），设抛物线y=ax2+bx+c的解析式为y=ax-mx+1，若方程ax-mx+1+4=0没有实数根，即ax2+bx+c +4=0无实根， =b2-4ac+4=b2-4ac-16a0，即b2-4ac-32CPAB周长的最小值是5+32Dx=3是ax2+
21、bx+3=0的一个根【答案】C【分析】根据对称轴方程求得a、b的数量关系即可判断A；根据抛物线的对称性知抛物线与x轴的另一个交点的横坐标是3，则x=3时，y=0，得到3a+3=0，即2a+3=-a0即可判断B、D；利用两点间直线最短来求PAB周长的最小值即可判断C【详解】A根据图象知，对称轴是直线x=-b2a=1，则b=-2a，即2a+b=0，故A正确；B根据图象知，点A的坐标为(-1,0)，对称轴是x=1，则根据抛物线关于对称轴对称的性质知，抛物线与x轴的另一个交点的坐标是(3,0)，x=3时，y=9a+3b+3=0，9a-6a+3=0,3a+3=0，2a+3=-a，抛物线开口向下，则a-3
22、2，故B正确；C点A关于x=1对称的点是A(3,0)，即抛物线与x轴的另一个交点，连接BA与直线x=1的交点即为点P，则PAB的周长的最小值是(BA+AB)的长度，A(-1,0)，B(0,3)，A(3,0)，AB=10，BA=32，即PAB周长的最小值为10+32，故C错误；D根据图象知，点A的坐标为(-1,0)，对称轴是x=1，则根据抛物线关于对称轴对称的性质知，抛物线与x轴的另一个交点的坐标为(3,0)，所以x=3是ax2+bx+3=0的一个根，故D正确故选C【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质及两点之间线段最短解答该题时，充分利用了抛物线的对
23、称性15（2023春陕西渭南九年级校联考期末）二次函数y=ax2+bx+ca0的部分图像如图所示，图像过点-1,0，对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c3b；（3）8a+7b+2c0；（4）若点A-3,y1，点B-12,y2、点C72,y3在该函数图像上，则y1y3y2；（5）若方程ax+1x-5=-3的两根为x1和x2，且x1x2，则x1-15x2其中正确的结论有（）A2个B3个C4个D5个【答案】B【分析】正确，根据对称轴公式计算即可错误，利用x=-3时，y0，即可判断，正确由图像可知抛物线经过(-1， 0)和(5， 0)列出方程组求出a、b即可判断错误，利用函
24、数图像即可判断正确，利用二次函数与二次不等式关系即可解决问题【详解】正确：-b2a=2 ，所以4a+b=0故正确错误：x=-3时， y0，9a- 3b+c0，9a+c3b，故错误正确，由图像可知抛物线经过(- 1，0)和(5，0) ， a-b+c= 025a + 5b+c= 0解得b= -4a，c= -5a，8a+7b+2c=8a-28a-10a=-30a，a0 ，故正确错误，点A(-3，y1)、点B(-12，y2)、点C(72，y3)3.5-2= 1.5，2-(-0.5)=2.5 ，1.5y2，a0 ， -3 -0.52，y1y2y1y2y3，故错误正确a0 ，即(x+1)(x-5)0 ，故
25、x5 ，故正确正确的有三个，故选B【点睛】本题考查抛物线和x轴交点的问题以及二次函数与系数关系，灵活掌握二次函数的性质是解决问题的关键，学会利用图像信息解决问题，属于中考常考题型二、填空题16（2023春广西贵港九年级统考期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴正半轴交于A，B两点，y轴负半轴交于点C若点B（4，0），则下列结论中： abc0； 4a+b0； Mx1，y1与Nx2，y2是抛物线上两点，若0x1y2；若抛物线的对称轴是直线x=3，m为任意实数，则a(m-3)(m+3)b(3-m)；若AB3则4b+3c0其中正确结论的个数共有 个【答案】4【分析】根据图象得出a0，c0，可判断
26、；再由图象可得对称轴在直线x=2右侧，可得-b2a2，可判断；再根据二次函数在y轴右侧的增减性，判断；根据抛物线对称轴为直线x=3，得出b=-6a，再利用作差法判断；最后根据AB3，则点A的横坐标大于0且小于等于1，得出当x=1时，a+b+c0，当x=4时，16a+4b+c=0，变形为a=4b+c-16，代入，可得4b+5c0，结合c的符号可判断【详解】解：由抛物线图象可知，抛物线开口向下，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴右侧，a0，c0，b0，abc0，故正确；抛物线y=ax2+bx+c与x轴正半轴交于A，B两点，点B（4，0），对称轴在直线x=2右侧，即-b2a2，2+b2a=4a+b2a0
27、，a0，故正确； Mx1，y1与Nx2，y2是抛物线上两点，由图象可得抛物线y=ax2+bx+c在0x-b2a上， y随x的增大而减小， y1y2不一定成立，故错误；若抛物线的对称轴是直线x=3，-b2a=3，即b=-6a，am-3m+3-b3-m=am-320， a(m-3)(m+3)b(3-m)，故正确；由AB3得，0xA1，当x=1时，a+b+c0，当x=4时，16a+4b+c=0，a=4b+c-16，4b+c-16+b+c0，整理得4b+5c0，4b+3c-2c，c0，4b+3c0，故正确；综上所述，正确的有4个，故答案为：4【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是能根据图
28、象得出二次函数表达式各项系数的符号17（2023春福建泉州九年级泉州五中校考期中）抛物线y=ax2+bx+c的最低点为13,m，其中-1m0，抛物线与x轴交于点x1,0,x2,0,-1x10,1x20；(a+c)2b2；-32b0；关于x的方程ax2+bx+c+1=0有两个不相等实数根【答案】【分析】画出大致图形，再结合二次函数的性质分析即可【详解】y=ax2+bx+c的最低点为13,m，其中-1m0，抛物线与x轴交于点x1,0,x2,0,-1x10,1x20，y=ax2+bx+c=a(x-13)2+m，b=-23a0，c=19a+m0，故正确；抛物线与x轴交于点x1,0,x2,0,-1x10,1x22，当x=1时，y=a+b+c0；(a+c)2-b2=(a+b+c)(a-b+c)0，(a+c)2b2，故正确；m=19a+13b+c，-1m0-119a+13b+c0a+b+c00-a-b-c-119a+13b+c+(-a-b-c)整理得：8a+6b9b=-23a0a=-32b8(-32b)+6b-32
