专题21 相似模型之梅涅劳斯（定理）模型与塞瓦（定理）模型（原卷版）.docx

1、专题21 相似模型之梅涅劳斯（定理）模型与塞瓦（定理）模型梅内劳斯（Menelaus，公元98年左右），是希腊数学家兼天文学家，梅涅劳斯定理是平面几何中的一个重要定理。梅涅劳斯（定理）模型：如图1，如果一条直线与的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么这条直线叫的梅氏线，叫梅氏三角形梅涅劳斯定理的逆定理：如图1，若F、D、E分别是的三边AB、BC、CA或其延长线的三点，如果，则F、D、E三点共线 图1 图2 塞瓦（GGevo1647-1734）是意大利数学家兼水利工程师他在1678年发表了一个著名的定理，后世以他的名字来命名，叫做塞瓦定理。塞瓦（定理）模型：塞瓦定理是指在ABC内

2、任取一点G，延长AG、BG、CG分别交对边于D、E、F，如图2，则 。注意：梅涅劳斯（定理）与塞瓦（定理）区别是塞瓦定理的特征是三线共点，而梅涅劳斯定理的特征是三点共线；我们用梅涅劳斯（定理）与塞瓦（定理）解决的大部分问题，也添加辅助线后用平行线分线段成比例和相似来解决。例1.（2023.浙江九年级期中）如图，在中，AD为中线，过点C任作一直线交AB于点F，交AD于点E，求证：例2.（2023.重庆九年级月考）如图，在中，AM为BC边上的中线，于点D，CD的延长线交AB于点E求例3.（2023.湖北九年级期中）如图，点D、E分别在的边AC、AB上，BD与CE交于点F，求例4.（2023.江苏九

3、年级月考）已知AD是的高，点D在线段BC上，且，作于点E，于点F，连接EF并延长，交BC的延长线于点G，求CG例5.（2023.广东九年级专项训练）如图，在中，的外角平分线与边BC的延长线交于点P，的平分线与边CA交于点Q，的平分线与边AB交于点R，求证：P、Q、R三点共线例6（2023上广东深圳九年级校联考期中）梅涅劳斯（Menelaus）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图1，如果一条直线与的三边或它们的延长线交于三点，那么一定有下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：证明：如图2，过点作，交的延长线于点，则有，请用上述定理的证明方法解决以下问题：（1）

4、如图3，三边的延长线分别交直线于三点，证明：请用上述定理的证明方法或结论解决以下问题：（2）如图4，等边的边长为3，点为的中点，点在上，且与交于点，试求的长（3）如图5，的面积为4，F为中点，延长至，使，连接交于，求四边形的面积例7（2023.山东九年级月考）如图：P，Q，R分别是ABC的BC，CA，AB边上的点若AP，BQ，CR相交于一点M，求证：例8. （2023.浙江九年级期中）如图，在锐角ABC中，AD是BC边上的高线，H是线段AD内任一点，BH和CH的延长线分别交AC、AB于E、F，求证：EDH=FDH。 例9.（2023.北京九年级月考如图，四边形ABCD的对边AB和CD，AD、B

5、C分别相交于L、K，对角线AC与BD交于点M，直线KL与BD，AC分别交于F、G，求证：.例10（2022山西晋中统考一模）请阅读下列材料，并完成相应任务：塞瓦定理：塞瓦定理载于1678年发表的直线论，是意大利数学家塞瓦的重大发现塞瓦是意大利伟大的水利工程师，数学家定理内容：如图1，塞瓦定理是指在内任取一点，延长AO，BO，CO分别交对边于D，E，F，则数学意义：使用塞瓦定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还可以用来进行三点共线、三线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用任务解决：(1)如图2，当点D，E分别为边BC，AC的中点时，求证：点

6、F为AB的中点；(2)若为等边三角形（图3），点D是BC边的中点，求BF的长，并直接写出的面积课后专项训练1（2023.广东九年级期中）如图，在ABC中，M是AC的中点，E是AB上一点，AEAB，连接EM并延长，交BC的延长线于D，则（）AB2CD2.（2023.浙江九年级期中）如图，D、E、F内分正ABC的三边AB、BC、AC均为1：2两部分，AD、BE、CF相交成的PQR的面积是ABC的面积的（）ABCD3（广东2023-2024学年九年级上学期月考数学试题）如图，在中，垂足为D，E为的中点，与交于点F，则的长为 4（2022年山西中考一模数学试题）如图，在中，是边上的中线将沿方向平移得到

7、与相交于点，连接并延长，与边相交于点当点为的中点时，的长为 5（2022年山西省太原市九年级下学期一模数学试题）如图，为的直径，C为上一点，的切线交的延长线于点D，E为的中点，交的延长线于点F若，则的长为 6（2023年山西中考模拟百校联考数学试题）如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，的平分线分别交AC，BC于点E，F则线段OE的长为 7（2023下浙江温州八年级校考阶段练习）如图，等边ABC的边长为5，D在BC延长线上，CD3，点E在线段AD上，且AEAB，连接BE交AC于F，则CF的长为 8（2023重庆八年级期中）如图，的面积为，、分别是，上的点，且,连接,交于点,连接并延长

8、交于点则四边形的面积为 9.（2023.湖北.九年级月考）如图所示，被通过它的三个顶点与三角形内一点O的三条直线分为6个小三角形，其中三个小三角形的面积如图所示，则的面积为 10（2023上河南洛阳九年级期末）小明在网上学习了梅涅劳斯定理之后，编制了下面一个题，请你解答已知ABC，延长BC到D，使CD=BC取AB的中点F，连结FD交AC于点E(1)求的值；(2)若ABa，FBAE，求AC的长11（2023江西景德镇九年级校考期末）如图，三边，的延长线分别交直线于，三点，证明：（即证明梅涅劳斯定理的其中一种形式）12（2023上山西临汾九年级统考期末）梅涅劳斯定理梅涅劳斯（）是古希腊数学家，他首

9、先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图（1），如果一条直线与的三边AB，BC，CA或它们的延长线交于F、D、E三点，那么一定有下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：证明：如图（2），过点A作，交DF的延长线于点G，则有任务：（1）请你将上述材料中的剩余的证明过程补充完整；（2）如图（3），在中，点D为BC的中点，点F在AB上，且，CF与AD交于点E，则_13（2021山西校联考模拟预测）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务塞瓦（GiovanniCeva，16481734）意大利水利工程师，数学家，塞瓦定理载于1678年发表的直线论一书，塞瓦定理是指如图1，在ABC内任取一点O，

10、延长AO，BO，CO分别交对边于D，F，E，则下面是该定理的部分证明过程：如图2，过点A作BC的平行线分别交BE，CF的延长线于点M，N则NFCB，NAFFBCNAFCBF同理可得NOACOD任务一：(1)请分别写出与MOA，MEA相似的三角形；(2)写出由（1）得到的比例线段；任务二：结合和（2），完成该定理的证明；任务三：如图3，ABC中，ACB90，AC4，BC3，CDAB，垂足为D，点E为DC的中点，连接AE并延长，交BC于点F，连接BE并延长，交AC于点G小明同学自学了上面定理之后解决了如图3所示的问题，并且他用所学知识已经求出了BF与FC的比是25：16，请你直接写出ECG与EAG面积的比14（重庆2022-2023学年八年级月考）如图，在等腰RtABC中，ACB90，ACBC，D是线段BC上一动点（不与点B、C重合），连接AD，延长BC至点E，使得CECD，过点E作EFAD于点F，再延长EF交AB于点M（1）若D为BC的中点，AB4，求AD的长；（2）求证：BMCD15（2023年湖北省襄阳市襄州区中考模拟数学试题）如图，为的直径，C为上一点，的切线交的延长线于点D，E为的中点，连接并延长，交的延长线于点F(1)求证：是的切线；(2)若，求图中阴影部分的面积