1、专题21 直角三角形考点一：直角三角形知识回顾1. 直角三角形的概念：有一个角是90的三角形叫做直角三角形。2. 直角三角形的性质：直角三角形的两锐角互余。直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。含30的直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半。直角三角形的两直角边的成绩等于斜边乘以斜边上的高线。直角三角形的勾股定理。微专题1（2022贺州）如图，在RtABC中，C90，B56，则A的度数为（）A34B44C124D134【分析】根据直角三角形的两锐角互余计算即可【解答】解：在RtABC中，C90，则B+A90，B56，A905634，故选：A2（2022岳阳）如图，已知lAB，CDl于点
2、D，若C40，则1的度数是（）A30B40C50D60【分析】根据直角三角形的性质求出CED，再根据平行线的性质解答即可【解答】解：在RtCDE中，CDE90，DCE40，则CED904050，lAB，1CED50，故选：C3（2022绍兴）如图，把一块三角板ABC的直角顶点B放在直线EF上，C30，ACEF，则1（）A30B45C60D75【分析】根据平行线的性质，可以得到CBF的度数，再根据ABC90，可以得到1的度数【解答】解：ACEF，C30，CCBF30，ABC90，1180ABCCBF180903060，故选：C4（2022大连）如图，在ABC中，ACB90分别以点A和点C为圆心，
3、大于AC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN直线MN与AB相交于点D，连接CD，若AB3，则CD的长是（）A6B3C1.5D1【分析】根据题意可知：MN是线段AC的垂直平分线，然后根据三角形相似可以得到点D为AB的中点，再根据直角三角形斜边上的中线和斜边的关系，即可得到CD的长【解答】解：由已知可得，MN是线段AC的垂直平分线，设AC与MN的交点为E，ACB90，MN垂直平分AC，AEDACB90，AECE，EDCB，AEDACB，ADAB，点D为AB的中点，AB3，ACB90，CDAB1.5，故选：C5（2022永州）如图，在RtABC中，ABC90，C60，点D为边AC的中点，
4、BD2，则BC的长为（）AB2C2D4【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半和30角所对的直角边等于斜边的一半即可得到结论【解答】解：在RtABC中，ABC90，点D为边AC的中点，BD2，AC2BD4，C60，A30，BCAC2，故选：C6（2022青海）如图，在RtABC中，ACB90，D是AB的中点，延长CB至点E，使BEBC，连接DE，F为DE中点，连接BF若AC16，BC12，则BF的长为（）A5B4C6D8【分析】利用勾股定理求得AB20；然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得CD的长度；结合题意知线段BF是CDE的中位线，则BFCD【解答】解：在RtABC中，ACB
5、90，AC16，BC12，AB20CD为中线，CDAB10F为DE中点，BEBC，即点B是EC的中点，BF是CDE的中位线，则BFCD5故选：A7（2022镇江）如图，在ABC和ABD中，ACBADB90，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，若DE1，则FG 【分析】根据直角三角形的性质得出AB的长，进而利用三角形中位线定理解答即可【解答】解：ADB90，E是AB的中点，AB2DE2，F、G分别为AC、BC的中点，FG是ACB的中位线，FGAB1，故答案为：18（2022西宁）如图，ABC中，AB6，BC8，点D，E分别是AB，AC的中点，点F在DE上，且AFB90，则EF 【分析】利用三
6、角形中位线定理得到DEBC由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到DFAB所以由图中线段间的和差关系来求线段EF的长度即可【解答】解：点D，E分别是AB，AC的中点，DE是ABC的中位线，DEBC4AFB90，D是AB的中点，DFAB3，EFDEDF431故答案为：19（2022梧州）如图，在ABC中，ACB90，点D，E分别是AB，AC边上的中点，连接CD，DE如果AB5m，BC3m，那么CD+DE的长是 m【分析】根据三角形中位线定理可得DE的长，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得CD的长，进一步即可求出CD+DE的长【解答】解：点D，E分别是AB，AC边上的中点，DE是A
7、BC的中位线，DEBC，BC3m，DE1.5m，ACB90，CDAB，AB5m，CD2.5m，CD+DE2.5+1.54（m），故答案为：410（2022台州）如图，在ABC中，ACB90，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点若EF的长为10，则CD的长为 【分析】根据三角形中位线定理求出AB，根据直角三角形斜边上的中线的性质即可求出CD【解答】解：E，F分别为BC，CA的中点，EF是ABC的中位线，EFAB，AB2EF20，在RtABC中，ACB90，D为AB中点，AB20，CDAB10，故答案为：10考点二：勾股定理知识回顾1. 勾股定理的内容：在直角三角形中，两直角边的平方的和等于斜边
8、的平方。若直角三角形的两直角边是，斜边是，则。2. 勾股数：满足直角三角形勾股定理的三个正整数是一组勾股数。3. 勾股定理的逆定理：若三角形的三条边分别是，且满足，则三角形是直角三角形，且C是直角。4. 特殊三角形三边的比：含30的直角三角形三边的比例为（从小打大）：。45的等腰直角三角形三边的比例为（从小到大）：。5. 两点间的距离公式： 若点与点，则线段AB的长度为：。微专题11（2022攀枝花）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图2所示的四边形OABC若OC，BC1，AOB30，则OA的值为（）ABCD1【分析】根
9、据勾股定理和含30角的直角三角形的性质即可得到结论【解答】解：OBC90，OC，BC1，OB2，A90，AOB30，ABOB1，OA，故选：A12（2022荆门）如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未曾受损已知该金字塔的下底面是一个边长为120m的正方形，且每一个侧面与地面成60角，则金字塔原来高度为（）A120mB60mC60mD120m【分析】根据底部是边长为120m的正方形求出BC的长，再由含30角的直角三角形的性质求解AB的长，利用勾股定理求出AC的长即可【解答】解：如图，底部是边长为120m的正方形，BC12060m，ACBC，ABC60，BAC30，AB2BC120m
10、，ACm故选：B13（2022百色）活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等如已知ABC中，A30，AC3，A所对的边为，满足已知条件的三角形有两个（我们发现其中如图的ABC是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形的第三边长为（）A2B23C2或D2或23【分析】根据题意知，CDCB，作CHAB于H，再利用含30角的直角三角形的性质可得CH，AH的长，再利用勾股定理求出BH，从而得出答案【解答】解：如图，CDCB，作CHAB于H，DHBH，A30，CHAC，AHCH，在RtCBH中，由勾股定理得BH，ABAH+BH2，ADAHDH，故选：C14（2022荆州
11、）如图，在RtABC中，ACB90，通过尺规作图得到的直线MN分别交AB，AC于D，E，连接CD若CEAE1，则CD 【分析】如图，连接BE，根据作图可知MN为AB的垂直平分线，从而得到AEBE3，然后利用勾股定理求出BC，AB，最后利用斜边上的中线的性质即可求解【解答】解：如图，连接BE，CEAE1，AE3，AC4，而根据作图可知MN为AB的垂直平分线，AEBE3，在RtECB中，BC2，AB2，CD为直角三角形ABC斜边上的中线，CDAB故答案为：15（2022广元）如图，在ABC中，BC6，AC8，C90，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A、D为圆心，大于AD的长
12、为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线MN，分别交AC、AB于点E、F，则AE的长度为（）AB3C2D【分析】利用勾股定理求出AB，再利用相似三角形的性质求出AE即可【解答】解：在RtABC中，BC6，AC8，AB10，BDCB6，ADABBC4，由作图可知EF垂直平分线段AD，AFDF2，AA，AFEACB90，AFEACB，AE，故选：A16（2022湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点如图，在66的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM4，BN2若点P是这个网格图形中的格点，连结PM，PN，则所有满足MPN45的PMN中，边PM的长
13、的最大值是（）A4B6C2D3【分析】在网格中，以MN为直角边构造一个等腰直角三角形，使PM最长，利用勾股定理求出即可【解答】解：如图所示：BMNC4，BNCP2，且BC90，BMNCNP（SAS），MNNP，BMNCNP，BMN+BNM90，BNM+CNP90，MNP90，NMP为等腰直角三角形，此时PM最长，在RtBMN和RtNCP中，根据勾股定理得：MNNP2，则PM2故选：C17（2022金华）如图是城市某区域的示意图，建立平面直角坐标系后，学校和体育场的坐标分别是（3，1），（4，2），下列各地点中，离原点最近的是（）A超市B医院C体育场D学校【分析】根据题意可以画出相应的平面直角坐
14、标系，然后根据勾股定理，可以得到点O到超市、学校、体育场、医院的距离，再比较大小即可【解答】解：如右图所示，点O到超市的距离为：，点O到学校的距离为：，点O到体育场的距离为：，点O到医院的距离为：，点O到超市的距离最近，故选：A18（2022舟山）如图，在RtABC和RtBDE中，ABCBDE90，点A在边DE的中点上，若ABBC，DBDE2，连结CE，则CE的长为（）ABC4D【分析】方法一：根据题意先作出合适的辅助线，然后根据勾股定理可以得到AB和BC的长，根据等面积法可以求得EG的长，再根据勾股定理求得EF的长，最后计算出CE的长即可方法二：延长ED到F，使得DEDF，连接CF，BF，然
15、后根据全等三角形的判定和性质，以及勾股定理，可以求得CE的长【解答】解：方法一：作EFCB交CB的延长线于点F，作EGBA交BA的延长线于点G，DBDE2，BDE90，点A是DE的中点，BE2，DAEA1，AB，ABBC，BC，解得EG，EGBG，EFBF，ABF90，四边形EFBG是矩形，EGBF，BE2，BF，EF，CFBF+BC+，EFC90，EC，故选：D方法二：延长ED到F，使得DEDF，连接CF，BF，如图所示，BDDE2，BDE90，BDEBDF90，EF4，BDEBDF（SAS），BEBF，BEABFA45，EBA+ABF90，ABF+FBC90，EBAFBC，BEBF，BAB
16、C，EBAFBC（SAS），BEABFC45，AECF，CFEBFC+AFB90，点A为DE的中点，AE1，CF1，EC，故选：D19（2022成都）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x26x+40的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是 【分析】设直角三角形两条直角边分别为a、b，斜边为c，由一元二次方程根与系数的关系可得a+b6，ab4，再由勾股定理即可求出斜边长【解答】解：设直角三角形两条直角边分别为a、b，斜边为c，直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x26x+40的两个实数根，a+b6，ab4，斜边c2，故答案为：220（2022南充）如图，在RtABC中，C90
17、，BAC的平分线交BC于点D，DEAB，交AC于点E，DFAB于点F，DE5，DF3，则下列结论错误的是（）ABF1BDC3CAE5DAC9【分析】根据角平分线的性质和和勾股定理，可以求得CD和CE的长，再根据平行线的性质，即可得到AE的长，从而可以判断B和C，然后即可得到AC的长，即可判断D；再根据全等三角形的判定和性质即可得到BF的长，从而可以判断A【解答】解：AD平分BAC，C90，DFAB，12，DCFD，CDFB90，DEAB，23，13，AEDE，DE5，DF3，AE5，CD3，故选项B、C正确；CE4，ACAE+EC5+49，故选项D正确；DEAB，DFB90，EDFDFB90，
18、CDE+FDB90，CDE+DEC90，DECFDB，tanDEC，tanFDB，解得BF，故选项A错误；故选：A21（2022通辽）在RtABC中，C90，有一个锐角为60，AB6，若点P在直线AB上（不与点A，B重合），且PCB30，则AP的长为 【分析】题中60的锐角，可能是A也可能是B；PCB30可以分为点P在在线段AB上和P在线段AB的延长线上两种情况；直角三角形中30角所对的直角边等于斜边的一半，同时借助勾股定理求得AP的长度【解答】解：当A30时，C90，A30，CBA60，BCAB63，由勾股定理得，AC3，点P在线段AB上，PCB30，CBA60CPB90，CPA90，在Rt
19、ACP中，A30，PCAC3在RtAPC中，由勾股定理得AP点P在线段AB的延长线上，PCB30，ACP90+30120，A30，CPA30PCB30，PCBCPA，BPBC3，APAB+BP6+39当ABC30时，C90，ABC30，A60，ACAB63，由勾股定理得，BC3，点P在线段AB上，PCB30，ACP60，ACP是等边三角形APAC3点P在线段AB的延长线上，PCB30，ABC30，CPAP这与CP与AP交于点P矛盾，舍去综上所得，AP的长为，9或3故答案为：，9或322（2022武汉）如图，在RtABC中，ACB90，ACBC，分别以ABC的三边为边向外作三个正方形ABHL，A
20、CDE，BCFG，连接DF过点C作AB的垂线CJ，垂足为J，分别交DF，LH于点I，K若CI5，CJ4，则四边形AJKL的面积是 【分析】过点D作DMCI于点M，过点F作FNCI于点N，由正方形的性质可证得ACJCDM，BCJCFN，可得DMCJ，FNCJ，可证得DMIFNI，由直角三角形斜边上的中线的性质可得DIFICI，由勾股定理可得MI，NI，从而可得CN，可得BJ与AJ，即可求解【解答】解：过点D作DMCI，交CI的延长线于点M，过点F作FNCI于点N，ABC为直角三角形，四边形ACDE，BCFG为正方形，过点C作AB的垂线CJ，CJ4，ACCD，ACD90，AJCCMD90，CAJ+
21、ACJ90，BCCF，BCF90，CNFBJC90，FCN+CFN90，ACJ+DCM90，FCN+BCJ90，CAJDCM，BCJCFN，ACJCDM（AAS），BCJCFN（AAS），AJCM，DMCJ4，BJCN，NFCJ4，DMNF，DMIFNI（AAS），DIFI，MINI，DCF90，DIFICI5，在RtDMI中，由勾股定理可得：MI3，NIMI3，AJCMCI+MI5+38，BJCNCINI532，ABAJ+BJ8+210，四边形ABHL为正方形，ALAB10，四边形AJKL为矩形，四边形AJKL的面积为：ALAJ10880，故答案为：8023（2022内江）勾股定理被记载于我
22、国古代的数学著作周髀算经中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”图由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3若正方形EFGH的边长为4，则S1+S2+S3 【分析】由勾股定理和乘法公式完成计算即可【解答】解：设八个全等的直角三角形的长直角边为a，短直角边是b，则：S1（a+b）2，S24216，S3（ab）2，且：a2+b2EF216，S1+S2+S3（a+b）2+16+（ab）22（a2+b2）+16216+1648故答案为：4824（2022永州）我国古代
23、数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则AE 【分析】根据题意得出ABBCCDDA5，EFFGGHHE1，设AFDECHBGx，结合图形得出AEx1，利用勾股定理列方程求解【解答】解：大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，ABBCCDDA5，EFFGGHHE1，根据题意，设AFDECHBGx，则AEx1，在RtAED中，AE2+ED2AD2，（x1）2+x252，解得：x14，x23（舍去），x13，故答案为：325（2022湖北）勾股定
24、理最早出现在商高的周髀算经：“勾广三，股修四，径隅五”观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；，若此类勾股数的勾为2m（m3，m为正整数），则其弦是 （结果用含m的式子表示）【分析】根据题意得2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理列方程即可得到结论【解答】解：m为正整数，2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理得，（2m）2+a2（a+2）2，解得am21，弦是a+2m21+2m2+1，故答案为：m2+126（2022常州）
25、如图，将一个边长为20cm的正方形活动框架（边框粗细忽略不计）扭动成四边形ABCD，对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到36cm时才会断裂若BAD60，则橡皮筋AC 断裂（填“会”或“不会”，参考数据：1.732）【分析】设AC与BD相交于点O，根据菱形的性质可得ACBD，AC2AO，ODBD，ADAB20cm，从而可得ABD是等边三角形，进而可得BD20cm，然后再在RtADO中，利用勾股定理求出AO，从而求出AC的长，即可解答【解答】解：设AC与BD相交于点O，四边形ABCD是菱形，ACBD，AC2AO，ODBD，ADAB20cm，BAD60，ABD是等边三角形，BDAB20cm，DOBD1
26、0（cm），在RtADO中，AO10（cm），AC2AO2034.64（cm），34.64cm36cm，橡皮筋AC不会断裂，故答案为：不会27（2022常州）如图，在RtABC中，C90，AC9，BC12在RtDEF中，F90，DF3，EF4用一条始终绷直的弹性染色线连接CF，RtDEF从起始位置（点D与点B重合）平移至终止位置（点E与点A重合），且斜边DE始终在线段AB上，则RtABC的外部被染色的区域面积是 【分析】如图，连接CF交AB于点M，连接CF交AB于点N，过点F作FGAB于点H，过点F作FHAB于点H，连接FF，则四边形FGHF是矩形，RtABC的外部被染色的区域是梯形MFFN求
27、出梯形的上下底以及高，可得结论【解答】解：如图，连接CF交AB于点M，连接CF交AB于点N，过点F作FGAB于点H，过点F作FHAB于点H，连接FF，则四边形FGHF是矩形，RtABC的外部被染色的区域是梯形MFFN在RtDEF中，DF3，EF4，DE5，在RtABC中，AC9，BC12，AB15，DFEFDEGF，FG，BG，GEBEBG，AHGE，FHFG，FFGHABBGAH15510，BFAC，BMAB，同法可证ANAB，MN15，RtABC的外部被染色的区域的面积（10+）21，故答案为：2128（2022泰州）如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1“马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照“马走日”的规则，走两步后的落点与出发点间的最短距离为 【分析】根据勾股定理即可得到结论【解答】解：如图，第一步到，第二步到，故走两步后的落点与出发点间的最短距离为，故答案为：
