1、专题21 二次函数与等腰三角形存在问题1（2021江苏宿迁中考真题）如图，抛物线与轴交于A(-1，0)，B(4，0)，与轴交于点C连接AC，BC，点P在抛物线上运动(1)求抛物线的表达式；(2)如图，若点P在第四象限，点Q在PA的延长线上，当CAQ=CBA45时，求点P的坐标；(3)如图，若点P在第一象限，直线AP交BC于点F，过点P作轴的垂线交BC于点H，当PFH为等腰三角形时，求线段PH的长2（2021重庆市九年级开学考试）如图，已知抛物线的图象与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向运动，过作轴的垂线，交抛物线于点，交于（1）求点和点的坐
2、标；（2）设当点运动了（秒时，四边形的面积为，求与的函数关系式，并指出自变量的取值范围；（3）在线段上是否存在点，使得成为以为一腰的等腰三角形？若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由3（20212022广东九年级期中）如图，已知抛物线过点，交轴于点和点（点在点的左侧），抛物线的顶点为，对称轴交轴于点，连接（1）直接写出的值，点的坐标和抛物线对称轴的表达式（2）若点是抛物线对称轴上的点，当是等腰三角形时，求点的坐标（3）点是抛物线上的动点，连接，将沿所在的直线对折，点落在坐标平面内的点处求当点恰好落在直线上时点的横坐标4如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2x与x轴交于A、B两点（点A在点B的
3、左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E（4，n）在抛物线上（1）求直线AE的解析式；（2）点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE当PCE的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是CP上的一点，点N是CD上的一点，求KMMNNK的最小值；（3）点G是线段CE的中点，将抛物线yx2x沿x轴正方向平移得到新抛物线y，y经过点D，y的顶点为点F在新抛物线y的对称轴上，是否存在一点Q，使得FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由5（20212022重庆校九年级月考）抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，抛物线的对称轴交x轴于点D，已
4、知，（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，点P是线段上的一个动点，过点P作x轴的垂线与抛物线相交于点Q，当点P运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出四边形的最大面积及此时点的坐标（3）如图2，设抛物线的顶点为M，将抛物线沿射线方向以每秒个单位的速度平移t秒，平移后的抛物线的顶点为，当是等腰三角形时，求t的值6（20212022四川南部县九年级月考）如图，直线交轴于A点，交轴于B点，过A、B两点的抛物线的顶点坐标(1，4)（1）求的值和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上求一点P，使得PAB的周长最小，并求出最小值；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使ABQ是等腰三角形？若存在，求出符
5、合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由7（20212022安徽九年级月考）如图所示，抛物线经过点，点，与轴交于点，连接，点是线段上不与点、重合的点，过点作轴，交抛物线于点，交于点（1）求抛物线的表达式；（2）过点作，垂足为点设点的坐标为，请用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时有最大值，最大值是多少？（3）试探究是否存在这样的点，使得以，为顶点的三角形是等腰三角形若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由8（2021重庆中考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2xc（a0）与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，直线AC与y轴交于点C，与抛物线交于点D，OAOC（1）求
6、该抛物线与直线AC的解析式；（2）若点E是x轴下方抛物线上一动点，连接AE、CE求ACE面积的最大值及此时点E的坐标；（3）将原抛物线沿射线AD方向平移2个单位长度，得到新抛物线：y1a1x2b1xc1（a0），新抛物线与原抛物线交于点F，在直线AD上是否存在点P，使以点P、D、F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由9（2021广东中考模拟预测）如图，已知抛物线的图象与x轴交于A（2，0）和B（-8，0），与y轴交于点C（1）求该抛物线的解析式；（2）点F是直线BC下方抛物线上的一点，当BCF的面积最大时，在抛物线的对称轴上找一点P，使得的周长最小，请求
7、出点F的坐标和点P的坐标；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点Q（0，m），使得为等腰三角形？如果有，请直接写出点Q的坐标；如果没有，请说明理由10（2021云南中考一模）已知抛物线的解析式为，直线的解析式为（1）定义：抛物线上的点到直线距离的最小值叫做抛物线到该条直线的距离，取到直线距离最小的抛物线上的点叫做距离点求证：无论为何值，抛物线到直线的距离都是；（2）如图，若抛物线经过点和点与轴交于点过顶点作轴，垂足为，点是线段上的一点，若是以为底角的等腰三角形，求点的坐标11（2021黑龙江建华中考二模）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点抛物线经过、两点，且与轴交
8、于另一点（点在点右侧）（1）求抛物线的解析式及点坐标；（2）设该抛物线的顶点为点，则_；（3）若点是线段上一动点，过点的直线平行轴交轴于点，交抛物线于点求长的最大值及点的坐标；（4）在（3）的条件下：当取得最大值时，在轴上是否存在这样的点，使得以点、点、点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点的坐标；若不存在，请说明理由12（2020重庆巴蜀中学中考二模）如图1，已知抛物线与轴交于点、，与轴交于点，连接、（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点是直线上方抛物线上一点，过点作轴交于点，过点作于点，当的周长最大时，求出的周长最大值及此时点的坐标；（3）在（2）的条件下，当 的周长最大
9、时，将点沿射线的方向平移个单位至点，再将线段沿射线方向平移，点、的对应点分别记为点、在平移过程中，点、是否能构成以为腰的等腰三角形，若能，直接写出点的横坐标；若不能，请说明理由13（2021四川三台中考二模）如图，二次函数的图象与轴交于，与轴交于点若点，同时从点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿，边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动（1）求该二次函数的解析式及点的坐标；（2）当点运动到点时，点停止运动，这时，在轴上是否存在点，使得以，为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由（3）当，运动到秒时，沿翻折，点恰好落在抛物线上点处，请判定此时四边形的
10、形状，并求出点坐标14（2021湖北孝南九年级期末）如图，抛物线经过点，与轴交于，两点，连接，为线段上的一个动点，过点作轴，交抛物线于点，交于点（1）直接写出的值以及，的坐标_，_，_；（2）过点作，垂足为点，设点的坐标为，试求的最大值；（3）试探究点在运动过程中，是否存在这样的点，使得以，为顶点的三角形是等腰三角形若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由15（2021安徽淮南实验中学九年级月考）如图，已知直线yx+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线+bx+c经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E，抛物线顶点为D（1）点A的坐标为 ，点B的坐标为 （2）求抛物线的解析式；直线AB与抛物线的对称轴交于点E，在x轴上是否存在点M，使得ME+MB最小，求出点M的坐标；（3）点P从点D出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形？直接写出所有符合条件的t值
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