1、专题20 最值问题中的构造圆与隐形圆模型 【模型展示】特点隐形圆解决点圆最值平面内一定的D和O上动点M的连线中，当连线过圆心O时，线段DM有最大值和最小值。分以下情况讨论：（设OD=d，O的半径为r）1、点D在O外时，dr，如图：当D、M、O三点共线时，线段DM出现最值，DM的最大值为d+r，DM的最小值为d-r;2、当点D在O上时，d=r，如图：当D、O、M三点共线时，线段DM有最值；DM最大值为d+r，DM最小值为d-r=0(即点D与点M重合）3、当点D在O内时，dr，如图当点D、O、M三点共线时，DM有最值；DM最大值为d+r，DM最小值为|d-r|=r-d;点圆最值：平面内一定点到圆上
2、一点的距离的最值问题；构造圆解决点圆最值一、定点定长1、O为定点，OA=OB，且长度固定，那么O、A、B三点可以确定一个圆，动点P在圆弧AB上运动，如图所示，Q为圆外一定点，当P运动到OQ的连线上时，即：P落到P1处，O、P1、Q三点共线时，PQ最小。二、定弦定角2、线段AB固定，Q为动点，且AQB为定值，那么Q、A、B三点可以确定一个圆，动点Q在圆弧AB上运动，如图所示，R为圆外一定点，当Q运动到OQ的连线上时，即：P落到P1处，O、P1、Q三点共线时，RQ最小。结论点的距离的最值问题【题型演练】一、单选题1如图，在ABC中，ACB90，ACBC，AB4cm，CD是中线，点E、F同时从点D出
3、发，以相同的速度分别沿DC、DB方向移动，当点E到达点C时，运动停止，直线AE分别与CF、BC相交于G、H，则在点E、F移动过程中，点G移动路线的长度为（）A2BC2D2如图，ACB中，CACB4，ACB90，点P为CA上的动点，连BP，过点A作AMBP于M当点P从点C运动到点A时，线段BM的中点N运动的路径长为（）ABCD23如图，在中，cm，cm是边上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点变化的过程中，线段的最小值是（）A1BC2D4如图，中，P是内部的一个动点，满足，则线段CP长的最小值为（）AB2CD5如图，的半径是，P是上一动点，A是内部一点，且，则下列说法正确的是（）PA的最小值为
4、；PA的最大值为；当时，PAO是等腰直角三角形；PAO面积最大为ABCD6如图，菱形ABCD边长为4，A60，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将AMN沿MN所在的直线翻折得到AMN，连接AC，则AC的最小值是（）A2B+1C22D37如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴相交于点A、B，点E、F分别是正方形OACD的边OD、AC上的动点，且，过原点O作，垂足为H，连接HA、HB，则面积的最大值为（）AB12CD二、填空题8如图，长方形ABCD中，BC=2，点E是DC边上的动点，现将BEC沿直线BE折叠，使点C落在点F处，则点D到点F的最短距离为_9如图，RtABC中，ACB90，
5、CAB60，AB4，点P是BC边上的动点，过点c作直线记的垂线，垂足为Q，当点P从点C运动到点B时，点Q的运动路径长为_10如图，在ABC中，C90，AC8，AB10，D是AC上一点，且CD3，E是BC边上一点，将DCE沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF，则BF的最小值为_11如图，在锐角ABC中，AB2，AC，ABC60D是平面内一动点，且ADB30，则CD的最小值是_12如图，点A，B的坐标分别为为坐标平面内一点，M为线段的中点，连接，当取最大值时，点M的坐标为_13如图，在矩形中，点、分别是边、上的动点，且，点是的中点，、，则四边形面积的最小值为_14如图，ABC为O的内接等边三角形
6、，BC12，点D为上一动点，BEOD于E，当点D由点B沿运动到点C时，线段AE的最大值是_15如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=12，以D为圆心，4为半径作D，E为D上一动点，连接AE，以AE为直角边作RtAEF，使EAF=90，tanAEF=，则点F与点C的最小距离为_16如图，已知正方形ABCD的边长为2，点P在射线BC上，则的最小值为 _三、解答题17如图一，等边ABC中，AB=6，P为AB上一动点，PDBC，PEAC，求DE的最小值18问题背景如图（1），ABC为等腰直角三角形，BAC90，直线l绕着点A顺时针旋转，过B，C两点分别向直线l作垂线BD，CE，垂足为D，E，此时ABD
7、可以由CAE通过旋转变换得到，请写出旋转中心、旋转方向及旋转角的大小（取最小旋转角度）尝试应用如图（2），ABC为等边三角形，直线l绕着点A顺时针旋转，D、E为直线l上两点，BDAAEC60ABD可以由CAE通过旋转变换得到吗？若可以，请指出旋转中心O的位置并说明理由；拓展创新如图（3）在问题背景的条件下，若AB2，连接DC，直接写出CD的长的取值范围19如图，在矩形ABCD中，AB6，AD8，点E，F分别是边CD，BC上的动点，且AFE90（1）证明：ABFFCE；（2）当DE取何值时，AED最大20已知，平面直角坐标系中有一个边长为6的正方形，为线段上的动点，将沿直线对折，使点落在处(1)
8、如图，当时，求点的坐标；(2)如图，连接，当时求点的坐标；连接，求与重叠部分的面积；(3)当点在线段（不包括端点）上运动时，请直接写出线段的取值范围21如图，等边三角形ABC内接于半径长为2的O，点P在圆弧AB上以2倍速度从B向A运动，点Q在圆弧BC上以1倍速度从C向B运动，当点P，O，Q三点处于同一条直线时，停止运动(1)求点Q的运动总长度；(2)若M为弦PB的中点，求运动过程中CM的最大值22如图，在正方形ABCD中，点E在直线AD右侧，且AE1，以DE为边作正方形DEFG，射线DF与边BC交于点M，连接ME，MG(1)如图1，求证：MEMG；(2)若正方形ABCD的边长为4，如图2，当G
9、，C，M三点共线时，设EF与BC交于点N，求的值；如图3，取AD中点P，连接PF，求PF长度的最大值23已知等腰直角与有公共顶点，现将绕点旋转(1)如图，当点，在同一直线上时，点为的中点，求的长；(2)如图，连接，点为的中点，连接交于点，求证：；(3)如图，点为的中点，以为直角边构造等腰，连接，在绕点旋转过程中，当最小时，直接写出的面积24【问题背景】如图1，P是等边ABC内一点，APB150，则PA2+PB2PC2小刚为了证明这个结论，将PAB绕点A逆时针旋转60，请帮助小刚完成辅助线的作图；【迁移应用】如图2，D是等边ABC外一点，E为CD上一点，ADBE，BEC120，求证：DBE是等边三角形；【拓展创新】如图3，EF6，点C为EF的中点，边长为3的等边ABC绕着点C在平面内旋转一周，直线AE、BF交于点P，M为PG的中点，EFFG于F，FG4，请直接写出MC的最小值25在中，CA2CB将线段CA绕点C旋转得到线段CD(1)如图1，当点D落在AB的延长线上时，过点D作交AC的延长线于点E，若BC2，求DE的长；(2)如图2，当点D落在CB的延长线上时，连接AD，过点C作CFAB于点F，延长CF交AD于点E，连接BE，求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，将沿AC翻折得到，M为直线AD上一个动点连接BM，将沿BM翻折得到当最小时，直接写出的值
