1、17.2 勾股定理的逆定理第十七章 勾股定理 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 第1课时 勾股定理的逆定理学习目标 1.掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、定理的概念、关系及勾股数.（重点）2.能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆 定理判断一个三角形是直角三角形.（难点）导入新课BCA问题1勾股定理的内容是什么?如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2.bca问题2 求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜边c的长：a3，b4；a2.5，b6；a4，b7.5.c=5c=6.5c=8.5复习引入 思考以前我们已经学过了通过角的关系来确定直角三角形，可
2、不可以通过边来确定直角三角形呢？同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗?（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（13）（12）（11）（10）（9）打13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以3段，4段，5段的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.情景引入 思考：从前面我们知道古埃及人认为一个三角形三边长分别为3,4,5,那么这个三角形为直角三角形.按照这种做法真能得到一个直角三角形吗?大禹治水 相传，我国古代的大禹在治水时也用了类似的方法确定直角.讲授新课勾股定理的逆定理 一下面有三组数分别是一个三角形的三边长a,b,c:5,12,13;7,24,25
3、;8,15,17.问题 分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？0180150120906030724255131217815是下面有三组数分别是一个三角形的三边长a,b,c:5,12,13;7,24,25;8,15,17.问题2 这三组数在数量关系上有什么相同点？5,12,13满足52+122=132,7,24,25满足72+242=252,8,15,17满足82+152=172.问题3 古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？32+42=52，满足.a2+b2=c2我觉得这个猜想不准确，因为测量结果可能有误差.我也觉得猜想不严谨，前面我们只取了几组数据，不能由
4、部分代表整体.问题3 据此你有什么猜想呢?由上面几个例子，我们猜想：命题2 如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.ABC ABC？C是直角 ABC是直角三角形 A B C a b c 已知：如图，ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2 求证：ABC是直角三角形构造两直角边分别为a,b的RtABC证一证:证明：作RtABC，使C=90，AC=b，BC=a，ABC ABC(SSS)，C=C=90，即ABC是直角三角形.则22222A BB CA Cab .222abc，22.A BcA Bc ，ABCA B C 在和中A CACB CBCA BAB
5、，CBaAbcACaBbc勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.ACBabc勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形，最长边所对应的角为直角.特别说明：归纳总结 例1 下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一个角是直角？(1)a=15 ，b=8 ，c=17;解：(1)152+82=289，172=289，152+82=172，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且C是直角.(2)a=13，b=14 ，c=15.(
6、2)132+142=365，152=225，132+142152，不符合勾股定理的逆定理，这个三角形不是直角三角形.根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.归纳【变式题1】若ABC的三边a,b,c满足 a:b:c=3:4:5，试判断ABC的形状.解：设a=3k,b=4k,c=5k(k0),(3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2,(3k)2+(4k)2=(5k)2,ABC是直角三角形，且C是直角.已知三角形三边的比例关系判断三角形形状：先设出参数，表示出三条边的长，再用勾股定理的逆定理判断其是否是直角三角形.如果此直
7、角三角形的三边中有两个相同的数，那么该三角形还是等腰三角形.归纳(2)若ABC的三边 a,b,c 满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c.试判断ABC的形状.解：a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，a26a+9+b28b+16+c210c+25=0.即(a3)+(b4)+(c5)=0.a=3,b=4,c=5，即 a2+b2=c2.ABC是直角三角形.例2 如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E为BC上一点，且CE CB，试判断AF与EF的位置关系，并说明理由解：AFEF.理由如下：设正方形的边长为4a,则ECa，BE3a，CFDF2a.在RtABE中，得AE2AB2BE2
8、16a29a225a2.在RtCEF中，得EF2CE2CF2a24a25a2.在RtADF中，得AF2AD2DF216a24a220a2.在AEF中，AE2EF2AF2，AEF为直角三角形，且AE为斜边AFE90，即AFEF.14练一练1.下列各组线段中，能构成直角三角形的是（）A2，3，4 B3，4，6 C5，12，13 D4，6，7 C2.一个三角形的三边的长分别是3，4，5，则这个三角形最长边上的高是（）A4B3C2.5D2.4D3.若ABC的三边a、b、c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0，则ABC是_.等腰三角形或直角三角形 如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么
9、这个三角形是直角三角形.满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.勾股数 二概念学习 常见勾股数：3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26等等.勾股数拓展性质：一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数.下列各组数是勾股数的是()A.6，8，10 B.7，8，9C.0.3，0.4，0.5 D.52，122，132A 方法点拨：根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方和即可.练一练命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,那么
10、a2+b2=c2.命题2 如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.前面我们学习了两个命题，分别为：互逆命题与互逆定理 三命题1：直角三角形a2+b2=c2命题2：直角三角形a2+b2=c2题设结论它们是题设和结论正好相反的两个命题.问题1两个命题的条件和结论分别是什么？问题2两个命题的条件和结论有何联系？一般地，原命题成立时，它的逆命题既可能成立，也可能不成立.如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，我们称这两个定理互为逆定理.勾股定理与勾股定理的逆定理为互逆定理.题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做
11、原命题的逆命题.归纳总结 说出下列命题的逆命题,这些逆命题成立吗？(1)两条直线平行，内错角相等；(2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；(3)全等三角形的对应角相等；(4)在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上.内错角相等，两条直线平行.如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等.对应角相等的三角形全等.在角平分线上的点到角两边的距离相等.成立不成立不成立成立练一练当堂练习1.下列各组数是勾股数的是()A.3，4，7 B.5，12，13 C.1.5，2，2.5 D.1，3，52.将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到的三角形()A.是直角三角形B.可能是锐角三角形C.可能是钝
12、角三角形D.不可能是直角三角形BA3.在ABC中，A,B,C的对边分别为a,b,c.若C-B=A,则ABC是直角三角形；若c2=b2-a2,则ABC是直角三角形,且C=90；若(c+a)(c-a)=b2,则ABC是直角三角形;若A：B：C=5：2：3，则ABC是直角三角形.以上命题中的假命题有（）A.1个B.2个C.3个D.4个A4.已知a、b、c是ABC三边的长，且满足关系式，则 A B C 的 形 状 是_2220cabca+-+-=等腰直角三角形 5.(1)一个三角形的三边长分别为15cm、20cm、25cm，则这个三角形最长边上的高是_cm;12(2)“等腰三角形两底角相等”的逆定理为
13、_有两个角相等的三角形是等腰三角形6.已知ABC，AB=n-1，BC=2n，AC=n+1(n为大于1的正整数).试问ABC是直角三角形吗？若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由.解：AB+BC=(n-1)+(2n)=n4-2n+1+4n=n4+2n+1=(n+1)=AC，ABC是直角三角形，边AC所对的角是直角.7.如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=6，AC=10，AD=CD=,求四边形ABCD 的面积.5 2222268100ABBC解：，+=+=2222(5 2)(5 2)100ADDC，+=+=2100AC，=ABC是直角三角形，且B是直角.222ADDCAC，+=ADC是直角三角形，且D是直角.222ABBCAC，+=S 四边形 ABCD=11685 25 249.22创+创=课堂小结勾股定理 的逆定理 内 容 作用 从三边数量关系判定一个三角形是否是直角三角形.如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.注意 最长边不一定是c，C也不一定是直角.勾股数一定是正整数