1、第六节空间向量及其运算(理)时间：45分钟分值：100分 一、选择题1如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点若a，b，c，则下列向量中与相等的向量是()AabcB.abcCabc D.abc解析显然()abc，故选A.答案A2已知O，A，B，C为空间四个点，又，为空间的一组基底，则()AO，A，B，C四点不共线BO，A，B，C四点共面，但不共线CO，A，B，C四点中任意三点不共线DO，A，B，C四点不共面解析，为空间的一组基底，所以，不共面，但A，B，C三种情况都有可能使，共面答案D3已知a(2，1,3)，b(1,4，2)，c(7,5，)，若a，b，c三个向
2、量共面，则实数等于()A. B.C. D.解析由于a，b，c三向量共面所以存在实数m，n使得cmanb，即有解得m，n，.故选D.答案D4正方体不在同一表面上的两个顶点为A(1,2，1)，B(3，2,3)，则正方体的体积为()A8 B27C64 D128解析由于A，B是正方体上不共面的两个顶点，则A，B必为正方体一对角线的两顶点，由于|AB|4，故正方体的边长为4，体积为4364.故选C.答案C5在空间四边形ABCD中，等于()A1 B0C1 D不确定解析方法一：如图所示，在空间四边形ABCD中，连接对角线AC、BD，得三棱锥ABCD，不妨令其各棱长都相等，即为正四面体，正四面体的对棱互相垂直
3、，0，0，0.0.故选B.方法二：在方法一的图中，选取不共面的向量，为基底，则原式()()()0.故选B.答案B6如图所示，已知空间四边形OABC中，|OB|OC|，且AOBAOC，则，夹角的余弦值为()A0 B.C. D.解析设a，b，c.由已知条件AOBAOC，且|b|c|，a(cb)acab|a|c|cosAOC|a|b|cosAOB0，cos0.故选A.答案A二、填空题7已知点A(1,2,1)，B(1,3,4)，D(1,1,1)，若2，则|的值是_解析设P(x，y，z)，则(x1，y2，z1)，(1x,3y,4z)，由2，知x，y，z3，故P.由两点间距离公式可得|.答案8如图所示，已
4、知空间四边形ABCD，F为BC的中点，E为AD的中点，若()，则_.解析如题图所示，取AC的中点G，连接EG，GF，则()，.答案9已知(1,5，2)，(3,1，z)，若，(x1，y，3)，且BP平面ABC，则实数x，y，z分别为_解析由题意知，.所以即解得，x，y，z4.答案，4三、解答题10已知a(x,4,1)，b(2，y，1)，c(3，2，z)，ab，bc，求：(1)a，b，c；(2)(ac)与(bc)所成角的余弦值解(1)因为ab，所以，解得x2，y4，这时a(2,4,1)，b(2，4，1)又因为bc，所以bc0，即68z0，解得z2，于是c(3，2,2)(2)由(1)得ac(5,2,
5、3)，bc(1，6,1)，设(ac)与(bc)所成角为，因此cos.11如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设a，b，c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)；(2)；(3).解(1)P是C1D1的中点，aacacb.(2)N是BC的中点，abababc.(3)M是AA1的中点，aabc.又ca，abc. 1(2015汕头模拟)已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为3，点E在AA1上，点F在CC1上，且AEFC11.(1)求证：E，B，F，D1四点共面；(2)若点G在BC上，BG，点M在BB1上，GMBF，垂足为H，求证：EM平面
6、BCC1B1.证明(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,0,0)，E(3,0,1)，F(0,3,2)，D1(3，3,3)，则(3,0,1)，(0,3,2)，(3,3,3)所以.故，共面又它们有公共点B，所以E，B，F，D1四点共面(2)设M(0,0，z0)，G，则，而(0,3,2)，由题设得3z020，得z01.故M(0,0,1)，有(3,0,0)又(0,0,3)，(0,3,0)，所以0，0，从而MEBB1，MEBC.又BB1BCB，故ME平面BCC1B1.2(2014北京卷)如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点在五棱锥PABCDE中，F为棱PE的中点，平面AB
7、F与棱PD，PC分别交于点G，H.(1)求证：ABFG；(2)若PA底面ABCDE，且PAAE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长解(1)证明：在正方形AMDE中，因为B是AM的中点，所以ABDE.又因为AB平面PDE，所以AB平面PDE.因为AB平面ABF，且平面ABF平面PDEFG，所以ABFG.(2)因为PA底面ABCDE，所以PAAB，PAAE.如图建立空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(2,1,0)，P(0,0,2)，F(0,1,1)，(1,1,0)设平面ABF的一个法向量为n(x，y，z)，则即令z1，则y1，所以n(0，1,1)设直线BC与平面ABF所成角为，则sin|cosn，|.因此直线BC与平面ABF所成角的大小为.设点H的坐标为(u，v，w)因为点H在棱PC上，所以可设(01)，即(u，v，w2)(2,1，2)，所以u2，v，w22.因为n是平面ABF的一个法向量，所以n0，即(0，1,1)(2，22)0，解得，所以点H的坐标为.所以PH 2.
