1、专题2.2.3二次函数y=a（x-h）2（a0）图像和性质（知识解读）【学习目标】1. 会画二次函数y=a(x-h)2的图象.2. 掌握二次函数y=a(x-h)2的性质并会应用.3. 理解y=ax与y=a(x-h)2之间的联系.【知识点梳理】考点1 二次函数 y=a(x-h)2(a 0)的性质：y=a(x-h)2a0a 0 时,向右平移h个单位长度得到.当h 0 时,向左平移-h个单位长度得到.左右平移规律：括号内左加右减；括号外不变.【典例分析】【考点1 y=a（x-h）的图像】【典例1】在同一直角坐标系中，画出二次函数与的图象. 根据所画图象，填写下表：抛物线开口方向对称轴顶点坐标增减性【
2、变式1】在同一直角坐标系中，画出二次函数、与的图象根据所画图象，填写下表：抛物线开口方向对称轴顶点坐标增减性【考点2 y=a（x-h）的图像的性质】【典例2】（2022秋安图县月考）二次函数y2（x+1）2的顶点坐标是（）A（1，2）B（1，2）C（1，0）D（1，0）【变式2-1】（2021安徽合肥九年级期中）函数图象的顶点坐标是（）ABCD 【变式2-2】（2021云南九年级期中）抛物线的开口向_，顶点坐标是_，对称轴是直线_【典例3】（2022秋盐湖区月考）对于二次函数y2（x+3）2的图象，下列说法正确的是（）A开口向上B对称轴是直线x3C当x4时，y随x的增大而减小D顶点坐标为（3，
3、0）【变式3-1】（2021湖南九年级期中）关于二次函数，下列说法正确的是（）A其图象的开口向上B其图象的对称轴是直线C其图象的顶点坐标是D当时，随的增大而减小【变式3-2】（2022秋海淀区校级月考）抛物线yx2+2和y（x+2）2的对称轴分别是（）Ay轴，直线x2B直线x2，x2C直线x2，直线x2Dy轴，直线x2【典例4】（2022河南南阳九年级期末）已知，三点都在二次函数的图象上，则，的大小关系为（）ABCD【变式4-1】（2021秋海珠区期末）二次函数y（x1）2，当x1时，y随x的增大而 （填“增大”或“减小”）【变式4-2】（2021浙江温州一模）已知二次函数ya（xm）2（a0
4、）的图象经过点A（1，p），B（3，q），且pq，则m的值可能是（）A1BC0D【考点2 ： y=a（x-h）图像的变换问题】【典例5】（2022浙江九年级期末）将二次函数y2x2的图象平移后，可得到二次函数y2(x1)2的图象，平移的方法是()A 向上平移1个单位 B向下平移1个单位 C向左平移1个单位D向右平移1个单位【变式5】（2022江苏九年级专题练习）抛物线的图象可由抛物线向_平移_个单位得到，它的顶点坐标是_，对称轴是_【考点4： y=a（x-h）图像的综合应用】【典例6】（2022福建九年级专题练习）写出一个满足“当时，随增大而减小”的二次函数解析式_ _【变式6-1】（2021
5、北京九年级期中）老师给出一个二次函数，甲、乙、丙三名同学各指出这个函数的一个性质甲：函数图象的顶点在x轴上；乙：当x0a 0 时,向右平移h个单位长度得到.当h 0 时,向左平移-h个单位长度得到.左右平移规律：括号内左加右减；括号外不变.【典例分析】【考点1 y=a（x-h）的图像】【典例1】在同一直角坐标系中，画出二次函数与的图象. 根据所画图象，填写下表：抛物线开口方向对称轴顶点坐标增减性【解答】在同一直角坐标系中，画出二次函数与的图象. 先列表：描点、连线，画出这两个函数的图象:根据所画图象，填写下表：抛物线开口方向对称轴顶点坐标增减性开口向上y轴（0,0）当x0时，y随x的增大而减小
6、；当x0时，y随x的增大而增大。开口向上x=2（2,0）当x2时，y随x的增大而减小；当x2时，y随x的增大而增大。【变式1】在同一直角坐标系中，画出二次函数、与的图象根据所画图象，填写下表：抛物线开口方向对称轴顶点坐标增减性【解答】在同一直角坐标系中，画出二次函数、与的图象先列表：描点、连线，画出这两个函数的图象:根据所画图象，填写下表：抛物线开口方向对称轴顶点坐标增减性开口向下y轴（0,0）当x0时，y随x的增大而减大；当x0时，y随x的增大而增小。开口向下x=1（1,0）当x1时，y随x的增大而减大；当x1时，y随x的增大而增小。开口向下x=1（1,0）当x1时，y随x的增大而减大；当x
7、1时，y随x的增大而增小。【考点2 y=a（x-h）的图像的性质】【典例2】（2022秋安图县月考）二次函数y2（x+1）2的顶点坐标是（）A（1，2）B（1，2）C（1，0）D（1，0）【答案】D【解答】解：二次函数y2（x+1）2，顶点坐标为（1，0），故选：D【变式2-1】（2021安徽合肥九年级期中）函数图象的顶点坐标是（）ABCD【答案】A【解答】解：函数图象的顶点坐标是，故选：A 【变式2-2】（2021云南九年级期中）抛物线的开口向_，顶点坐标是_，对称轴是直线_【答案】 下 【解答】解：抛物线中，开口向下，顶点坐标是，对称轴是直线故答案为：向下，【典例3】（2022秋盐湖区月考
8、）对于二次函数y2（x+3）2的图象，下列说法正确的是（）A开口向上B对称轴是直线x3C当x4时，y随x的增大而减小D顶点坐标为（3，0）【答案】D【解答】解：A、开口向下，故A不符合题意；B、对称轴是直线x3，故B不符合题意；C、当x3时，y随x的增大而减小，故C不符合题意；D、顶点坐标为（3，0），故D符合题意；故选：D【变式3-1】（2021湖南九年级期中）关于二次函数，下列说法正确的是（）A其图象的开口向上B其图象的对称轴是直线C其图象的顶点坐标是D当时，随的增大而减小【答案】D【解答】，抛物线开口向下，故A错误；，抛物线的对称轴是，故B错误；，抛物线的顶点坐标是，故C错误；，当时，随
9、的增大而减小，故D正确故选：D【变式3-2】（2022秋海淀区校级月考）抛物线yx2+2和y（x+2）2的对称轴分别是（）Ay轴，直线x2B直线x2，x2C直线x2，直线x2Dy轴，直线x2【答案】D【解答】解：抛物线yx2+2的对称轴为y轴，抛物线y（x+2）2的对称轴为直线x2，故选：D【典例4】（2022河南南阳九年级期末）已知，三点都在二次函数的图象上，则，的大小关系为（）ABCD【答案】B【解答】解：二次函数的解析式为：，该二次函数的对称轴为：直线，点关于对称轴的对称点为，点都在对称轴左侧，对称轴左侧随的增大而增大故选：B【变式4-1】（2021秋海珠区期末）二次函数y（x1）2，当
10、x1时，y随x的增大而 （填“增大”或“减小”）【答案】减小【解答】解：在平面直角坐标系中画出二次函数y（x1）2的示意图如下：抛物线y（x1）2的对称轴为直线x1，由图象可以看出：当x1时，即在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，故答案为：减小【变式4-2】（2021浙江温州一模）已知二次函数ya（xm）2（a0）的图象经过点A（1，p），B（3，q），且pq，则m的值可能是（）A1BC0D【答案】D【解答】解：ya（xm）2（a0），抛物线开口向下，对称轴为直线xm，当pq时，m1，pq，m1，故选：D【考点2 ： y=a（x-h）图像的变换问题】【典例5】（2022浙江九年级期末）将二次函
11、数y2x2的图象平移后，可得到二次函数y2(x1)2的图象，平移的方法是()B 向上平移1个单位 B向下平移1个单位 C向左平移1个单位D向右平移1个单位【答案】C【解答】抛物线y2x2的顶点坐标是(0，0)，抛物线y2(x1)2的顶点坐标是(1，0)则由二次函数y2x2的图象向左平移1个单位即可得到二次函数y2(x1)2的图象故选C.【变式5】（2022江苏九年级专题练习）抛物线的图象可由抛物线向_平移_个单位得到，它的顶点坐标是_，对称轴是_【答案】 右 2 (2,0) x=2【解答】的顶点是(0，0)，的顶点是(2，0) 故可得向右平移2个单位得到，的顶点坐标是(2，0)，对称轴为x=2
12、故答案为：右，2，(2,0)，x=2【考点4： y=a（x-h）图像的综合应用】【典例6】（2022福建九年级专题练习）写出一个满足“当时，随增大而减小”的二次函数解析式_【答案】（答案不唯一）【解答】解：设抛物线的解析式为y=a(x-2)2，在抛物线对称轴的右边， y 随 x 增大而减小，a0，符合上述条件的二次函数均可，可取a=-1，则y=-(x-2)2 故答案为：y=-(x-2)2【变式6-1】（2021北京九年级期中）老师给出一个二次函数，甲、乙、丙三名同学各指出这个函数的一个性质甲：函数图象的顶点在x轴上；乙：当x1时，y随x的增大而减小；丙：该函数的开口大小、形状均与函数y=x2的图像相同已知这三位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数表达式_【答案】【解答】解：根据题意知，函数图象的顶点在x轴上，设函数的解析式为； 该函数的开口大小、形状均与函数y=x2的图像相同 当x1时，y随x的增大而减小； 所以取 满足上述所有性质的二次函数可以是：， 故答案为：，（答案不唯一）【变式6-2】（2021全国九年级专题练习）在抛物线经过（m，n）和（m+3，n）两点，则n的值为（）ABCD【答案】A【解答】解：将点m，n）和（m+3，n）代入得到：整理得：解得： 把点代入可得：解得：故选：A
