1、专题2.2.1 二次函数y=ax图像和性质（知识解读）【直击考点】（1） y=ax（a0）的图像 （2） y=ax（a0）的图像的性质（3） y=ax（a0）的实际应用【学习目标】1. 会用描点法画出二次函数的图像，并结合图像理解抛物线、对称轴、顶点坐标及开口方向等概念。；2. 掌握二次函数的图像和性质，并解决简单的应用；【知识点梳理】考点 1 y=ax的图像画法：（1） 应先列表，（2）再描点，（3）最后连线。列表选取自变量x值时常以0为中心，选取便于计算、描点的整数值，描点连线时一定要用光滑曲线连接，并注意变化趋势。考点2 y=ax的图像的性质小结：从二次函数的图象可以看出，对于抛物线 y
2、 = ax来说， a 越大，抛物线的开口越小 【典例分析】【考点1 y=ax的图像】【典例1】在同一坐标系中画出下列函数的图象（1）yx2（2）yx2【变式1】在同一平面直角坐标系中，画出y3x2和yx2的图象【考点2 y=ax的图像的性质】【典例2】（2021秋肥东县期末）二次函数yx2的图象经过的象限是（）A第一、二象限B第一、三象限C第二、四象限D第三、四象限【变式2-1】（2021秋衢州期末）抛物线yx2的开口方向是（）A向上B向下C向右D向左【变式2-2】抛物线 y=3x2 的对称轴是（） A直线 x=3 B直线 x=3 C直线 x=0 D直线 y=0【典例3】已知点A（2，y1），
3、B（1，y2），C（3，y3）在二次函数y=2x2图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）A y1y3y2By1y2y3Cy2y1y3Dy3y1y2【变式3-1】若点A(1,y1)，B(2,y2)在抛物线y=2x2上，则y1，y2的大小关系为：y1 y2（填“”，“=”或“”）【变式3-2】已知二次函数y（a1）x2，当x0时，y随x增大而增大，则a的取值范围是（）Aa0Ba1Ca1Da1【典例4】（2021秋武冈市期末）已知四个二次函数的图象如图所示，那么a1，a2，a3，a4的大小关系是 （请用“”连接排序）【变式4-1】（2021秋霍林郭勒市期末）如图所示，在同一坐标系中，作出y3x
4、2；yx2；yx2的图象，则图象从里到外的三条抛物线对应的函数依次是（填序号） 【变式4-2】（2019秋建邺区期末）已知两个二次函数的图象如图所示，那么a1 a2（填“”、“”或“”）【典例5】（2021秋淮阴区期末）下列图象中，当ab0时，函数yax2与yax+b的图象是（）ABCD【变式5-1】（2015秋榆社县期末）在同一坐标系中，函数yax2与yax+a（a0）的图象的大致位置可能是（）ABCD【变式5-2】二次函数 yax2 与一次函数 yax+a 在同一坐标系中的大致图象可能是（） ABCD【变式5-3】（2022东莞市校级一模）在同一平面直角坐标系xOy中，一次函数yax与二次
5、函数yax2+a的图象可能是（）ABCD【考点3 y=ax的实际应用】【典例6】（2020兰州）如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB时，宽20m，水位上升3m就达到警戒线CD，这时水面宽度为10m（1）在如图的坐标系中求抛物线的解析式；（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到达拱桥顶？【变式6-1】（2021顺河区校级月考）如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数y2x2与y2x2的图象，则阴影部分的面积是【变式6-2】（2021秋宛城区校级月考）如图有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位时AB宽20米，水
6、位上升3米就达到警戒线CD，此时水面宽度为10米（1）在如图的坐标系中求抛物线的解析式（2）若洪水到来时，水位以每小时0.25米的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时水能漫到拱桥顶？专题2.2.1 二次函数y=ax图像和性质（知识解读）【直击考点】（4） y=ax（a0）的图像 （5） y=ax（a0）的图像的性质（6） y=ax（a0）的实际应用【学习目标】3. 会用描点法画出二次函数的图像，并结合图像理解抛物线、对称轴、顶点坐标及开口方向等概念。；4. 掌握二次函数的图像和性质，并解决简单的应用；【知识点梳理】考点 1 y=ax的图像画法：（2） 应先列表，（2）再描点，（3）最后连线。
7、列表选取自变量x值时常以0为中心，选取便于计算、描点的整数值，描点连线时一定要用光滑曲线连接，并注意变化趋势。考点2 y=ax的图像的性质小结：从二次函数的图象可以看出，对于抛物线 y = ax来说， a 越大，抛物线的开口越小 【典例分析】【考点1 y=ax的图像】【典例1】在同一坐标系中画出下列函数的图象（1）yx2（2）yx2【答案】略【解答】解：列表得： 21 0 1 2yx241 014 yx2 2 0 2描点、连线可得图象为：【变式1】在同一平面直角坐标系中，画出y3x2和yx2的图象【答案】略【解答】解：y3x2和yx2的图象如图所示【考点2 y=ax的图像的性质】【典例2】（2
8、021秋肥东县期末）二次函数yx2的图象经过的象限是（）A第一、二象限B第一、三象限C第二、四象限D第三、四象限【答案】A【解答】解：yx2，抛物线开口向上，顶点坐标为（0，0），抛物线经过第一，二象限故选：A【变式2-1】（2021秋衢州期末）抛物线yx2的开口方向是（）A向上B向下C向右D向左【答案】B【解答】解：yx2中，0，抛物线开口向下，故选：B【变式2-2】抛物线 y=3x2 的对称轴是（） A直线 x=3 B直线 x=3 C直线 x=0 D直线 y=0【答案】C【解答】解：对称轴为直线： x=b2a ， 其中， a=3 ， b=0 ，x=0 ，故答案为：C【典例3】已知点A（2，
9、y1），B（1，y2），C（3，y3）在二次函数y=2x2图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）B y1y3y2By1y2y3Cy2y1y3Dy3y10时，y随x增大而增大，二次函数 y=(a1)x2的图象开口向上，a-10，即：a1，故答案为：B【典例4】（2021秋武冈市期末）已知四个二次函数的图象如图所示，那么a1，a2，a3，a4的大小关系是 （请用“”连接排序）【答案】a1a2a3a4【解答】解：如图所示：ya1x2的开口小于ya2x2的开口，则a1a20，ya3x2的开口大于ya4x2的开口，开口向下，则a4a30，故a1a2a3a4故答案为：a1a2a3a4【变式4-1】（
10、2021秋霍林郭勒市期末）如图所示，在同一坐标系中，作出y3x2；yx2；yx2的图象，则图象从里到外的三条抛物线对应的函数依次是（填序号） 【答案】【解答】解：y3x2，yx2，yx2中，二次项系数a分别为3、1，31，抛物线yx2的开口最宽，抛物线y3x2的开口最窄故依次填：所以图中的阴影部分的面积是8故答案为8【变式4-2】（2019秋建邺区期末）已知两个二次函数的图象如图所示，那么a1 a2（填“”、“”或“”）【答案】【解答】解：如图所示ya1x2的开口大于ya2x2的开口，开口向下，则a2a10，故答案为：【典例5】（2021秋淮阴区期末）下列图象中，当ab0时，函数yax2与ya
11、x+b的图象是（）ABCD【答案】D【解答】解：A、对于直线yax+b，得a0，b0，与ab0矛盾，所以A选项错误；B、由抛物线yax2开口向上得到a0，而由直线yax+b经过第二、四象限得到a0，所以B选项错误；C、由抛物线yax2开口向下得到a0，而由直线yax+b经过第一、三象限得到a0，所以C选项错误；D、由抛物线yax2开口向下得到a0，则直线yax+b经过第二、四象限，由于ab0，则b0，所以直线与y轴的交点在x轴下方，所以D选项正确故选：D【变式5-1】（2015秋榆社县期末）在同一坐标系中，函数yax2与yax+a（a0）的图象的大致位置可能是（）ABCD【答案】B【解答】解：
12、a0，二次函数yax2的图象的开口方向是向下；一次函数yax+a（a0）的图象经过第二、三、四象限；故选：B【变式5-2】二次函数 yax2 与一次函数 yax+a 在同一坐标系中的大致图象可能是（） ABCD【答案】D【解答】解：由一次函数 yax+a 可知，一次函数的图象与 x 轴交于点 （1，0） ，排除 A、B ；当 a0 时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三、四象限，当 a0 时，二次函数开口向下，一次函数经过二、三、四象限，排除 C ；故答案为： D 【变式5-3】（2022东莞市校级一模）在同一平面直角坐标系xOy中，一次函数yax与二次函数yax2+a的图象可能是（）ABC
13、D【答案】C【解答】解：A由直线可知a0，由抛物线开口向上，a0，不符合题意B由抛物线开口向上a0，抛物线与y轴交点在x轴下方，在a0，不符合题意C由直线可知a0，由抛物线开口向下a0，抛物线与y轴交点在x轴下方，a0，符合题意D由直线可知a0，抛物线开口向下a0，不符合题意故选：C【考点3 y=ax的实际应用】【典例6】（2020兰州）如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB时，宽20m，水位上升3m就达到警戒线CD，这时水面宽度为10m（1）在如图的坐标系中求抛物线的解析式；（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到达拱桥顶？【答案】（
14、1） （2）5小时【解答】解：（1）设所求抛物线的解析式为：yax2（a0），由CD10m，可设D（5，b），由AB20m，水位上升3m就达到警戒线CD，则B（10，b3），把D、B的坐标分别代入yax2得：，解得y；（2）b1，拱桥顶O到CD的距离为1m，5（小时）所以再持续5小时到达拱桥顶【变式6-1】（2021顺河区校级月考）如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数y2x2与y2x2的图象，则阴影部分的面积是【答案】8【解答】解：函数y2x2与y2x2的图象关于x轴对称，图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，而边长为4的正方形面积为16，【变式6-2】（2021秋宛城区校级月考）如图有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位时AB宽20米，水位上升3米就达到警戒线CD，此时水面宽度为10米（1）在如图的坐标系中求抛物线的解析式（2）若洪水到来时，水位以每小时0.25米的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时水能漫到拱桥顶？【答案】（1）yx2； （2）4小时【解答】解：（1）设所求抛物线的解析式为：yax2设D（5，b），则B（10，b3），把D、B的坐标分别代入yax2得：，解得a，b1，yx2；（2）b1，拱桥顶O到CD的距离为1，10.254（小时）所以再持续4小时到达拱桥顶
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