专题2.2 函数的单调性与最值（原卷版）.docx

1、2.2 函数的单调性与最值思维导图知识点总结知识点一增函数与减函数的定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI：(1)如果x1，x2D，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是 (2)如果x1，x2D，当x1f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是 思考(1)所有的函数在定义域上都具有单调性吗？(2)在增函数和减函数定义中，能否把“任意x1，x2D”改为“存在x1，x2D”？答案(1)不是；(2)不能知识点二函数的单调区间

2、如果函数yf(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的) ，区间D叫做yf(x)的 特别提醒：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开(2)单调区间D定义域I.(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大知识点三函数的最大(小)值及其几何意义最值条件几何意义最大值对于xI，都有 ，x0I，使得 函数yf(x)图象上最高点的纵坐标最小值对于xI，都有 ，x0I，使得 函数yf(x)图象上最低点的纵坐标思考函数f(x)x211总成立，f(x)的最小值是1吗

3、？答案f(x)的最小值不是1，因为f(x)取不到1.知识点四求函数最值的常用方法1图象法：作出yf(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值2运用已学函数的值域3运用函数的单调性：(1)若yf(x)在区间a，b上是增函数，则ymax ，ymin (2)若yf(x)在区间a，b上是减函数，则ymax ，ymin 4分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个典型例题分析考向一 函数单调性的判定与证明例1根据定义，研究函数f(x)在x(1,1)上的单调性反思感悟利用定义判断或证明函数单调性的步骤考向二 求单调区间并判断单调性例2(1)如图是定义

4、在区间5,5上的函数yf(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？(1)函数单调区间的两种求法图象法即先画出图象，根据图象求单调区间定义法即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解(2)函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有考向三 利用函数的单调性求最值例3已知函数f(x)，x3,5(1)判断函数f(x)的单调性并证明；(2)求函数f(x)的最大值和最小值反思感悟(1)若函数yf(x

5、)在区间a，b上单调递增，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a)(2)若函数yf(x)在区间a，b上单调递减，则f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b)(3)若函数yf(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值(4)如果函数定义域为开区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势基础题型训练一、单选题1函数在上是减函数，则（）ABCD2若函数f(x)是R上的增函数，对实数a，b，若ab0，则有()Af(a)f(b)f(a)f(b)Bf(a)f(b)f(a)f(b)

6、Df(a)f(b)f(a)f(b)3函数为的导函数，令，则下列关系正确的是（）ABCD4函数的值域为ABCD5设a，若时，恒有，则（）ABCD6已知函数的图像关于对称，且对任意的，总有，则下列结论正确的是（）ABCD二、多选题7函数满足条件：对定义域内任意不相等的实数，恒有；对定义域内任意两个实数，都有成立，则称为函数，下列函数为函数的是（）ABC，D，8关于函数，下列命题中正确的是（）A函数图象关于y轴对称B当时，函数在上为增函数C当时，函数有最大值，且最大值为D函数的值域是三、填空题9函数的单调递减区间为_.10二次函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是_.11如果对于函数的定义域内任意

7、两个自变量的值，当时，都有且存在两个不相等的自变量，使得，则称为定义域上的不严格的增函数已知函数的定义域、值域分别为，且为定义域上的不严格的增函数，那么这样的函数共有_个12已知在上单调递增，则实数a的取值范围为_.四、解答题13设函数,函数.(1)若时,画出函数的图象,并指出函数的单调区间；(2)求在区间上的最小值.14设函数，求证：函数f（x）在区间0，+）上是单调增函数15已知函数，二次函数满足，且不等式的解集为(1)求，的解析式；(2)设，根据定义证明：在上为增函数16设是偶函数，是奇函数，且，求函数的解析式提升题型训练一、单选题1函数y=x2-5x-6在区间2，4上是（）A递减函数B

8、递增函数C先递减再递增函数D先递增再递减函数2定义，若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（）ABCD3已知，若函数在上为减函数，且函数在上有最大值，则a的取值范围为（）ABCD4已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是（）ABCD5当时，函数有最小值是，则的值为（）AB1C3D1或36已知函数是定义在上的单调函数，且，则的值为（）ABCD4二、多选题7已知函数的图象由如图所示的两段线段组成，则下列正确的为（）AB函数在区间上的最大值为2C的解析式可表示为：D，不等式的解集为8函数与函数在同一坐标系中的图象可能是（）ABCD三、填空题9的最大值为_10已知函数在上单调,则实数取值范围是_.11

9、函数在上的最小值为8，则实数_.12已知，若对任意都成立，则的取值范围是_四、解答题13已知函数,当自变量x在下列范围内取值时,求函数的最大值和最小值.(1)R；(2)；(3). 14已知函数，且，.（1）求，；（2）判断在上的单调性并证明.15设函数的定义域为，且有：， 对任意正实数都有，为减函数（1）求：的值；（2）求证：当时，；（3）求证：当时，都有；（4）解不等式：.16对于定义在区间上的函数，若存在闭区间和常数，使得对任意，都有，且对任意，当时恒成立，则称函数为区间上的“平底型”函数.（I）若函数是上的“平底型”函数，求的值；（）判断函数是否为上的“平底型”函数？并说明理由；（）若函数是区间上的“平底型”函数，且函数的最小值为，求. 的值