1、专题2.18 等边三角形的轴对称性（分层练习）（培优练）一、单选题1如图，若是等边三角形，是边上的高，延长到E，使，则（ ）A7B8C9D102下列推理中，不能判断是等边三角形的是（ ）ABCD，且3如图，AOB30，AOB 内有一定点P，且OP12，在OA 上有一动点Q，OB 上有一动点R若PQR 周长最小，则最小周长是（）A6B12C16D204 如图，点M在等边ABC的边BC上，BM8，射线CDBC垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点N是线段AB上一动点，当MP+NP的值最小时，BN9，则AC的长为（ ） A15B12C13D105如图，已知是边长为4的等边三角形，是顶角为120的等腰
2、三角形，动点、分别在边、上，且，则的周长是（ ）A12B10C8D66已知，在ABC中，如图，（1）分别以B，C为圆心，BC长为半径作弧，两弧交于点D； （2）作射线AD，连接BD，CD根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）ABBCD是等边三角形CAD垂直平分BCD7如图，在中，若D是边上的动点，则的最小值是（ ）A6B8C10D128如图，等边ABC中，AD为BC边上的高，点M、N分别在AD、AC上，且AMCN，连BM、BN，当BM+BN最小时，MBN的度数为（） A15B22.5C30D47.59如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别是BC，AB上的点，且BECD，AD与C
3、E相交于点F，连接BF，延长FE至G，使FGFA，若ABF的面积为m，AF：EF5：3，则AEG的面积是（） ABCD10如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边ABC和等边ECD，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q连接PQ以下五个结论正确的是（ ） ；PQAE； ； ；ABCD二、填空题11如图，RtABC中，C90，D是BC的中点，CAD30，BC6，则AD+DB的长为 12如图，在等边ABC中，F是AB的中点，FEAC于E，如果ABC的边长是12，则AE= 13如图已知OA=a，P是射线ON上一动点，AON=60，当OP= 时，AOP为
4、等边三角形14如图，是等边三角形，D是的中点，点E在的延长线上，点F在上，若，则的值为 15如图，是等边三角形，点E在AC的延长线上，点D在线段AB上，连接ED交线段BC于点F，过点F作于点N，若，则AN的长为 16如图，点是等边内一点，以为一边作等边三角形，连接探究：当 时，是等腰三角形？ 17如图，过边长为2的等边的边上一点，作于点，为延长线上一点，当时，连接交边于点，则的长为 .18如图，在等腰ABC中，AB=AC，BAC=120，点D是线段BC上一点，ADC=90，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，下面的结论：APO=ACO；APO+DCO=30；AC=AO+A
5、P；PO=PC，其中正确的有 三、解答题19在中，点D、E分别在、上，连接、和；并且有，（1）求的度数； （2）求证：20如图所示，为等边三角形，边长为4，点为边中点，其两边分别交和的延长线于，求的值.21如图，点O是等边ABC内一点，D是ABC外的一点，AOB110，BOC，BOCADC，OCD60，连接OD（1）求证：OCD是等边三角形；（2）当150时，试判断AOD的形状，并说明理由；（3）探究：当为多少度时，AOD是等腰三角形 22已知ABC和DEF为等腰三角形，ABAC，DEDF，BACEDF，点E在AB上，点F在射线AC上（1）如图1，若BAC60，点F与点C重合，求证：AFAE+
6、AD；（2）如图2，若ADAB，求证：AFAE+BC 23如图，在ABC中，ABAC，BAC120，D是BC中点，连接AD点M在线段AD上（不与点A，D重合），连接MB，点E在CA的延长线上且MEMB，连接EB（1）比较ABM与AEM的大小，并证明；（2）用等式表示线段AM，AB，AE之间的数量关系，并证明24在ABC中，AD为ABC的中线，点E是射线AD上一动点，连接CE，作，射线EM与射线BA交于点F（1）如图1，当点E与点D重合时，求证：；（2）如图2，当点E在线段AD上，且与点A，D不重合时，依题意，补全图形；用等式表示线段AB，AF，AE之间的数量关系，并证明（3）当点E在线段AD的
7、延长线上，且时，直接写出用等式表示的线段AB，AF，AE之间的数量关系 参考答案1C【分析】因为ABC是等边三角形，所以ABC=ACB=60，BD是AC边上的高，则DBC=30，AD=CD=AC，再由题中条件CE=CD，即可求得BE【详解】解：ABC是等边三角形，ABC=ACB=60，AB=BC=6，BD是AC边上的高，AD=CD=AC=3，DBC=ABC=30，CE=CD，CE=AC=3，BE=BC+CE=6+3=9故选：C【点拨】本题考查了等腰三角形的性质及等边三角形的性质，考查了学生综合运用数学知识的能力，得到AD=CD=AC是正确解答本题的关键2D【分析】根据等边三角形的定义、判定定理
8、以及三角形内角和定理进行判断【详解】A、由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断ABC是等边三角形，故本选项不符合题意；B、由“有一个角是60的等腰三角形是等边三角形”可以判断ABC是等边三角形，故本选项不符合题意；C、由“A60，B60”可以得到“ABC60”，则由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断ABC是等边三角形，故本选项不符合题意；D、由“ABAC，且BC”只能判定ABC是等腰三角形，故本选项符合题意故选：D【点拨】本题主要考查了等边三角形的判定和三角形内角和定理，属于基础题（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三
9、角形（3）判定定理2：有一个角是60的等腰三角形是等边三角形3B【详解】作点P 关于OA的对称点点E，点P关于OB的对称点点F，连接EF分别交OA于点Q，交OB于点R，连接OE、OF，P、E关于OA对称，OE=OP=12，EOA=AOP，QE=QP，同理可证OP=OF=12，BOP=BOF，RP=RF，OE=OF=12，EOF=EOP+FOP=2AOB=60，OEF是等边三角形，EF=12，CPQR=PQ+PR+QR=EQ+QR+RF=EF=12故选B4C【分析】由AC=BC，作点M关于直线CD的对称点G，过G作于点，交CD于P，则此时MP+PN的值最小，再由直角三角形即可求出答案【详解】如图
10、： 是等边三角形，作点M关于直线CD的对称点G，过G作于点 ，交CD于P， 为最小值 ， 故答案选C【点拨】本题考查轴对称中的最短路径问题、等边三角形的性质、直角三角形的性质，正确作图是关键5C【分析】延长EB到G，使BG=FC，连接DG，通过DCFDBG得到DG=DF、FDC=GDB，再利用EDGEDF得到EF=EB+FC，求出结果【详解】解：延长EB到G，使BG=FC，连接DG，ABC是等边三角形，ABC=ACB=60，又BD=CD，DCB=DBC= ，DCF=DBE=90，在直角DCF和直角DBG中， ，DCFDBG，DG=DF，FDC=GDB，GDF=BDC=120，又EDF=60，E
11、DG=60，在EDG和EDF中， ，EDGEDF，EF=EG=EB+GB=EB+FC，AEF的周长为：AE+AF+EF=AE+AF+BE+FC=AB+AC=8，故选择C【点拨】本题考查等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质，解决问题的关键构造全等三角形6D【分析】根据作图过程及所作图形可知，得出BCD是等边三角形；又因为，推出，继而得出；根据，可知AD为的角平分线，根据三线合一得出AD垂直平分BC；四边形ABCD的面积等于的面积与的面积之和，为【详解】解：BCD是等边三角形故选项B正确；，故选项A正确；，据三线合一得出AD垂直平分BC故选项C正确；四边形ABCD的面积等于的面积与的面积之和故
12、选项D错误故选：D【点拨】本题考查的知识点是等边三角形的判定、全等三角形的判定及性质、线段垂直平分线的判定以及四边形的面积，考查的范围较广，但难度不大7D【分析】过点C作射线，使，再过动点D作，垂足为点F，连接，在中，当A，D，F在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长【详解】解：过点C作射线，使，再过动点D作，垂足为点F，连接，如图所示：在中，当A，D，F在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长，此时，是等边三角形，在中，的最小值为12，故选：D【点拨】本题考查垂线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造胡不归模型，学会用转化的思想思考问题，属于中考选择或
13、填空题中的压轴题8C【分析】如图1中，作CHBC，使得CHBC，连接NH，BH证明ABMCHN（SAS），推出BMHN，由BN+HNBH，可知B，N，H共线时，BM+BNNH+BN的值最小，求出此时MBN即可解决问题【详解】解：如图1中，作CHBC，使得CHBC，连接NH，BHABC是等边三角形，ADBC，CHBC，DACDAB30，ADCH，HCNCADBAM30，AMCN，ABBCCH，ABMCHN（SAS），BMHN，BN+HNBH，B，N，H共线时，BM+BNNH+BN的值最小，如图2中，当B，N，H共线时，ABMCHN，ABMCHBCBH45，ABD60，DBM15，MBN45153
14、0，当BM+BN的值最小时，MBN30，故选：C【点拨】本题考查轴对称，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题9A【分析】先根据定理证出，从而可得，根据等边三角形的判定可得是等边三角形，再根据定理证出，从而可得，根据平行线的判定可得，从而可得，然后根据可得，最后根据三角形的面积公式即可得【详解】解：是等边三角形，在和中，是等边三角形，即，在和中，又，（同底等高），即的面积为，故选：A【点拨】本题考查了等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质等知识点，正确找出两组全等三角形是解题关键10C【分析】由于ABC和CDE是等边三角形，可知AC=BC，CD=
15、CE，ACB=DCE=60，从而证出ACDBCE，可推知AD=BE；由ACDBCE得CBE=DAC，加之ACB=DCE=60，AC=BC，得到CQBCPA（ASA），再根据PCQ=60推出PCQ为等边三角形，又由PQC=DCE，根据内错角相等，两直线平行，可知正确；根据CQBCPA（ASA），可知正确；根据DQE=ECQ+CEQ=60+CEQ，CDE=60，可知DQECDE，可知错误；利用等边三角形的性质，BCDE，再根据平行线的性质得到CBE=DEO，于是AOB=DAC+BEC=BEC+DEO=DEC=60，可知正确【详解】解：等边ABC和等边CDE，即，AD=BE，正确，又，即，又，又PC
16、Q=60可知PCQ为等边三角形， ，PQAE正确，CQBCPA，AP=BQ，正确，AD=BE，AP=BQ， ，即DP=QE， ，DQECDE，DEDP，故错误；ACB=DCE=60，BCD=60，等边DCE，EDC=60=BCD，BCDE，CBE=DEO，AOB=DAC+BEC=BEC+DEO=DEC=60，正确故选：C【点拨】本题综合考查了等边三角形判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识点的运用要求学生具备运用这些定理进行推理的能力，此题的难度较大119【分析】根据CAD30，得到AD=2CD，从而得到AD+BD=3CD,求得CD即可【详解】C90，D是BC的中点，CA
17、D30，BC6，AD=2CD，BD=CD=BC=3，AD+BD=3CD=9，故答案为：9【点拨】本题考查了直角三角形的性质，线段中点即线段上一点，把这条线段分成相等的两条线段的点，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键123【分析】根据等边三角形的性质及EFAC，可推出AFE=30，得AE=AF=AB=3【详解】ABC是等边三角形，A=60EFAC，AFE=30，AE=AF=AB=3，故答案为3【点拨】本题考查了等边三角形的性质及含30角的直角三角形的性质，关键是熟练掌握这些性质13a【分析】根据“有一内角为60度的等腰三角形是等边三角形”进行解答【详解】AON60，当OAOPa时，AOP为等边
18、三角形故答案是：a【点拨】本题考查了等边三角形的判定等边三角形的判定方法：（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形（3）判定定理2：有一个角是60的等腰三角形是等边三角形147.5【分析】取AB的中点G，连接DG，则可得AGD是等边三角形，易证明GDFCDE，从而即可求得结果【详解】取AB的中点G，连接DG，如图D是AC的中点，AD=CD=2.5，ABC是等边三角形，AB=5，A=B=ACB=60，AG=AD=2.5，AGD是等边三角形，AD=DG=CD，AGD =ADG=60，DGF=DCE=GDC=120，EDF=120，GDF+
19、FDC=FDC+CDE,GDF=CDE，在GDF与CDE中,GDFCDEFG=CE，BF+CE=BF+FG=BG=2.5，BE+BF=BC+CE+BF=5+2.5=7.5故答案为：7.5【点拨】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，构造两个全等三角形是本题的难点与关键1522【分析】作DGAC交BC于G，证明DFGEFC，设，则，根据求出的值和等边三角形的边长，进而可求AN的长【详解】解：作DGAC交BC于G，是等边三角形，DGB=ACB=60，DGF=ECF，DFG=EFC，DFGEFC，DGB=ACB=60，是等边三角形，设，则，则，AN的长为27-5=22，故答
20、案为：22【点拨】本题考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，解题关键是恰当作辅助线构建全等三角形，利用全等得出线段之间的关系求解16或或【分析】先求出，分三种情况讨论：AO=AD，则AOD=ADO，OA=OD，则OAD=ADO，OD=AD，则OAD=AOD，分别求出的角度即可.【详解】和是等边三角形，在和中，（SAS），当时，垂直平分，；当时，当时，故答案为：或或【点拨】本题是对等边三角形的考查，熟练掌握等边三角形的性质定理及分类讨论是解决本题的关键.171【分析】过点P作交于点F，根据题意可证是等边三角形，根据等腰三角形三线合一证明，根据全等三角形判定定理可
21、证，进而证明，计算求值即可【详解】过点P作交于点F，如图，是等边三角形，；，在和中，；，故答案为：【点拨】本题考查了平行线性质、等边三角形性质、全等三角形判定与性质，掌握全等三角形判定定理是解题关键18【分析】连接BO，由线段垂直平分线的性质定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，角的和差求出APO=ACO，APO+DCO=30，由三角形的内角和定理，角的和差求出POC=60，再由等边三角的判定证明OPC是等边三角形，得出PC=PO，PCO=60，由角的和差，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段的和差和等量代换求出AO+AP=AC，即可得出结果【详解】解：连接BO，如
22、图1所示：AB=AC，ADBC，BO=CO，OBC=OCB，又OP=OC，OP=OB，OBP=OPB，又在等腰ABC中BAC=120，ABC=ACB=30，OBC+OBP=OCB+ACO，OBP=ACO，APO=ACO，故正确；又ABC=PBO+CBO=30，APO+DCO=30，故正确；PBC+BPC+BCP=180，PBC=30，BPC+BCP=150，又BPC=APO+CPO，BCP=BCO+PCO，APO+DCO=30，OPC+OCP=120，又POC+OPC+OCP=180，POC=60，又OP=OC，OPC是等边三角形，PC=PO，PCO=60，故正确；在线段AC上截取AE=AP，
23、连接PE，如图2所示：BAC+CAP=180，BAC=120，CAP=60，APE是等边三角形，AP=EP，又OPC是等边三角形，OP=CP，又APE=APO+OPE=60，CPO=CPE+OPE=60，APO=EPC，在APO和EPC中，APOEPC（SAS），AO=EC，又AC=AE+EC，AE=AP，AO+AP=AC，故正确；故答案为：【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质定理、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、角的和差、线段的和差、等量代换等相关知识点；作辅助线构建等腰三角形、等边三角形、全等三角形是解题的关键19（1）；（2）见解析【分析】（1）
24、由，可得为等边三角形，由，可证 （2）延长至F，使，连接， 由，且，可证 由，可证为等边三角形，可得， 可推出结论，【详解】解：（1），为等边三角形， ， （2）如图，延长至F，使，连接， 由（1）得为等边三角形，又，且，在与中， ，又，为等边三角形， 又，且，【点拨】本题考查等边三角形的判定与性质，三角形全等判定与性质，线段和差，三角形外角性质，关键是引辅助线构造三角形全等证明等边三角形206【分析】过点O作OCAB交AD于点C，根据等腰三角形的性质就可以得出OCFOBE，就可以得出CF=BE，进而可以得出结论【详解】过点O作ODAB交AC于点D，CDO=A=ACB=ABC=60，DOC=6
25、0，ADO=BOD=120CDO是等边三角形，DO=CO，DO=BO=ADABC是等边三角形，AB=AC=BCCAB=ABC=C=60，OBE=120，ODF=OBEFOB+BOE=EOF=120，DOF+FOB=BOD=120FOD=EOB在DOF和BOE中，DOFBOE（ASA）FC=EBOF=OEAE=AB+BE，AE=AB+DF，AE=AB+AD+AF，AE-AF=AB+ADAB+AD=AB，AE-AF=ABAB=4，AE-AF=6.【点拨】本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，线段中点的性质的运用，解答时正确作辅助线证明三角形全等是关键21(1）见解析(2)
26、AOD是直角三角形，理由见解析(3)当=110或125或140时，AOD是等腰三角形【分析】（1）根据有一个角是60的等腰三角形是等边三角形可得证；（2）根据全等易得ADC=BOC=150，结合（1）中的结论可得ADO为90，那么可得所求三角形的形状；（3）根据题中所给的全等及AOB的度数可得AOD的度数，根据等腰三角形的两底角相等分类探讨即可【详解】（1）证明：BOCADC，OC=DC，OCD=60，OCD是等边三角形（2）AOD是直角三角形理由如下：OCD是等边三角形，ODC=60，BOCADC，=150，ADC=BOC=150，ADO=ADC-ODC=150-60=90，AOD是直角三角
27、形（3）OCD是等边三角形，COD=ODC=60AOB=110，ADC=BOC=，AOD=360-AOB-BOC-COD=360-110-60=190-，ADO=ADC-ODC=-60，OAD=180-AOD-ADO=180-（190-）-（-60）=50当AOD=ADO时，190-=-60，=125当AOD=OAD时，190-=50，=140当ADO=OAD时，-60=50，=110综上所述：当=110或125或140时，AOD是等腰三角形【点拨】题目综合考查了全等三角形的性质及等腰三角形的判定；注意应分类探讨三角形为等腰三角形的各种情况是解题关键22(1）见解析 （2）见解析【分析】（1）
28、结合题干的BACEDF60，推导出两个三角形为等边三角形，再由全等三角形的判定和性质即可求解；（2）由第（1）小问的解题思路和BACEDF、ED=DF这两个条件想到：在FA上截取FMAE，求证AEDMFD，再由全等的性质可得DADMABAC，即可证ABCDAM，最后由全等的性质得AMBC即可求解【详解】（1）BACEDF60，ABC、DEF为等边三角形，BCE+ACEDCA+ECA60，AB=AFBC=AC、CE=CDBCEACD（SAS），ADBE，ABAE+BE AFAE+AD；（2）在FA上截取FMAE，连接DM；AF，DE相交于点GBACEDF，AEDMFD，AE=MF，ED=DFAE
29、DMFD（SAS），DADMABAC，ADEMDF，ADE+EDMMDF+EDM，即ADMEDFBAC，AC=DMABCDAM（SAS），AMBC，AE+BCFM+AMAF即AFAE+BC【点拨】本题主要考查三角形全等的判定、全等三角形的性质、等边三角形和等腰三角形的性质等知识点，属于中难档的几何综合题其中解题的关键是结合题干信息正确的作出辅助线23(1)，证明见解析；(2)AB=AM+AE，证明见解析【分析】（1）连接CM，由ABAC， D是BC中点得AD垂直平分线段CD， ，从而有BM=CM=ME，于是得，即可得；（2）AB=AM+AE，证明见解析，理由如下：如下图2，在线段AC上取一点G
30、，使得AG=AM，连接MG，ABAC， D是BC中点，BAC120得，进而证明是等边三角形，得AG=AM=MG，从而证明，即可证明AB=AM+AE，【详解】（1）解： ，理由如下：如下图1，连接CM， ABAC， D是BC中点，AD垂直平分线段CD，即 ，BM=CM，MEMB，BM=CM=ME，；（2）解： AB=AM+AE，证明见解析，理由如下：如下图2，在线段AC上取一点G，使得AG=AM，连接MG， ABAC， D是BC中点，BAC120， AG=AM，是等边三角形， AG=AM=MG，在和中， ，EG=AE+AG，AG=AM， AB=AM+AE【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质、线
31、段垂直平分线的判定及性质、等边三角形的判定及性质以及全等三角形的判定及性质，利用旋转思想作出手拉手全等三角形是解题的关键24（1）见解析；（2），证明见解析；（3）当时，,当时，【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质得，从而可得在中，进而即可求解；（2）画出图形，在线段AB上取点G，使，再证明，进而即可得到结论；（3）分两种情况：当时，当时，分别画出图形，证明或，进而即可得到结论【详解】（1），是等腰三角形，,，AD为ABC的中线，在中，；（2），证明如下：如图2，在线段AB上取点G，使，是等边三角形，是等腰三角形，AD为ABC的中线，即，在与中，；（3）当时，如图3所示：与（2）同理：在线段AB上取点H，使，是等边三角形，是等腰三角形，AD为的中线，当时，如图4所示：在线段AB的延长线上取点N，使，是等边三角形，在与中，【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及等边三角形的判定与性质，根据题意做出辅助线找全等三角形是解题的关键
