1、专题2.1 一元二次方程（知识讲解）【学习目标】1 理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义；会把一元二次方程化为一般形式；2会把一元二次方程化为一般形式；3会用整体思想及一元二次方程的解求代数式的值.【要点梳理】1一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程特别说明：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.2一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元
2、二次方程的一般形式其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项特别说明：(1)只有当时，方程才是一元二次方程；(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.4.中考热点：通过方程的解和整体思想降次求代数式的解【典型例题】类型一、一元二次方程概念的理解求代数式的值1 若方程是关于的一元二次方程，求的值【答案】【分析】根据一元二次方程的定义得出，即可求解解：方程是关于的一元二次方程，解得【点拨】本题考查了一元二
3、次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程举一反三：【变式】 已知关于x的方程（m）x3，试问：(1) m为何值时，该方程是关于x的一元一次方程？(2) m为何值时，该方程是关于x的一元二次方程？【答案】(1)m或或(2)【分析】（1）根据方程中只含有一个未知数且未知数的最高次数是1次的整式方程是一元一次方程，可得答案；（2）根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件： (1) 未知数的最高次数是2； (2) 二次项系数不为0；由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可（1）解：由题意，得
4、m211，解得m，当m时，该方程是一元一次方程；m0，解得m，当m时，该方程是一元一次方程；m210，解得m1，m1时，该方程是一元一次方程，综上，当m或或1时，该方程是关于x的一元一次方程；（2）解：由题意，得m212且m0，解得m，当m时，该方程是关于x的一元二次方程【点拨】本题利用了一元二次方程的概念，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0 (且a0) ，特别要注意a0的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点2 （1）若方程是关于x的一元二次方程，求m的取值范围（2）如果是方程的一个根，求的值【答案】（1）且；（2）9【分析】（1）根
5、据一元二次方程的定义和二次根式有意义的条件进行求解即可；（2）把代入中得到，再由进行求解即可解：（1）方程是关于x的一元二次方程，且；（2）是方程的一个根，即【点拨】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解，二次根式有意义的条件，完全平方公式，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程的相关知识举一反三：【变式】 已知是关于x的一元一次方程，求代数式的值【答案】1991【分析】根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程它的一般形式是（a，b是常数且）列出等式，求出m的值，代入即可解：是关于x的一元一次方程，且，解得：则方程变为，解得，
6、原式；所以所求代数式的值为1991【点拨】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，未知数的指数是1，一次项系数不是0，特别容易忽视的一点就是一次项系数不是0的条件这是这类题目考查的重点类型二、一元二次方程一般形式各项系数求参数3 将下列方程化为一元二次方程一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项：（1）； （2） 【答案】（1），二次项系数是3、一次项系数是、常数项是2；（2）化为，二次项系数是a、一次项系数是1、常数项是【分析】一元二次方程的一般形式是（a，b，c是常数且a0），a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项，据此解答即可解：（1）化为一般形式为，二次项系数为3，一次项系
7、数为-5，常数项为2；（2）化为一般形式为 ，二次项系数为a，一次项系数为1，常数项为-a-2【点拨】本题考查了一元二次方程的一般形式：（a，b，c是常数且a0），其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项举一反三：【变式】 已知、均为有理数，判定关于的方程是不是一元二次方程？如果是，请写出二次项系数、一次项系数及常数项；如果不是，请说明理由【答案】方程为一元二次方程，二次项系数、一次项系数及常数项分别是：，.【分析】先把方程化为ax2+bx+c=0的形式，再根据二次项系数为0或不为0两种情况讨论.解：原方程可化为：，是有理数，当，方程为一元二次方程，二次项系数、一次项系数及常数项分别
8、是：，；【点拨】此题比较简单，解答此题的关键是熟知一元二次方程与一元一次方程的定义：（1）只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程；（2）只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1次的整式方程叫做一元一次方程.4 关于x的一元二次方程2（x1）2+b（x1）+c0化为一般形式后为2x23x10，试求b，c的值【答案】b1，c2【分析】先利用乘法公式展开，再合并得到一般式为2x2+（b4）x+2b+c0，于是得到b43，2b+c1，然后解方程得到b、c的值解：2（x22x+1）+bxb+c0，2x2+（b4）x+2b+c0，所以b43，2b+c1，解得b1，c2【点拨】
9、此题主要考查一元二次方程的一般式，解题的关键是熟知乘方公式的运用举一反三：【变式】 一元二次方程化为一般形式后为，试求的值【答案】【分析】把原方程展开，化为一般形式，与已知方程系数对应相等，求出a、b、c的值，计算得到答案解：原方程可化为： ax2（2ab）xabc0，由题意得，a2，2ab3，abc1，解得：a2，b1，c2，【点拨】本题考查的是一元二次方程的一般形式，运用完全平方公式和合并同类项的方法正确变形是解题的关键，注意系数对应相等的运用类型三、一元二次方程的解代数式的值方程的根5 已知m是方程的一个根，求代数式的值【答案】【分析】由题意可得：，即，根据完全平方公式和平方差公式对代数
10、式进行化简，然后整体代入求解即可解：由m是方程的一个根可得，即，将代入，可得原式【点拨】此题考查了一元二次方程根的含义，完全平方公式和平方差公式，解题的关键是理解一元二次方程根的含义，正确对代数式进行运算举一反三：【变式】 已知是方程的一个根求：(1) 的值(2) 代数式的值【答案】(1)；(2)2019【分析】（1）根据一元二次方程的解的定义得到，则，然后把代入原式即可求解；（2）可化简得原式，然后通分后再次代入后化简即可（1）解：是方程的一个根，；（2）解：原式【点拨】本题考查了一元二次方程的解、代数式求值，解题的关键是把根据方程的解的定义得到的式子进行变形6 若是关于x的一元二次方程的一
11、个根，则b的值为_【答案】6【分析】把代入即可求出b的值解：把代入，得，故答案为：【点拨】本题考查了一元二次方程解的定义，能使一元二次方程成立的未知数的值叫作一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程解得定义是解答本题的关键举一反三：【变式】 是不是方程的根？为什么？【答案】是，理由见分析【分析】根据方程根的定义，将代入方程，左边为，从而确定是方程的根解：是方程的根理由如下：当时，把代入方程中，方程左、右两边相等，即是方程的根【点拨】本题考查方程根的定义，将未知数的值代入方程，并通过计算判断方程左右两边是否相等是解决问题的关键类型四、一元二次方程根的估算代数式的值方程的根7 输入一组数据，按下列程
12、序进行计算，输出结果如下表：分析表格中的数据，估计方程的一个正数解的大致范围是（）20.320.420.520.620.7输出3.769.29A B CD【答案】B【分析】根据表格中的数据，可以知道的值，从而可以判断当时，x的所在的范围，本题得以解决解：由表格可知，当时，当时，故时，故选：B【点拨】本题考查估算一元二次方程的近似解，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件举一反三：【变式】 根据表格对应值：判断关于x的方程的一个解x的范围是_【答案】【分析】结合表格可知：当时，；当时，；所以方程的一个解x的范围为：解：由表格可知：当时，；当时，；方程的一个解x的范围为：故答案为：【点拨】本题考查一元二次方程的根，解题的关键是理解方程根的定义，找出当时，；当时，
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