1、课时巩固过关练(九)三角恒等变换与解三角形一、选择题1(2016甘肃临夏期中)已知sincos，且，则的值为()A. BC. D解析：sincos，sincosa.两边平方可得：12sincos，2sincos，12sincos，(sincos)2.，sincos.(sincos).答案：B2在ABC中，A，B，C为三个内角，f(B)4cosBsin2cos2B2cosB，若f(B)2，则角B为()A. B.C. D.解析：由已知f(B)4cosBcos2B2cosB2cosB(1sinB)cos2B2cosB2cosBsinBcos2Bsin2Bcos2B2sin，f(B)2，sin1.又2
2、B0.又边长cd为最长边，故角C最大且为锐角，新三角形为锐角三角形答案：A4在锐角ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asinBb，则角A等于()A. B.C. D.解析：由2asinBb及正弦定理可得2sinAsinBsinB，即sinA，结合0A可知A.答案：D5设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosCccosBasinA，则ABC的形状为()A直角三角形 B锐角三角形C钝角三角形 D不确定解析：由正弦定理得sinBcosCsinCcosBsinAsinA，即sin(BC)sin2A，即sinA1，A，故选A.答案：A6在ABC中，内角A，B，C所对的边分别
3、为a，b，c.已知ab，c，sinA，cos2Acos2BsinAcosAsinBcosB，则ABC的面积为()A. B.C. D.解析：由题意得，sin2Asin2B，即sin2Acos2Asin2Bcos2B，sinsin，由ab得AB，又AB(0，)，2A2B，即AB，C.由c，sinA，得a，由ac，得A8 Bac(ab)16C6abc12 D12abc24解析：由题设得sin2Asin(2B)sin(2C)sin2Asin2Bsin2Csin2(2B2C)sin2Bsin2Csin2Bsin2Csin(2B2C)sin2B(1cos2C)sin2C(1cos2B)4sinBsinC(
4、sinBcosCcosBsinC)sinAsinBsinC.由三角形面积公式SabsinC及正弦定理得S4R2sinAsinBsinC，R24S，又1S2，4R28，bc(bc)abc8R3sinAsinBsinCR3恒成立，bc(bc)8.故选A.答案：A二、填空题8(2016江西吉安期中)在ABC中，D为BC边上一点，若ABD是等边三角形，且AC4，则ADC的面积的最大值为_解析：在ACD中，cosADC，整理得AD2CD248ADDC2ADDC，ADDC16，当ADCD时等号成立，ADC的面积SADDCsinADCADDC4，故答案为4.答案：49(2015北京高考)在ABC中，a4，b
5、5，c6，则_.解析：1.答案：110在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosCccosB2b，则_.解析：bcosCccosB2b，由边角互化得sinBcosCsinCcosB2sinB，即sin(BC)2sinB，即sinA2sinB，a2b2.答案：2三、解答题11(2016江西高安段考)如图，在等腰直角三角形OPQ中，POQ90，OP2，点M在线段PQ上(1)若OM，求PM的长；(2)若点N在线段MQ上，且MON30，问：当POM取何值时，OMN的面积最小？并求出面积的最小值解：(1)在OPQ中，OPQ45，OM，OP2，由余弦定理得，OM2OP2PM22OPP
6、Mcos45，得PM24PM30，解得PM1或PM3.(2)设POM，060，在OMP中，由正弦定理，得，所以OM，同理ON.SOMNOMONsinMON.060，30230150，当30时，sin(230)的最大值为1，此时OMN的面积取到最小值即POM30时，OMN的面积的最小值为84.12如图，港口A在港口O的正东120海里处，小岛B在港口O的北偏东60的方向，且在港口A北偏西30的方向上一艘科学考察船从港口O出发，沿北偏东30的OD方向以20海里/小时的速度驶离港口O.一艘给养快艇从港口A以60海里/小时的速度驶向小岛B，在B岛转运补给物资后以相同的航速送往科考船已知两船同时出发，补给
7、装船时间为1小时(1)求给养快艇从港口A到小岛B的航行时间；(2)给养快艇驶离港口A后，最少经过多少时间能和科考船相遇？解：(1)由题意知，在OAB中，OA120，AOB30，OAB60.于是AB60，而快艇的速度为60海里/小时，所以快艇从港口A到小岛B的航行时间为1小时(2)由(1)知，给养快艇从港口A驶离2小时后，从小岛B出发与科考船汇合为使航行的时间最少，快艇从小岛B驶离后必须按直线方向航行，设t小时后恰与科考船在C处相遇在OAB中，OA120，AOB30，OAB60，所以OB60，而在OCB中，BC60t，OC20(2t)，BOC30，由余弦定理，得BC2OB2OC22OBOCcosBOC，即(60t)2(60)220(2t)226020(2t)，即8t25t130，解得t1或t(舍去)故t23.即给养快艇驶离港口A后，最少经过3小时能和科考船相遇