1、专题18 任意角和弧度制及任意角的三角函数【考点总结】1角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形(2)分类(3)终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|2k，kZ2弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式：角的弧度数公式|(l表示弧长)角度与弧度的换算1rad；1 rad弧长公式l|r扇形面积公式Slr|r23.任意角的三角函数(1)定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin y，cos x，tan (x0)(2)几何表示：三
2、角函数线可以看作是三角函数的几何表示正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0)如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角的正弦线、余弦线和正切线【常用结论】1一个口诀三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦2一个结论若，则tan sin .3三角函数定义的推广设点P(x，y)是角终边上任意一点且不与原点重合，r|OP|，则sin ，cos ，tan .4象限角5轴线角【易错总结】(1)终边相同的角理解出错；(2)三角函数符号记忆不准；(3)求三角函数值不考虑终边所在象限例1下列与的终边相同的角的表达式中正确的是()A2k45(kZ)Bk360(kZ)
3、Ck360315(kZ) Dk(kZ)解析：选C.与的终边相同的角可以写成2k(kZ)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有C正确故选C.例2若sin 0，则是第_象限角解析：由sin 0知的终边在第一或第三象限，故是第三象限角答案：三例3已知角的终边在直线yx上，且cos 0，则tan _解析：如图，由题意知，角的终边在第二象限，在其上任取一点P(x，y)，则yx，由三角函数的定义得tan 1.答案：1【考点解析】【考点】一、象限角及终边相同的角例1给出下列四个命题：是第二象限角；是第三象限角；400是第四象限角；315是第一象限角其中正确命题的个数为()A1B2C3 D4解析：选C.是第三
4、象限角，故错误；，所以是第三象限角，故正确；40036040，所以400是第四象限角，故正确；31536045，所以315是第一象限角，故正确，故选C.例2若角是第二象限角，则是()A第一象限角 B第二象限角C第一或第三象限角 D第二或第四象限角解析：选C.因为是第二象限角，所以2k2k，kZ，所以kk，kZ.当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角所以是第一或第三象限角例3集合中的角所表示的范围(阴影部分)是()解析：选C.当k2n(nZ)时，2n2n，此时表示的范围与表示的范围一样；当k2n1(nZ)时，2n2n，此时表示的范围与表示的范围一样，故选C.例4在7200范围内所
5、有与45终边相同的角为_解析：所有与45终边相同的角可表示为：45k360(kZ)，则令72045k3600(kZ)，得765k36045(kZ)，解得k(kZ)，从而k2和k1，代入得675和315.答案：675和315例5终边在直线yx上，且在2，2)内的角的集合为_解析：如图，在坐标系中画出直线yx，可以发现它与x轴的夹角是，在0，2)内，终边在直线yx上的角有两个：，；在2，0)内满足条件的角有两个：，故满足条件的角构成的集合为.答案：(1)终边在某直线上角的求法4步骤数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线；按逆时针方向写出0，2内的角；再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合；求
6、并集化简集合(2)判断象限角的2种方法图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角；转化法：先将已知角化为k360(0360，kZ)的形式，即找出与已知角终边相同的角，再由角终边所在的象限判断已知角是第几象限角(3)确定k，(kN*)的终边位置3步骤用终边相同角的形式表示出角的范围；再写出k或的范围；然后根据k的可能取值讨论确定k或的终边所在的位置提醒终边在一条直线上的角之间相差180的整数倍；终边在互相垂直的两条直线上的角之间相差90的整数倍 【考点】二、扇形的弧长及角度公式例1、已知一扇形的圆心角为 ，半径为R，弧长为l.(1)若60，R10 cm，求
7、扇形的弧长l；(2)已知扇形的周长为10 cm，面积是4 cm2，求扇形的圆心角；(3)若扇形周长为20 cm，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？【解】(1)60rad，所以lR10(cm)(2)由题意得(舍去)或故扇形圆心角为 rad.(3)由已知得l2R20，所以SlR(202R)R10RR2(R5)225，所以当R5 cm时，S取得最大值25 cm2，此时l10 cm，2 rad.弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决(3)在解
8、决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形 【变式】1已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是()A2Bsin 2C. D2sin 1解析：选C.如图，AOB2弧度，过O点作OCAB于点C，并延长OC交于D.则AODBOD1弧度，且ACAB1，在RtAOC中，AO，即r，从而的长为lr.故选C.【变式】2(2020四川乐山、峨眉山二模)九章算术是我国古代数学成就的杰出代表作，其中方田章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积(弦矢矢2)，弧田由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧对弦长，“矢”指半径长与圆心到弦的距离之差现有圆心角为，半径长为4的弧田(
9、如图所示)，按照上述公式计算出弧田的面积为_解析：由题意可得AOB，OA4.在RtAOD中，易得AOD，DAO，ODOA42，可得矢422.由ADAOsin 42，可得弦AB2AD4.所以弧田面积(弦矢矢2)(4222)42.答案：42【考点】三、三角函数的定义角度一利用三角函数的定义求值例1、已知角的终边上一点P(，m)(m0)，且sin ，求cos ，tan 的值【解】设P(x，y)由题设知x，ym，所以r2|OP|2()2m2(O为原点)，r，所以sin ，所以r2，3m28，解得m.当m时，r2，x，y，所以cos ，tan ；当m时，r2，x，y，所以cos ，tan .角度二判断三
10、角函数值的符号例2、 (1)sin 2cos 3tan 4的值()A小于0B大于0C等于0 D不存在(2)若sin tan 0，且0，则角是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角【解析】(1)因为2340，cos 30.所以sin 2cos 3tan 40，所以选A.(2)由sin tan 0可知sin ，tan 异号，则为第二象限角或第三象限角由0可知cos ，tan 异号，则为第三象限角或第四象限角综上可知，为第三象限角【答案】(1)A(2)C角度三以三角函数定义为背景的创新题例3、如图所示，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(，)，角速度为1，那么点P
11、到x轴的距离d关于时间t的函数图象大致为()【解析】因为P0(，)，所以P0Ox.因为角速度为1，所以按逆时针方向旋转时间t后，得POP0t，所以POxt.由三角函数定义，知点P的纵坐标为2sin，因此d2.令t0，则d2.当t时，d0，故选C.【答案】C(1)用定义法求三角函数值的两种情况已知角终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解；已知角的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解(2)判断三角函数值符号及角位置的方法已知一角的三角函数值(sin ，cos ，tan )中任意两个的符号，可分别确定出角
12、终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置，注意终边在坐标轴上的特殊情况(3)利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤用边界值定出角的终边位置；根据不等式(组)定出角的范围；求交集，找单位圆中公共的部分；写出角的表达式 【变式】1(2020江西九江一模)若sin x0，则角x是()A第一象限角B第二象限角C第三象限角 D第四象限角解析：选D.因为1cos x1，且sin(cos x)0，所以0cos x1，又sin x0，所以角x为第四象限角，故选D.【变式】2已知角的始边与x轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角终边上的一点P到原点的距离为，若，则点P的坐标为()A(1，) B(，1)C(，) D(1，1)解析：选D.设点P的坐标为(x，y)，则由三角函数的定义得即故点P的坐标为(1，1)【变式】3已知角的终边经过点P(x，6)，且cos ，则_解析：因为角的终边经过点P(x，6)，且cos ，所以cos ，即x或x(舍去)，所以P，所以sin ，所以tan ，则.答案：
