1、专题17 三角形基础 【专题目录】技巧1：三角形三边关系的巧用技巧2：三角形的三种重要线段技巧3：三角形内角和与外角的几种常见应用类型【题型】一、三角形的分类【题型】二、构成三角形三边的条件【题型】三、确定三角形第三边的取值范围【题型】四、与三角形高有关的相关计算问题【题型】五、与三角形重心有关的计算【题型】六、与三角形内角和定理的有关的计算【题型】七、利用直角三角形两个锐角互余进行相关计算【题型】八、利用三角形外角性质进行相关计算【考纲要求】1、了解三角形和全等三角形有关的概念，掌握三角形的三边关系2、理解三角形内角和定理及推论3、理解三角形的角平分线、中线、高的概念及画法和性质【考点总结】
2、一、三角形的概念三角形的概念三角形的概念由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。三角形特性（1）三角形有三条线段（2）三条线段不在同一直线上 三角形是封闭图形（3）首尾顺次相接三角形用符号“”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ABC”，读作“三角形ABC”。三角形按边分类：等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。等边三角形：底边与腰相等的等腰三角形叫做等边三角形，即三边都相等。三角形三边的关系（1）三角形的任意两边之和大于第三边。三角形的任意两边之差小于第三边。（这两个条件满足
3、其中一个即可）用数学表达式表达就是：记三角形三边长分别是a，b，c，则abc或cba。（2）已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|ab|cab【考点总结】二、三角形中的重要线段和有关的角三角形中的重要线段和有关的角三角形的高概念从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。三角形的中线概念在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。性质：三角形三条中线的交于一点，这一点叫做“三角形的重心”。三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形。三角形的角平分线概念三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点
4、和交点间的线段叫做三角形的角平分线。三角形的内角和定理三角形三个内角和等于180。推论：直角三角形的两个锐角互余。三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。三角形的外角和定理三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角性质：1.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。2.三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。三线八角指的是两条直线被第三条直线所截而形成的八个角，其中同位角4对，内错角有2对，同旁内角有2对，同旁内角有2对。【技巧归纳】技巧1：三角形三边关系的巧用【类型】一、判断三条线段能否组成三角形1下列每组数分别表示三
5、根木棒的长度，将它们首尾连接后，不能摆成三角形的一组是()A4，4，8 B5，5，1 C3，7，9 D2，5，42有四条线段，长度分别为4 cm，8 cm，10 cm，12 cm，选其中三条组成三角形，试问可以组成多少个三角形？分别写出来【类型】二、求三角形第三边的长或取值范围3一个三角形的两边长分别为5 cm和3 cm，第三边的长是整数，且周长是偶数，则第三边的长是()A2 cm或4 cm B4 cm或6 cm C4 cm D2 cm或6 cm4如果三角形的两边长分别为3和5，则周长l的取值范围是()A6l15 B6l16 :C11l13 D10l165若三角形的三边长是三个连续的自然数，其
6、周长m满足10m22，则这样的三角形有_个【类型】三、三角形的三边关系在等腰三角形中的应用6等腰三角形的一条边长为6，另一条边长为13，则它的周长为()A25 B25或32 C32 D197已知等腰三角形ABC的底边BC8 cm，|ACBC|2 cm，则AC_8若等腰三角形的底边长为4，且周长小于20，则它的腰长b的取值范围是_【类型】四、三角形的三边关系在代数中的应用9已知三角形三边长分别为a，b，c，且|abc|abc|10，求b的值10已知a，b，c是ABC的三边长，b，c满足(b2)2|c3|0，且a为方程|x4|2的解，求ABC的周长【类型】五、利用三角形的三边关系说明边的不等关系1
7、1如图，已知D，E为ABC内两点，说明：ABACBDDECE.技巧2：三角形的三种重要线段【类型】一、三角形的高题型1：找三角形的高1如图，已知ABBD于点B，ACCD于点C，AC与BD交于点E.ADE的边DE上的高为_，边AE上的高为_题型2：作三角形的高2(动手操作题)画出图中ABC的三条高(要标明字母，不写画法)题型3：应用三角形的高3如图，在ABC中，BC4，AC5，若BC边上的高AD4.(1)求ABC的面积及AC边上的高BE的长；(2)求ADBE的值4如图，在ABC中，ABAC，DEAB，DFAC，BGAC，垂足分别为点E，F，G.试说明：DEDFBG.【类型】二、三角形的中线题型1
8、：利用中线求长度5如图，AE是ABC的中线，已知EC4，DE2，则BD的长为() A2 B3 C4 D66如图，已知BECE，ED为EBC的中线，BD8，AEC的周长为24，则ABC的周长为()A40B46C50D567在等腰三角形ABC中，ABAC，一腰上的中线BD将这个三角形的周长分成15 cm和6 cm两部分，求这个等腰三角形的三边长题型2：利用中线求面积8图，ABC的三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，且AGGD21，若SABC12，则图中阴影部分的面积是_9操作与探索：在图中，ABC的面积为a.(1)如图，延长ABC的边BC到点D，使CDBC，连接DA，若ACD的面积为S1，则S
9、1_(用含a的代数式表示)；(2)如图，延长ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CDBC，AECA，连接DE，若DEC的面积为S2，则S2_(用含a的代数式表示)，请说明理由；(3)如图，在图的基础上延长AB到点F，使BFAB，连接FD，FE，得到DEF，若阴影部分的面积为S3，则S3_(用含a的代数式表示)【类型】三、三角形的角平分线题型1：三角形角平分线定义的直接应用10(1)如图，在ABC中，D，E，F是边BC上的三点，且1234，以AE为角平分线的三角形有_；(2)如图，若已知AE平分BAC，且12415，计算3的度数，并说明AE是DAF的角平分线题型2：三角形的角平分线与高线相
10、结合求角的度数11如图，在ABC中，AD是高，AE是BAC的平分线，B20，C60，求DAE的度数题型3：求三角形两内角平分线的交角度数12如图，在ABC中，BE，CD分别为其角平分线且交于点O.(1)当A60时，求BOC的度数；(2)当A100时，求BOC的度数；(3)当A时，求BOC的度数技巧3：三角形内角和与外角的几种常见应用类型【类型】一、直接计算角度1如图，在ABC中，A60，B40，点D，E分别在BC，AC的延长线上，则1_2在ABC中，三个内角A，B，C满足BACB，则B_【类型】二、三角尺或直尺中求角度3把一个直尺与一块三角尺按如图所示的方式放置，若140，则2的度数为()来源
11、:学科网A125 B120 C140 D1304一副三角尺ABC和DEF如图放置(其中A60，F45)，使点E落在AC边上，且EDBC，则CEF的度数为_5一副三角尺如图所示摆放，以AC为一边，在ABC外作CAFDCE，边AF交DC的延长线于点F，求F的度数【类型】三、与平行线的性质综合求角度6如图，ABCD，ABE60，D50，求E的度数【类型】四、与截角和折叠综合求角度7如图，在ABC中，C70，若沿图中虚线截去C，则12等于()A360 B250 C180 D1408ABC是一个三角形的纸片，点D，E分别是ABC边AB，AC上的两点(1)如图，如果沿直线DE折叠，则BDA与A的关系是_；
12、(2)如果折成图的形状，猜想BDA，CEA和A的关系，并说明理由；来源:学#科#网Z#X#X#K(3)如果折成图的形状，猜想BDA，CEA和A的关系，并说明理由【题型讲解】【题型】一、三角形的分类例1、已知ABC中，则ABC一定是（ ）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不能确定【题型】二、构成三角形三边的条件例2、三角形的两边长分别为和，则第三边长可能为（ ）ABCD【题型】三、确定三角形第三边的取值范围例3、如图，的对角线，交于点，若，则的长可能是（ ）ABCD【题型】四、与三角形高有关的相关计算问题例4、如图，在中，过点C作于点D，已知，则的长是（ ）A5BC6D【题型】五、与三角形重
13、心有关的计算例5、如图，在ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且ADBE，垂足为点F，设BCa，ACb，ABc，则下列关系式中成立的是（ ）Aa2+b25c2Ba2+b24c2Ca2+b23c2Da2+b22c2【题型】六、与三角形内角和定理的有关的计算例6、如图所示，直线EFGH，射线AC分别交直线EF、GH于点B和点C，ADEF于点D，如果A20，则ACG（）A160B110C100D70【题型】七、利用直角三角形两个锐角互余进行相关计算例7、如图，在四边形ABCD中，CDAB，ACBC，若B50，则DCA等于（ ）A30B35C40D45【题型】八、利用三角形外角性质进行相关
14、计算例8、如图，已知直线和相交于点若，则等于（ ）ABCD三角形基础（达标训练）一、单选题1如图，在ABC中，D为BC的延长线上一点，若B=70，1=110，则A=（）A35B40C55D702如图，已知直线AEBD，且C15，1110，则2的度数是（）A45B55C65D753数学课上，同学们在作中AC边上的高时，共画出下列四种图形，其中正确的是（）ABCD4某班级计划在耕读园里搭三角形围栏，可以选择三种长度的木条组合是（）A3、4、8B4、4、8C3、5、6D5、6、115如图，人字梯中间设计一“拉杆”，在使用梯子时，固定拉杆会增加安全性这样做蕴含的数学道理是（）A三角形具有稳定性B两点之
15、间线段最短C经过两点有且只有一条直线D垂线段最短二、填空题6如图，点B、C、D在同一直线上，ABCE，若A55，ACB65，则1为_7如图，在中，点E、F分别是边上，且若，则_三、解答题8如图，在四边形中，平分交于点，交的延长线于点(1)求的大小；(2)若，求的大小三角形基础（提升测评）一、单选题1如图，点C，D在直线AB上，若，则BDO的大小为（）ABCD2一把直尺和一块三角板ABC（含45角）如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D和点E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F和点A，CED=25，则BFA的大小为（）A105B110C115D1253如图，BE是的中线，交BE于点F，且，则的度数为（）A30B25C20D154如图，在中，BD为AC边上的中线，已知，的周长为20，则的周长为（）A17B23C25D285如图，RtABC中，C90，BD平分ABC交AC于点D，点E为AB的中点，若AB12，CD3，则DBE的面积为（）A10B12C9D6二、填空题6如图，在 中， 平分 ， ，若 ，则 度数为_7如图，在中，点D在边上，如果，那么_度三、解答题8如图，在中，将绕点A旋转一定的角度得到，且点E恰好落在边BC上(1)求证：AE平分；(2)连接BD，求证：
