1、江苏省扬州中学2021届高三数学上学期12月月考试题2020.12一、单选题（每小题5分，计40分）1. 已知集合，则（ ）ABCD2. 已知直线经过点，且与直线垂直，则的方程是（ ）ABCD3. 欧拉公式是由瑞士数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”。特别是当时，得到一个令人着迷的优美恒等式，这个恒等式将数学中五个重要的数联系到了一起，有些数学家评价它是“最完美的公式”。根据欧拉公式，若复数的共轭复数为，则（ ）ABCD4. 设等差数列的前项和为，且，则（ ）A45B50C60D805. 已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ）ABCD6. 幂函数在上单调递增，则函数过定点（
2、）ABCD7. 已知，其中，则（ ）ABCD8. 若的外接圆半径为2，且，则的取值范围是（ ）ABCD二、多选题（每小题5分，计20分，多选得0分，少选得3分）9. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）A的图象关于点对称B的图象的一条对称轴是C在上递减D在值域为10. 已知，且，则下列结论正确的是（ ）AB的最小值为16C的最小值为8D的最小值为211. 数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”。在平面直角坐标系中作ABC，ABAC4，点B(1，3)，点C(4，2)，且其“欧拉线”与圆M：相切，则下列结论正确的是（ ）A圆M上点
3、到直线的最小距离为B圆M上点到直线的最大距离为C圆M上到直线BC的距离为的点有且仅有2个D圆与圆M有公共点，则a的范围是12. 若实数a,b,c,d满足，则的值可能是（ ）A7B8C9D10三、填空题（每小题5分，计20分）13. 方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是_.14. 椭圆的左、右焦点分别为，椭圆C上存在点P使得，则椭圆离心率的取值范围是_15. 数列的通项公式，其前n项和为，则_.16. 正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，E，F分别是BC和C1D1的中点，经过点A，E，F的平面把正方体ABCD-A1B1C1D1截成两部分，则截面的周长为_四、解答题（共6小题，计7
4、0分）17. 【本题满分10分：5+5】的内角的对边分别为，且，。（1）求角C的大小；（2）在，这三个条件中任选一个，若这样的三角形存在，求三角形的周长；若该三角形不存在，请说明理由注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分18. 【本题满分12分：5+7】在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，平面ABCD，.（1）求证：平面；（2）在棱AB上是否存在一点F，使得二面角的大小为？如果存在，确定点F的位置；如果不存在，说明理由.19. 【本题满分12分：6+6】已知数列的前n项和为，.（1）求实数m的值，并求出数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.20. 【本题满分12分：2+
5、5+5】某生物研究所为研发一种新疫苗，在200只小白鼠身上进行科研对比实验，得到如下统计数据：未感染病毒感染病毒总计未注射疫苗35注射疫苗65总计100100200现从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为（1）直接写出x,y,z,w的值（不需写出过程）；（2）能否有的把握认为注射此种疫苗有效？（3）现从感染病毒的小白鼠中任意抽取2只进行病理分析，记注射疫苗的小白鼠只数为，求的概率分布和数学期望附：，0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82821. 【本题满分12分：5+7】已知函数（1）求的最
6、大值；（2）当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围22. 【本题满分12分：4+8】已知椭圆过点分别是椭圆C的左,右顶点，且直线与直线的斜率之积为（1）求椭圆C的方程；（2）设不过点P的直线l与椭圆C相交于M，N两点，若直线PM与直线PN斜率之积为1，试问直线l是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，说明理由扬州中学高三数学试卷2020.12一、单选题（每小题5分，计40分）23. 已知集合，则（ ）ABCD【答案】C24. 已知直线经过点，且与直线垂直，则的方程是（ ）ABCD【答案】A25. 欧拉公式是由瑞士数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”。特别是当时，得到一个令
7、人着迷的优美恒等式，这个恒等式将数学中五个重要的数（自然对数的底e，圆周率，虚数单位，自然数的单位1和零元0）联系到了一起，有些数学家评价它是“最完美的公式”。根据欧拉公式，若复数的共轭复数为，则（ ）ABCD【答案】A26. 设等差数列的前项和为，且，则（ ）A45B50C60D80【答案】C27. 已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（）ABCD【答案】D28. 幂函数在上单调递增，则过定点（ ）ABCD【答案】D29. 已知，其中，则（ ）ABCD【答案】D30. 若的外接圆半径为2，且，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】A二、多选题（每小题5分，计20分，多选得0分，少选得3分）
8、31. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）A的图象关于点对称B的图象的一条对称轴是C在上递减D在值域为【答案】BC32. 已知，且，则下列结论正确的是（ ）AB的最小值为16C的最小值为8D的最小值为2【答案】ABD33. 数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”。在平面直角坐标系中作ABC，ABAC4，点B(1，3)，点C(4，2)，且其“欧拉线”与圆M：相切，则下列结论正确的是（ ）A圆M上点到直线的最小距离为B圆M上点到直线的最大距离为C圆M上到直线BC的距离为的点有且仅有2个D圆与圆M有公共点，则a的范围是【答案】AD
9、34. 若实数a,b,c,d满足，则的值可能是（ ）A7B8C9D10【答案】BCD三、填空题（每小题5分，计20分）35. 方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是_.【答案】36. 椭圆的左、右焦点分别为，C上存在一点P使得，则椭圆离心率的范围是_【答案】37. 数列的通项公式，其前n项和为，则_.【答案】101038. 在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BC和C1D1的中点，经过点A，E，F的平面把正方体ABCD-A1B1C1D1截成两部分，则截面的周长为_【答案】【详解】四、解答题（共6小题，计70分）39. 【本题满分10分：5+5】的内角的对边分别为，
10、且，。（1）求角C的大小；（2）在，这三个条件中任选一个，若这样的三角形存在，求三角形的周长；若该三角形不存在，请说明理由注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分【详解】（1）因为，所以，又因为，所以，即，又因为，所以，所以（2）由余弦定理得，即，若选：因为，所以，所以，与矛盾，所以满足条件的三角形不存在若选：因为，所以，又，所以，故，即，所以三角形周长若选：因为，所以，联立，解得，所以三角形周长40. 【本题满分12分：5+7】在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，平面ABCD，.（1）求证：平面；（2）在棱AB上是否存在一点F，使得二面角的大小为？如果存在，确定点F的位置；如
11、果不存在，说明理由.证明：（1）取中点，连接，四边形是平行四边形，四边形是正方形，四边形是平行四边形，又平面，平面，平面.（2）解：以为原点建立空间直角坐标系，如图所示：则,0,，,0,，,4,，,4,，,4,，,0,，4，设，0，则，0，4，设平面的法向量为，则，即，令可得，1，设平面的法向量为，则，即，令可得，故，令，即，解得，（舍），当为的中点时，二面角的大小为.41. 【本题满分12分：6+6】已知数列的前n项和为，.（1）求实数m的值，并求出数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.解：（1）当时，则，故，当时，得，则.故.当时，满足上式，故.（2），.42. 【本题满分12分：2
12、+5+5】某生物研究所为研发一种新疫苗，在200只小白鼠身上进行科研对比实验，得到如下统计数据：未感染病毒感染病毒总计未注射疫苗35注射疫苗65总计100100200现从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为（1）直接写出x,y,z,w的值（不需写出过程）；（2）能否有的把握认为注射此种疫苗有效？（3）现从感染病毒的小白鼠中任意抽取2只进行病理分析，记注射疫苗的小白鼠只数为，求的概率分布和数学期望附：，0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828解（1），（2），所以有99.9%的把握认为注射此种
13、疫苗有效（2）由题意，的所有可能取值为0，1，2，所以的概率分布为012数学期望43. 【本题满分12分：5+7】已知函数（1）求的最大值；（2）当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围解：（1）因为，所以，设，所以，所以在上单调递减，且，所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以；（2）因为，所以，当时，且，所以恒成立，当时，若恒成立，则恒成立（*），设，所以，又因为，所以，所以在上单调递增，所以，又因为由（1）知且，所以若（*）成立，只需要，所以，综上可知：.44. 【本题满分12分：4+8】已知椭圆过点分别是椭圆C的左,右顶点，且直线与直线的斜率之积为（1）求椭圆C的方程；（2）设不过点P的直线l与椭圆C相交于M，N两点，若直线PM与直线PN斜率之积为1，试问直线l是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，说明理由解（1）易知坐标分别为，则，解得，又为上一点，可得，所以椭圆C的方程为；（2）当直线l的斜率存在时，设直线方程为，设，代入得：，所以，整理可得：，代入得：，代入得：，整理可得：，即，所以，此时直线方程为过定点，舍去，或，此时直线方程为，过定点，当斜率不存在时设直线方程为（），代入椭圆方程可得，所以，同理由可得：（舍去）或，此时也过定点，综上可得直线l过定点，定点为.