1、专题17 圆锥曲线中的存在性问题与面积问题题型一 圆锥曲线中的存在性问题1已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为（）求椭圆的方程；（）椭圆上是否存在关于直线对称的两点、，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由2已知椭圆的离心率为，点在椭圆上（1）求椭圆的方程；（2）设动直线与椭圆有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点为圆心的圆，满足此圆与相交两点，（两点均不在坐标轴上），且使得直线，的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程与定值；若不存在，请说明理由3已知抛物线，为坐标原点，抛物线上是否存在，两点关于点对称，若存在，求的面积；若不存在，说明理由4已知中心在坐标原点的椭圆经过点
2、，且点为其右焦点（1）求椭圆的方程；（2）是否存在平行于的直线，使得直线与椭圆有公共点，且直线与的距离等于4？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由5已知椭圆的右焦点为，点为椭圆的上顶点，过点与轴垂直的直线与椭圆相交于，两点，且（）求椭圆的标准方程；（）若直线的倾斜角为，且与椭圆交于，两点，问是否存在这样的直线使得？若存在，求的方程；若不存在，说明理由6已知圆，圆的弦过点，连接，过点且与平行的直线与交于点，记点的轨迹为曲线（1）求的方程；（2）过点的直线交于，两点，试探究是否存在定点，使得为定值7已知中心在原点的椭圆的一个焦点为，点，为椭圆上一点，的面积为（1）求椭圆的方程；（2）是否存在
3、平行于的直线，使得直线与椭圆相交于、两点，且以线段为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出的方程，若不存在，说明理由8已知椭圆的短轴长为2，过点，的直线倾斜角为（1）求椭圆的方程；（2）是否存在过点且斜率为的直线，使直线交椭圆于，两点，以为直径的圆过点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由9已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上（1）求的方程；（2）若直线与椭圆相交于，两点，试问：在轴上是否在点，当变化时，总有？若存在求出点的坐标，若不存在，请说明理由10已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴，长轴长为，离心率为（1）求椭圆的方程；（2）经过椭圆的左焦点作直线，且直线交椭圆于，
4、两点，问轴上是否存在一点，使得为常数，若存在，求出坐标及该常数，若不存在，说明理由11已知椭圆，为左、右焦点，直线过交椭圆于，两点（1）若直线垂直于轴，求；（2）当时，在轴上方时，求、的坐标；（3）若直线交轴于，直线交轴于，是否存在直线，使得，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由12在直角坐标系中，曲线与直线交于，两点（）当时，分别求在点和处的切线方程（）轴上是否存在点，使得当变动时，总有？（说明理由）13如图，椭圆的离心率是，点在短轴上，且（）求椭圆的方程；（）设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于、两点是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由题型二 圆锥曲线中的
5、面积问题14已知椭圆焦点为，且过点，椭圆上一点到两焦点，的距离之差为2（1）求椭圆的标准方程；（2）求的面积15已知抛物线的焦点为，并且经过点（1）求抛物线的方程；（2）过原点作倾斜角为的直线交抛物线于，两点，求的面积16已知椭圆的两焦点为、，为椭圆上一点，且（1）求此椭圆的方程；（2）若点在第二象限，求的面积17已知椭圆的下焦点为、上焦点为，其离心率过焦点且与轴不垂直的直线交椭圆于、两点（1）求实数的值；（2）求为原点）面积的最大值18已知点，动点满足与的斜率之积等于，记的轨迹为（1）求的方程；（2）设过坐标原点的直线与交于，两点，且四边形的面积为，求的方程19已知抛物线的焦点为，且为圆的圆
6、心过点的直线交抛物线与圆分别为，（从上到下）（1）求抛物线方程并证明是定值；（2）若，的面积比是，求直线的方程20椭圆与抛物线的公共弦长为，且椭圆的离心率为，点为椭圆上一动点（非长轴端点），为椭圆的左、右焦点，的延长线与椭圆交于点，的延长线与椭圆交于点（1）求椭圆的方程；（2）若的面积为，求直线的方程21已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，焦距为8（1）求该椭圆的标准方程；（2）若点，是该椭圆上的一点，且它位于第一象限，点是椭圆的下顶点，求四边形的面积22已知抛物线，圆，是抛物线的焦点，过点的直线与抛物线交于、两点，与圆交于点，点是线段的中点（）求抛物线的准线方程；（）求的面积23李华找了一
7、条长度为8的细绳，把它的两端固定于平面上两点，处，套上铅笔，拉紧细绳，移动笔尖一周，这时笔尖在平面上留下了轨迹，当笔尖运动到点处时，经测量此时，且的面积为4（1）以，所在直线为轴，以的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，求李华笔尖留下的轨迹的方程（铅笔大小忽略不计）；（2）若直线1与轨迹交于，两点，且弦的中点为，求的面积24已知，是椭圆的两个焦点，为上的点，为坐标原点（1）若为等边三角形，求的离心率；（2）如果存在点，使得，且的面积等于16，求的值和的取值范围25已知曲线，为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别为，（1）证明：直线过定点；（2）若以为圆心的圆与直线相切，且切点为线段的中点，求
8、四边形的面积26已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为4（1）求；（2）若点在上，为的两条切线，是切点，求面积的最大值27设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为（）求椭圆的方程和抛物线的方程；（）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点异于，直线与轴相交于点若的面积为，求直线的方程28平面直角坐标系中，椭圆的离心率是，抛物线的焦点是的一个顶点（）求椭圆的方程；（）设是上的动点，且位于第一象限，在点处的切线与交于不同的两点，线段的中点为，直线与过且垂直于轴的直线交于点求证：点在定直线上；直线与轴交于点，记的面积为，的面积为，求的最大值及取得最大值时点的坐标
