1、专题15.4 角的平分线的性质【七大题型】【沪科版】【题型1 作已知角的角平分线】1【题型2 角平分线的性质的应用】3【题型3 角平分线的性质与等积法】4【题型4 角平分线的性质与全等】6【题型5 角平分线的判定】10【题型6 角平分线的性质与判定综合】11【题型7 角平分线的实际应用】13【知识点1 角平分线的作法】以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在AOB内部交于点C.画射线OC.即射线OC即为所求.【题型1 作已知角的角平分线】【例1】（2022秋上饶县期末）如图，已知方格纸中的每个小方格都是相同的正方形AOB画在方格纸
2、上，请在小方格的顶点上标出一个点P使点P落在AOB的平分线上 （本题有三个结果，三个点分别用字母C、D、E表示）【变式1-1】（2022秋瑶海区期末）如图，RtABC中，C90，用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD2，P为AB上一动点，则PD的最小值为（）A2B3C4D无法确定【变式1-2】（2022辽宁）如图，OG平分MON，点A，B是射线OM，ON上的点，连接AB按以下步骤作图：以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点C，交BN于点D；分别以点C和点D为圆心，大于12CD长为半径作弧，两弧相交于点E；作射线BE，交OG于点P若ABN140，MON50，则OPB的度数为（）A3
3、5B45C55D65【变式1-3】（2022春西乡县期末）如图，三角形ABC中，点D在AC上（1）请你过点D作DE平行BC，交AB于E（要求尺规画图，保留痕迹，不写作法）（2）如果点E在C的平分线上，C44，那么DEC【知识点2 角平分线的性质】角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.用符号语言表示角的平分线的性质定理：若CD平分ADB，点P是CD上一点，且PEAD于点E，PFBD于点F，则PEPF.【题型2 角平分线的性质的应用】【例2】（2022春崇川区校级期末）如图，四边形ABDC中，对角线AD平分BAC，ACD136，BCD44，则ADB的度数为（）A54B50C48D4
4、6【变式2-1】（2022秋蓬江区校级期中）如图，已知ABC中，C90，AD平分BAC，且CD：BD3：4若BC21，则点D到AB边的距离为【变式2-2】（2022秋武昌区期中）在ABC中，ABC110，C的平分线交AB于E，在AC上取点D，使得CBD40（1）求证：点E到AC和BD的距离相等；（2）连接ED，求CED的度数【变式2-3】（2022春金堂县期末）在ABC中，BAC120，ABAC，ACB的平分线交AB于D，AE平分BAC交BC于E，连接DE，DFBC于F，则EDC 【题型3 角平分线的性质与等积法】【例3】（2022增城区期末）ABC中，ABBCCA，三内角平分线交于O，OPA
5、B于P，OMBC于M，ONCA于N，AHBC于H求证OP+OM+ONAH【变式3-1】（2022春泰和县期末）如图，BD平分ABC交AC于点D，DEAB于E，DFBC于F，ABBC8，若SABC28，求DE的长【变式3-2】（2022春香坊区期末）已知：点P为EAF平分线上一点，PBAE于B，PCAF于C，点M、N分别是射线AE、AF上的点，且PMPN（1）当点M在线段AB上，点N在线段AC的延长线上时（如图1），求证：BMCN；（2）在（1）的条件下，AM+ANAC；（3）当点M在线段AB的延长线上时（如图2），若AC：PC2：1，PC4，求四边形ANPM的面积【变式3-3】（2022秋朝阳
6、期中）在ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连接AD（1）如图1，当点D是BC边上的中点时，SABD：SACD ；（2）如图2，当AD是BAC的平分线时，若ABm，ACn，求SABD：SACD的值（用含m，n的代数式表示）；（3）如图3，AD平分BAC，延长AD到E，使得ADDE，连接BE，如果AC2，AB4，SBDE6，那么SABC【题型4 角平分线的性质与全等】【例4】（2022春通道县期末）已知在ABC中，CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，DMAB与M，DNAC交AC的延长线于N，你认为BM与CN之间有什么关系？试证明你的发现【变式4-1】（2022秋金平区校
7、级月考）已知：如图1，四边形ABCD中，AC平分BAD，B和D都是直角（1）求证：BCCD（2）若将原题中的已知条件“B和D都是直角”放宽为“B和D互为补角”，其余条件不变，如图2，猜想：BC边和邻边CD的长度是否一定相等？请证明你的结论【变式4-2】（2022秋文昌校级期中）在ABC中，AD、CE分别是BAC、BCA的平分线，AD、CE相交于点F（1）如图（1），当B60，ACB90，则AFC120；如图（2），如果ACB不是直角，B60时，请问在中所得的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由（2）如图（3），在的条件下，请猜想EF与DF的数量关系，并证明你的猜想【变式4-3
8、】（2022秋东区校级月考）如图，OP是MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图，在ABC中，ACB是直角，B60，AD、CE分别是BAC、BCA的平分线，AD、CE相交于点F请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；（不需证明）（2）如图，在ABC中，B60，AD、CE分别是BAC、BCA的平分线，AD、CE相交于点F，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由【知识点3 角平分线的判定】角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.用符号语言表示角的平分线的判
9、定：若PEAD于点E，PFBD于点F，PEPF，则PD平分ADB【题型5 角平分线的判定】【例5】（2022秋滨湖区校级期中）已知：如图，在ABC中，O是B、C外角的平分线的交点，那么点O在A的平分线上吗？为什么？【变式5-1】（2022秋浦北县校级月考）如图，ABC中，P是角平分线AD，BE的交点求证：点P在C的平分线上【变式5-2】（2022春澧县期末）如图，已知点P到AE、AD、BC的距离相等，下列说法：点P在BAC的平分线上；点P在CBE的平分线上；点P在BCD的平分线上；点P在BAC、CBE、BCD的平分线的交点上，其中正确的是 （填序号）【变式5-3】（2022秋北关区校级月考）如
10、图，D、E、F分别是ABC的三条边上的点，CEBF，DCE和DBF的面积相等求证：AD平分BAC【题型6 角平分线的性质与判定综合】【例6】（2022秋费县期末）BC90，EBEC，DE平分ADC，求证：AE是DAB平分线【变式6-1】（2022秋台安县期中）如图，ABC中，B的平分线与C的外角的平分线交于P点，PDAC于D，PHBA于H，（1）若点P到直线BA的距离是5cm，求点P到直线BC的距离；（2）求证：点P在HAC的平分线上【变式6-2】（2022秋洛龙区校级月考）如图，PB、PC分别是ABC的外角平分线，它们相交于点P，求证：点P在A的平分线上【变式6-3】（2022秋铁东区校级期
11、中）如图，ABC中，点D在BC边上，BAD100，ABC的平分线交AC于点E，过点E作EFAB，垂足为F，且AEF50，连接DE（1）求CAD的度数；（2）求证：DE平分ADC；（3）若AB7，AD4，CD8，且SACD15，求ABE的面积【题型7 角平分线的实际应用】【例7】某市有一块由三条公路围成的三角形绿地，现准备在其中建一亭子供人们休息，而且要使亭子中心到三条公路的距离相等，则可供选择的地方有 处【变式7-1】（2022春西乡县期末）已知：有一块三角形空地，若想在空地中找到一个点，使这个点到三边的距离相等，试找出该点（保留画图痕迹）【变式7-2】（2022春东山县校级期末）如图，某铁路MN与公路PQ相交于点O，且夹角为90，其仓库G在A区，到公路和铁路距离相等，且到公路距离为5cm（1）在图上标出仓库G的位置（2）求出仓库G到铁路的实际距离（比例尺为1：10 000，用尺规作图）【变式7-3】（2022秋柘城县校级月考）如图：某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个公园，要使公园到三条公路的距离相等，应在何处修建？（使用尺规作图，保留作图痕迹）并证明你的观点
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