1、石嘴山三中2020届第五次模拟考试（文科）数学试卷注意事项：1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.2选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效.4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合，则集合中元素个数为（ ）A. 2B.
2、3C. 4D. 5【答案】C【解析】【分析】求得集合，结合集合的交集的概念及运算，求得，即可求解.【详解】由题意，集合，又由，所以，所以集合中元素的个数为4个.故选：C.【点睛】本题主要考查了集合的交集的概念及运算，其中解答中正确求解集合，结合集合的交集的概念及运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.2.若复数为纯虚数，则（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意首先求得实数a的值，然后求解即可【详解】由复数的运算法则有：,复数为纯虚数，则，即.本题选择A选项.【点睛】复数中，求解参数(或范围)，在数量关系上表现为约束参数的方程(或不等式).由于复数无大小之分，所以问题中的
3、参数必为实数，因此，确定参数范围的基本思想是复数问题实数化.3.已知向量，若，则实数 ( )A. -1B. 1C. 2D. -2【答案】B【解析】【分析】根据向量坐标的线性运算得到，再根据向量垂直的坐标表示，得到关于的方程，解出的值，得到答案.【详解】因为向量，所以，因为，所以所以解得.故选：B.【点睛】本题考查向量线性运算的坐标表示，根据向量垂直关系求参数的值，属于简单题.4.网络是一种先进的高频传输技术，我国的技术发展迅速，已位居世界前列.华为公司2019年8月初推出了一款手机，现调查得到该款手机上市时间和市场占有率（单位：%）的几组相关对应数据.如图所示的折线图中，横轴1代表2019年8
4、月，2代表2019年9月，5代表2019年12月，根据数据得出关于的线性回归方程为.若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势，则最早何时该款手机市场占有率能超过0.5%（精确到月）（ ）A. 2020年6月B. 2020年7月C. 2020年8月D. 2020年9月【答案】C【解析】【分析】根据图形，计算出，然后解不等式即可.【详解】解：，点在直线上，令因为横轴1代表2019年8月，所以横轴13代表2020年8月，故选：C【点睛】考查如何确定线性回归直线中的系数以及线性回归方程的实际应用，基础题.5.若双曲线的离心率为3，则其渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】
5、【分析】由离心率求得即得渐近线方程【详解】由题意，渐近线方程为故选：B【点睛】本题考查求渐近线方程，求渐近线方程实质就是求，只要知的一个齐次式即可求解本题中离心率正好是，由此易得6.已知等比数列的各项都为正数，且，成等差数列，则的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设等比数列的公比为，且，由题意和等差中项的性质列出方程，由等比数列的通项公式化简后求出，由等比数列的通项公式化简所求的式子，化简后即可求值【详解】设等比数列的公比为，且，成等差数列，则，化简得，解得，则，故选：【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式，以及等差中项的性质的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水
6、平，属于基础题7.已知曲线的一条对称轴方程为，曲线向左平移个单位长度，得到曲线的一个对称中心的坐标为，则的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】在对称轴处取得最值有，结合，可得，易得曲线的解析式为，结合其对称中心为可得即可得到的最小值.【详解】直线是曲线的一条对称轴.，又.平移后曲线为.曲线的一个对称中心为.，注意到故的最小值为.故选：C.【点睛】本题考查余弦型函数性质的应用，涉及到函数的平移、函数的对称性，考查学生数形结合、数学运算的能力，是一道中档题.8.函数在区间上的大致图像为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据奇偶性排除A，D，根据，函
7、数值的正负可选出选项.【详解】由题可得是偶函数，排除A,D两个选项，当时，当时，所以当时，仅有一个零点.故选：C【点睛】此题考查函数的奇偶性和零点问题，解题时要善于观察出函数的一个零点，再分别讨论，函数值的正负便可得出选项.9.2019年11月26日，联合国教科文组织宣布3月14日为“国际数学日”（昵称：day），2020年3月14日是第一个“国际数学日”，圆周率是圆的周长与直径的比值，是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数.有许多奇妙性质，如莱布尼兹恒等式，即为正整数平方的倒数相加等.小红设计了如图所示的程序框图，要求输出的值与非常近似，则、中分别填入的可以是（ ）A. ，B. ，C. ，
8、D. ，【答案】B【解析】【分析】根据程序框图表示的算法判断得到答案.【详解】依题意中输出的，对比选项B满足.故选：B.【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生的理解能力和应用能力.10.定义在上的函数在上单调递减，且是偶函数，则使成立的的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据是偶函数，结合函数图像平移变换可知关于对称，再由函数在上单调递减可画出函数图像示意图，进而解不等式即可得解.【详解】定义在上的函数在上单调递减，且是偶函数，所以的图像关于对称，示意图如下图所示：而，且在单调递增，所以若，需满足或，解得或，所以使成立的的取值范围为，故选：B.【点睛】本题考查
9、了函数单调性与对称性的综合应用，由单调性解不等式，正确画出函数图像示意图是解决此类问题常用方法，属于中档题.11.已知椭圆的左、右焦点分别为，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析】求出圆心与半径，利用圆心到直线的距离等于半径，可得，结合以及离心率的定义，即可得结果.【详解】由题知圆心坐标为，半径为，又圆与直线相切，得，得，又，联立可得，故离心率为.故选：D【点睛】本题主要考查椭圆的离心率的求解.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：直接求出，从而求出；构造的齐次式，求出；采用离心率的定义以及圆锥曲
10、线的定义来求解12.如图，在边长为4的正三角形中，为边的中点，过作于把沿翻折至的位置，连结翻折过程中，有下列三个结论：；存在某个位置，使；若，则的长是定值其中所有正确结论的编号是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据翻折前后垂直的不变量，及排除法和反证法，即可得答案；【详解】对，于，平面，故正确；对，假设存在某个位置，使，平面，又由知，平面，这显然是不可能的，故假设错误，故错误；利用排除法，可得B正确；故选：B.【点睛】本题考查立体几何中图形的翻折问题、线面、面面的垂直关系问题，考查空间想象能力，求解时注意翻折前后的不变量.二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.设数
11、列满足，则_【答案】【解析】【分析】由已知得是等比数列，求出其通项公式后再计算前项的积【详解】，是等比数列，公比为，故答案为：【点睛】本题考查等比数列的通项公式，考查等差数列的前项和公式，掌握等比数列的定义与通项公式是解题关键14.已知函数，则_【答案】【解析】【分析】根据分段函数，和，利用 转化为求解.【详解】因为，所以，又，所以故答案为：.【点睛】本题主要考查分段函数的求值，还考查了转化问题求解的能力，属于基础题.15.某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为_【答案】【解析】【分析】通过几何体的三视图可知该几何体是一个半圆柱挖去一个小半圆柱，再根据三视图
12、中的数据，分别求出两个半圆柱侧面积，上下底面面积，两个长方形面积，再相加即可得答案；【详解】三视图可知该几何体是一个半圆柱挖去一个小半圆柱，两个半圆柱侧面积：，上下底面面积：，两个长方形面积：，该几何体的表面积为，故答案为：.【点睛】本题考查根据三视图求几何体的表面积，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意运算的准确性.16.已知直线与圆相交于两点（为圆心），且为等腰直角三角形，则实数的值为_.【答案】【解析】【分析】根据三角形为等腰直角三角形可知圆心到直线的距离等于半径的，由此列方程，解方程求得 的值.【详解】由于三角形为等腰直角三角形，所以圆心到直线的距离等于半径的.直线的一般方程为，
13、圆的方程为，圆心为，半径为.故，解得.【点睛】本小题主要考查直线和圆位置关系，考查点到直线的距离公式，属于中档题.三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在中，求的值；若，求的面积【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】由，根据正弦定理可得，从而可求出答案；根据同角的三角函数的关系求出，再根据诱导公式以及两角和正弦公式求出，利用三角形面积公式计算即可【详解】（1），由正弦定理可得.（2）若，则，又由可得，【点睛】本题考查了正弦定理、两角和的正弦公式以及三角形的面积公式，属于基础题. 正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边
14、和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.18.已知正三棱柱中，是的中点.（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）连结，设，再连接，可证，即可证明；（2）根据等体积法可转化为，即可求其体积.【详解】证明：（1）连结，设，再连接,如图，则是的中点，是的中位线，所以，又因为平面，平面，所以平面（2）过点作，垂足为，如图，在正三棱柱中，平面，又，平面，.【点睛】本题主要考查了线面平行的判定，等体积法，三棱锥的体积，属于中档题.1
15、9.为了打好脱贫攻坚战，某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研，力争有效地改良玉米品种，为农民提供技术支援，现对已选出的一组玉米的茎高进行统计，获得茎叶图如图（单位：厘米），设茎高大于或等于180厘米的玉米为高茎玉米，否则为矮茎玉米（1）求出易倒伏玉米茎高中位数；（2）根据茎叶图的数据，完成下面的列联表：抗倒伏易倒伏矮茎高茎（3）根据（2）中的列联表，是否可以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关？附：，0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】（1）190（2）见解析 （3）可以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关【解析】
16、【分析】（1）排序后第10和第11两个数的平均数为中位数；（2）由茎叶图可得列联表；（3）由列联表计算可得结论【详解】解：（1）（2）抗倒伏易倒伏矮茎154高茎1016（3）由于，因此可以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关【点睛】本题考查茎叶图，考查独立性检验，正确认识茎叶图是解题关键20.已知是抛物线：的焦点，点在抛物线上，且.（1）求抛物线的标准方程；（2）若、是抛物线上的两个动点，且，为坐标原点，求证：直线过定点.【答案】（1）;（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由,并将点代入抛物线方程中,联立可求出,即可;（2）设,由,可得,结合两点都在抛物线上,可求得的值
17、.设直线的方程为,与抛物线方程联立,可得到,从而可求出参数的值,代入直线的方程可知直线恒过定点.【详解】（1）由题意得,解得,因为点在抛物线上,则,解得,又,所以,即拋物线的标准方程为.（2）设,因为,所以,即得,因为点、在抛物线上,所以,代入得,因为,则,设直线的方程为,联立,得,则,所以,所以直线的方程为，过定点.【点睛】本题考查了抛物线的方程,考查了抛物线的焦半径的应用,考查了韦达定理的应用,考查直线恒过定点问题,考查了学生的推理能力与计算求解能力,属于中档题.21.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若函数图像过点，求证：.【答案】(1) 当时，在上单调递增，当时，在单调递增，在上
18、单调递减；(2)见解析.【解析】【分析】（1）函数的定义域为 ，.按或分类讨论即可；（2）由已知得，要证，即证，令，求导判断单调性和最小值即可得出.【详解】（1）函数的定义域为 ，.当时， ，在上单调递增； 当时，由，得 .若 ，单调递增；若 ，单调递减综合上述： 当时，在上单调递增；当时，在单调递增，在上单调递减. （2）函数图象过点，可得，此时要证，即证. 令， ，又令，当时，在上单调递增.由， 即，故存在 使得，此时，故 当时，；当时，.所以在上递减，在上递增，当时，有最小值 故成立【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，构造函数判断单调性并求出最小值，也考查了分类讨论思想，属于中档
19、题.请考生在22，23，题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系中，以原点为极点，以轴的正半轴为极轴，曲线的极坐标方程为.（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）过点作倾斜角为的直线与圆交于，两点，试求的值【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求出直线的参数方程，代入圆的方程可得：，利用根与系数的关系可得结果.【详解】（1）将曲线的极坐标方程，化为直角坐标方程为；（2）直线的参数方程为：（为参数），将其带入上述方程中得：，则，所以.
20、【点睛】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线参数方程及其应用、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题选修45：不等式选讲23. 选修45：不等式选讲设函数（1）若a=1，解不等式；（2）若函数有最小值，求实数a的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）绝对值不等式，根据绝对值的定义分类讨论去绝对值符号；（2）函数是分段函数，它要存在最小值，则两部分应满足左边是减函数，右边是增函数试题解析：（）时，当时，可化为，解之得；当时，可化为，解之得综上可得，原不等式的解集为5分（）函数有最小值的充要条件为即10分考点：解绝对值不等式，分段函数的单调性与最值
