1、专题14 直线、射线、线段一、线段的和、差、倍、分【典例】（1）如图，已知点C在线段AB上，且AC12cm，BC8cm，点M、N分别是AC、BC的中点，求线段MN的长度；（2）若点C是线段AB上任意一点，且ACa，BCb，点M、N分别是AC、BC的中点，求线段MN的长度；（用a、b的代数式表示）（3）在（2）中，把点C是线段AB上任意一点改为：点C是直线AB上任意一点，其他条件不变，则线段MN的长度会变化吗？若有变化，求出结果【解答】解：（1）由AC12（cm），M是AC的中点，得MC=12AC6（cm）由BC8（cm），N是CB的中点，得CN=12CB4（cm）由线段的和差，得MNMC+NC
2、6+410（cm）；（2）由ACa（cm），M是AC的中点，得MC=12AC=a2（cm）由BCb（cm），N是CB的中点，得CN=12CB=b2（cm）由线段的和差，得MNMC+NC=a2+b2=a+b2（cm）；（3）当点C在B点的右边时，ACa，BCb，点M、N分别是AC、BC的中点，得MC=12AC=a2，NC=12BC=b2（cm）由线段的和差，得MNMCNC=a2-b2=a-b2（cm）；当点C在A点的左边时，ACa，BCb，点M、N分别是AC、BC的中点，得MC=12AC=a2，NC=12BC=b2（cm）由线段的和差，得MNNCMC=b2-a2=b-a2，点C在线段AB上时，M
3、NMC+NC=a2+b2=a+b2（cm）【巩固】如图，已知线段ABm，CDn，线段CD在直线AB上运动（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），若|m12|+（6n）20（1）求线段AB，CD的长；（2）若点M，N分别为线段AC，BD的中点，BC4，求线段MN的长；（3）当CD运动到某一时刻时，点D与点B重合，点P是线段AB的延长线上任意一点，下列两个结论：PA-PBPC是定值，PA+PBPC是定值，请选择你认为正确的一个并加以说明【解答】解：（1）|m12|+（6n）20，|m12|（6n）2，m120，6n0，n6，m12，AB12，CD6；（2）如图1，M、N分别为线段AC、BD的中点，
4、AM=12AC=12（AB+BC）8，DN=12BD=12（CD+BC）5，MNADAMDN9；如图2，M、N分别为线段AC、BD的中点，AM=12AC=12（ABBC）4，DN=12BD=12（CDBC）1，MNADAMDN12+64419；（3）正确理由如下：PA+PBPC=(PC+AC)+(PC-CB)PC=2PCPC=2，PA+PBPC是定值2二、计数类问题【学霸笔记】1.若平面内有两两相交的n条直线，其交点最少为1个，最多有个；2.若一条直线上有n个点，那么这条直线上的线段总数有条，射线总数有条；3.过平面上任意三个不在同一条直线上的n个点中的两个点，可以画条直线；4.平面内n条直线
5、两两相交，且任意三条直线都不共点时，这些直线可以将平面分成互不重叠的部分最多，有个.【典例】A、B、C、D、E五支球队进行单循环比赛（每两支球队间都要进行一场比赛），当比赛进行到一定阶段时，统计A、B、C、D四个球队已赛过的场数，依次为A队4场，B队3场，C队2场，D队1场，这时，E队已赛过的场数是（）A1B2C3D4【解答】解：A、B、C、D、E五支球队进行单循环比赛，已知A队赛过4场，所以A队必须和B、C、D、E这四个球队各赛一场，已知B队赛过3场，B队已和A队赛过1场，那么B队只能和C、D、E中的两个队比赛，又知D队只赛过一场（也就是和A队赛过的一场），所以B队必须和C、E各赛1场，这样
6、满足C队赛过2场，从而推断E队赛过2场故选：B【巩固】为了解决“经过平面上的100个点中的任意两点最多能画出多少条直线”这个问题，数学课外兴趣小组的同学们讨论得出如下方法：当n2，3，4时，画出最多直线的条数分别是：过两点画一条直线，三点在原来的基础上增加一个点，它与原来两点分别画一条直线，即增加两条直线，以此类推，平面上的10个点最多能画出1+2+3+945条直线请你比照上述方法，解决下列问题：（要求作图分析）（1）平面上的20条直线最多有多少个交点？（2）平面上的100条直线最多可以把平面分成多少个部分？平面上n条直线最多可以把平面分成多少个部分？【解答】解：（1）当有2，3，4条直线时最
7、多交点的个数分别是：20条直线最多有1+2+3+19190个交点；（2）当有1，2，3条直线时最多可把平面分成的部分分别是：100条直线最多可把平面分成1+（1+2+3+100）5051个部分，同理n条直线最多可把平面分成1+（1+2+3+n）1+n(n+1)2=n2+n+22巩固练习1如图，王伟同学根据图形写出了四个结论：图中共有3条直线；图中共有7条射线；图中共有6条线段；图中射线BC与射线CD是同一条射线其中结论正确的有（）A1个B2个C3个D4个【解答】解：图中只有BD1条直线，原来的说法错误；图中共有23+128条射线，原来的说法错误；图中共有6条线段的说法是正确的；图中射线BC与射
8、线CD不是同一条射线，原来的说法错误故选：A2如图，线段AF中，ABa，BCb，CDc，DEd，EFe则以A，B，C，D，E，F为端点的所有线段长度的和为（）A5a+8b+9c+8d+5eB5a+8b+10c+8d+5eC5a+9b+9c+9d+5eD10a+16b+18c+16d+10e【解答】解：以A为端点线段有AB、AC、AD、AE、AF，这些线段长度之和为5a+4b+3c+2d+e，以B为端点线段有BC、BD、BE、BF，这些线段长度之和为4b+3c+2d+e，以C为端点线段有CD、CE、CF，这些线段长度之和为3c+2d+e，以D为端点线段有DE、DF，这些线段长度之和为2d+e，以
9、E为端点线段有EF，线段的长度为e，故这些线段的长度之和为5a+8b+9c+8d+5e，故选：A3互不重合的A、B、C三点在同一直线上，已知AC2a+1，BCa+4，AB3a，这三点的位置关系是（）A点A在B、C两点之间B点B在A、C两点之间C点C在A、B两点之间D无法确定【解答】解：AC2a+1，BCa+4，AB3a，A、B、C三点互不重合a0，若点A在B、C之间，则AB+ACBC，即2a+1+3aa+4，解得a=34，故A情况存在，若点B在A、C之间，则BC+ABAC，即a+4+3a2a+1，解得a=-32，故B情况不存在，若点C在A、B之间，则BC+ACAB，即a+4+2a+13a，此时
10、无解，故C情况不存在，互不重合的A、B、C三点在同一直线上，故选：A4如图，在数轴上有A，B，C，D，E五个整数点（即各点均表示整数），且AB2BC3CD4DE，若A、E两点表示的数的分别为13和12，那么，该数轴上上述五个点所表示的整数中，离线段AE的中点最近的整数是（）A1B5C6D8【解答】解：由题意可设ABx，由AB2BC3CD4DE有BC=12x，CD=13xDE=14xA、E两点表示的数的分别为13和12，AE25x+12x+13x+14x25，解得x12AB12，BC6，CD4，DE3B、C、D三个点表示的数分别是1、5、9而A、E两点的中点表示的数应该是0.5，上述五个点所表示
11、的整数中，离线段AE的中点最近的整数是1故选：A5如图，已知B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，N是线段AC的中点，P为NA的中点，Q是AM的中点，则MN：PQ等于（）A1B2C3D4【解答】解：根据B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，N是线段AC的中点，P为NA的中点，Q是AM的中点，可知：PQAPAQ=12AN-12AM=12（ANAM）=12MN，所以 MN：PQ2：12故选：B6平面内的9条直线任两条都相交，交点数最多有m个，最少有n个，则m+n等于（）A36B37C38D39【解答】解：三条最多交点数的情况就是第三条与前面两条都相交：1+2四条最多交点数的情况就是第四条与
12、前面三条都相交：1+2+3五条最多交点数的情况就是第五条与前面四条都相交：1+2+3+4六条最多交点数的情况就是第六条与前面五条都相交：1+2+3+4+5七条最多交点数的情况就是第七条与前面六条都相交：1+2+3+4+5+6八条最多交点数的情况就是第八条与前面七条都相交：1+2+3+4+5+6+7九条最多交点数的情况就是第九条与前面八条都相交：1+2+3+4+5+6+7+836当平面内的9条直线相交于同一点时，交点数最少，即n1则m+n1+3637故选：B7某公司员工分别在A、B、C三个住宅区，A区有30人，B区有15人，C区有10人，三个区在一条直线上，位置如图所示，该公司的接送车打算在此间
13、只设一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小，那么停靠点的位置应设在（）AA区BB区CC区DA、B两区之间【解答】解：当停靠点在A区时，所有员工步行到停靠点路程和是：15100+103004500m，当停靠点在B区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30100+102005000m，当停靠点在C区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30300+1520012000m，当停靠点在A、B区之间时，设在A区、B区之间时，设距离A区x米，则所有员工步行路程之和30x+15（100x）+10（100+200x），30x+150015x+300010x，5x+4500，也可以：利用人数越多，走的路程
14、越少，总路程会越少，当x0时，即在A区时，路程之和最小，为4500米；综上，当停靠点在A区时，所有员工步行到停靠点路程和最小，那么停靠点的位置应该在A区故选：A8如图，B，C，D是线段AE上的三个点，已知AE9，BD4，求图中以A、B、C、D、E这5个点为端点的所有线段的和为 【解答】解：AE9，BD4，AB+DE945以A、B、C、D、E这5个点为端点的所有线段的和AB+AC+AD+AE+BC+BD+BE+CD+CE+DE（BC+CD）+（AB+DE）+（AC+CE）+（AD+DE）+AE+BDBD+（AB+DE）+AE+AE+AE+BD4+5+9+9+9+440故答案为：409已知线段AB
15、m（m为常数），点C为直线AB上一点，点P、Q分别在线段BC、AC上，且满足CQ2AQ，CP2BP（1）如图，若AB6，当点C恰好在线段AB中点时，则PQ ；（2）若点C为直线AB上任一点，则PQ长度是否为常数？若是，请求出这个常数；若不是，请说明理由；（3）若点C在点A左侧，同时点P在线段AB上（不与端点重合），请判断2AP+CQ2PQ与1的大小关系，并说明理由【解答】解：（1）CQ2AQ，CP2BP，CQ=23AC，CP=23BC，点C恰好在线段AB中点，ACBC=12AB，ABm（m为常数），PQCQ+CP=23AC+23BC=2312AB+2312AB=23AB=2364；故答案为：4
16、；（2）点C在线段AB上：CQ2AQ，CP2BP，CQ=23AC，CP=23BC，ABm（m为常数），PQCQ+CP=23AC+23BC=23（AC+BC）=23AB=23m；点C在线段BA的延长线上：CQ2AQ，CP2BP，CQ=23AC，CP=23BC，ABm（m为常数），PQCPCQ=23BC-23AC=23（BCAC）=23AB=23m；点C在线段AB的延长线上：CQ2AQ，CP2BP，CQ=23AC，CP=23BC，ABm（m为常数），PQCQCP=23AC-23BC=23（ACBC）=23AB=23m；故PQ是一个常数，即是常数23m；（3）如图：CQ2AQ，2AP+CQ2PQ2A
17、P+CQ2（AP+AQ）2AP+CQ2AP2AQCQ2AQ2AQ2AQ0，2AP+CQ2PQ110直线l上的三个点A、B、C，若满足BC=12AB，则称点C是点A关于点B的“半距点”如图1，BC=12AB，此时点C就是点A关于点B的一个“半距点”若M、N、P三个点在同一条直线m上，且点P是点M关于点N的“半距点”，MN6cm（1）MP cm；（2）若点G也是直线m上一点，且点G是线段MP的中点，求线段GN的长度【解答】解：（1）如图所示：点P是点M关于点N的“半距点”，PN=12MN，MN6cmP1N=12MN3cm，MP1MNP1N3cm；MN6cmP2N=12MN3cm，MP2MN+P2N9cm；MP3cm或9cm；故答案为：3cm或9；（2）如图所示：点G1是线段MP1的中点，MG1=12MP1=32cm，G1NMNMG16-32=92（cm）；点G2是线段MP2的中点，MG2=12MP2=92cm，G2NMNMG26-92=32（cm）线段GN的长度为92cm或32cm
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