1、宁夏石嘴山市第三中学2020届高三数学第五次模拟考试试题 理（含解析）一.选择题1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先解不等式，得到，再求即可.【详解】因为，所以.故选：A【点睛】本题主要考查集合的交集运算，同时考查了指数不等式的解法，属于简单题.2.已知，其中是虚数单位，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据复数除法运算计算得到，根据模长定义可求得结果.【详解】，.故选：.【点睛】本题考查复数模长的求解，关键是利用复数除法运算计算得到复数，属于基础题.3.下列四个命题中真命题的个数是（ ）(1)“”是“”的充分不必要条件(2)命题
2、“，”的否定是“，”(3)“若，则”的逆命题为真命题(4)命题，命题，则为真命题A. B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】试题分析：当时，成立，当，或，“”是“”的充分不必要条件，故正确；命题“，”的否定是“，”正确；“若，则”的逆命题为“若，则”错误，当时，不成立，故错；当时，命题是真命题，故是真命题，故真命题的个数是3个，故选：D.考点：命题的真假性的判断.4.2020年春节突如其来的新型冠状病毒肺炎在湖北爆发，一方有难八方支援，全国各地的白衣天使走上战场的第一线，某医院抽调甲、乙两名医生，抽调、三名护士支援武汉第一医院与第二医院，参加武汉疫情狙击战其中选一名护士与一名医生去第一医
3、院，其它都在第二医院工作，则医生甲和护士被选在第一医院工作的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题可知，基本事件总数，医生甲和护士被选为第一医院工作包含的基本事件只有1种，由此能求出医生甲和护士被选为第一医院工作的概率【详解】解：某医院抽调甲乙两名医生，抽调，三名护士支援武汉第一医院与第二医院，参加武汉疫情狙击战，其中选一名护士与一名医生去第一医院，其它都在第二医院工作，基本事件总数，医生甲和护士被选为第一医院工作包含的基本事件只有1种，则医生甲和护士被选为第一医院工作的概率为故选：B【点睛】本题考查古典概型的概率的求法，以及组合的应用和组合数的运算，考查运算求解能
4、力，是基础题5.设，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列说法正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】【分析】选项A可考虑直线是否在平面内作出判断；选项B找到满足条件的的所有情况即可作出判断；选项C中满足条件的的所有情况都考虑到即可判断；选项D根据面面垂直的判定定理判断即可.【详解】选项A，直线n可能在平面内，错误；选项B，如果，那么与平行或相交，错误；选项C，与相交或平行，错误；选项D，且，则必有，根据面面垂直的判定定理知，正确.故选：D【点睛】本题主要考查了面面平行的判定，面面垂直的判定，考查了空间想象力，属于中档题.6.九章算术中有一题：今
5、有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马”，马主曰：“我马食半牛”，今欲衰偿之，问各处儿何？其意思是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛一半”若按此比例偿还，牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟？在这个问题中，牛主人比羊主人多赔偿（ ）A. 斗粟B. 斗粟C. 斗粟D. 斗粟【答案】D【解析】分析】先确定羊、马、牛的主人应赔偿的比例，再根据比例分别计算各个主人应赔偿的斗数即可求解.【详解】羊、马、牛的主任所应赔偿的比例是，故牛主人比羊主人多赔偿了斗.故选：D.【点睛】本题为一道数学文化题，考查
6、阅读理解能力，考查划归于转化思想，此类题型在近几年中经常出现.7.在三角形中，分别为角，的对边，且满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据余弦定理结合题意得，而，再根据半角公式求解即可【详解】解：，即，由余弦定理可得，则，故选：D【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，考查半角公式的应用，属于基础题8.若（其中，）的图象如图，为了得的图象，则需将的图象（ ）A. 向右平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向左平移个单位【答案】B【解析】【分析】由已知中函数的图象，我们易分析出函数的周期、最值，进而求出函数的解析式，利用三角函数图象的平移变换法则可得结果
7、【详解】由已知中函数（其中，）的图象，可得：，即=2即f(x)=sin(2x+)，将点代入得：又由，即所以将函数f(x)的图象向右平移个单位得到函数的图象，故选：B【点睛】本题主要通过已知三角函数的图象求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用最值求出 ,利用图象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，正确求是解题的关键.9.已知，则的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】引入中间变量1，再利用对数式与指数式的互化，对的大小进行比较，即可得答案；【详解】，最大，考察函数与的图象，可得，故选：D.【点睛】本题考查指数式与对数式的大小比较，考查函数与方程思想、转化
8、与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.10.如图，在正方体中，分别是的中点，有下列四个结论：与是异面直线； 相交于一点； 平面.其中所有正确结论的编号是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用异面直线的概念，以及线面平行的判定定理，逐项判定，即可求解.【详解】，是相交直线，设，则平面且平面，又平面平面，所以相交于一点，故不正确，正确；设，连，则有，所以四边形为平行四边形，则，所以不正确；又平面，平面，所以平面，则正确.故选：B【点睛】本题主要考查了空间中的点，线，面的位置关系的判定，考查了学生的空间想象能力与逻辑推理能力.11.设是双曲线左、右焦点，是双
9、曲线右支上一点，满足（为坐标原点），且，则双曲线的离心率为（ ）A. 2B. C. D. 5【答案】D【解析】【详解】【分析】试题分析：设,则,因,故,即,故点在以坐标原点为圆心为半径的圆上,所以,设,由双曲线的定义可得,又,即,所以,即,故应选D.考点：双曲线及有关性质和向量的数量积公式12.若函数在上存在两个极值点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】由题意可知有两个不等根.即,有一根.另一根在方程,中,令,所以在且上单调递增.所以即.所以选C.【点睛】极值点个数问题，一般是求导函数零点问题所以主要对导函数进行分析，注意选择分离参数，还是带参求导，还是两个
10、函数交点问题的方法二填空题13.已知，则_【答案】【解析】分析】由二倍角求得，则tan可求【详解】由sin2=sin，得2sincos=sin，,sin0,则,即.故答案为：.【点睛】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查公式的灵活应用，属于基础题.14.已知点，过直线与抛物线相交于两点若为中点，则_【答案】【解析】【分析】易知抛物线的焦点，准线，分别作点到准线的垂线段，垂足分别为点，根据抛物线的定义，有，即可求得的值.【详解】易知抛物线的焦点，准线分别作点到准线的垂线段，垂足分别为点根据抛物线的定义，有，因为，且为中点，所以是的中位线，即故故答案为：.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关
11、系、抛物线的定义，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意平面几何知识的运用.15.若的展开式中常数项为，则直线，轴与曲线围成的封闭图形的面积为_.【答案】【解析】【分析】展开式的通项为，由条件算出，表示出所求的封闭图形面积为，计算即可得结果.【详解】展开式的通项为，令得，所以，解得：，由题得所求的封闭图形面积为，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，定积分的运算，考查了学生的运算求解能力.16.对于函数现有下列结论：任取，都有；函数有3个零点；函数在上单调递增；若关于的方程有且只有两个不同的实根，则其中正确结论的序号为_（写出所有正确命题的序号）【答案】【解析】【分析】作
12、出函数的图象，求出时的最大值和最小值，可判断；由图可直接判断，进而可得答案.【详解】的图象如图所示：当时，最大值为，最小值为，任取，都有恒成立，故正确；如图所示，函数和的图象有3个交点，即有3个零点，故正确；函数在区间上的单调性和上的单调性相同，则函数在区间上不单调，故错误；当时，函数关于对称，若关于的方程有且只有两个不同实根，则，则成立，故正确；故答案为：.【点睛】本题考查命题的真假判断，涉及函数的性质，利用分段函数的表达式，作出函数的图象是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度.三解答题17.已知数列满足：，.（1）求及通项；（2）设是数列的前项和，则数列，中哪一项最小？并求出这个最小值
13、.（3）求数列的前10项和.【答案】（1），；（2）最小，；（3）前10项和为：.【解析】【分析】（1）先由递推公式求出，再判断出数列为等差数列，写出通项公式即可；（2）判断出等差数列的正负项，即可求出的最小值；（3）判断各项的正负性，去掉绝对值，代入计算即可.【详解】（1），当时，由知数列为首项是，公差为4的等差数列，故；（2），故，故最小，；（3）当时，；当时，.【点睛】本题主要考查了等差数列的定义，等差数列的通项公式，前项和公式，等差数列的前项和的最值问题，考查了学生灵活运用公式求解的能力.18.如图，在直三棱柱中，分别是，中点，为线段上的一个动点.（1）证明：平面；（2）当二面角的余弦
14、值为时，证明：.【答案】（1）证明见解析.（2）证明见解析【解析】【分析】（1）取中点，连，可证四边形为平行四边形，得到，即可证明结论；（2）不妨设，如下图建立空间直角坐标系，设，得到坐标， 求出平面的法向量坐标，取平面法向量为，根据已知求出，证明即可.【详解】（1）如图，取中点，连，因为是的中点，所以，在直三棱柱中，因为是中点，所以，所以四边形为平行四边形，因为平面，平面，所以平面；（2）不妨设，如图建立空间直角坐标系，设，所以，设平面的一个法向量为，则，即，令，所以平面一个法向量，平面的一个法向量，所以，此时，所以，即.【点睛】本题考查空间线面位置关系，考查直线与平面平行、异面直线垂直的证
15、明，利用空间向量法求二面角的余弦，意在考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.19.2019年春节期间，某超市准备举办一次有奖促销活动，若顾客一次消费达到400元则可参加一次抽奖活动，超市设计了两种抽奖方案.方案一：一个不透明的盒子中装有30个质地均匀且大小相同的小球，其中10个红球，20个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得60元的返金券，若抽到白球则获得20元的返金券，且顾客有放回地抽取3次.方案二：一个不透明的盒子中装有30个质地均匀且大小相同的小球，其中10个红球，20个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得80元的返金券，若抽到白球则
16、未中奖，且顾客有放回地抽取3次.（1）现有两位顾客均获得抽奖机会，且都按方案一抽奖，试求这两位顾客均获得180元返金券的概率；（2）若某顾客获得抽奖机会.试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得返金券的数学期望；为了吸引顾客消费，让顾客获得更多金额的返金券，该超市应选择哪一种抽奖方案进行促销活动？【答案】(1) (2)第一种抽奖方案.【解析】【分析】(1)方案一中每一次摸到红球的概率为，每名顾客有放回的抽3次获180元返金劵的概率为，根据相互独立事件的概率可知两顾客都获得180元返金劵的概率 (2)分别计算方案一，方案二顾客获返金卷的期望，方案一列出分布列计算即可，方案二根据二项分布计算期望即可
17、根据得出结论.【详解】（1）选择方案一，则每一次摸到红球的概率为设“每位顾客获得180元返金劵”为事件A，则所以两位顾客均获得180元返金劵的概率（2）若选择抽奖方案一，则每一次摸到红球的概率为，每一次摸到白球的概率为.设获得返金劵金额为元，则可能的取值为60，100，140，180.则；.所以选择抽奖方案一，该顾客获得返金劵金额的数学期望为（元）若选择抽奖方案二，设三次摸球的过程中，摸到红球的次数为，最终获得返金劵的金额为元，则，故所以选择抽奖方案二，该顾客获得返金劵金额的数学期望为（元）.即，所以该超市应选择第一种抽奖方案【点睛】本题主要考查了古典概型，相互独立事件的概率，二项分布，期望，
18、及概率知识在实际问题中的应用，属于中档题.20.已知点是曲线上任意一点，点在轴上的射影是，.（1）求动点的轨迹方程；（2）过点的直线交点的轨迹于点，交点的轨迹于点，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设点坐标为，由得点的坐标为，代入即可求解.（2）若轴，求得；若直线不与轴垂直，设直线的方程为，根据圆的弦长公式，求得，再联立方程组，结合根与系数的关系，求得的表达式，代入化简，即可求解.【详解】（1）设点坐标为，由得点的坐标为，又点是曲线上任意一点则可得，化简得点的轨迹方程为；（2）若轴，则，若直线不与轴垂直，设直线的方程为，即，则坐标原点到直线的距离，设.将代入，并化简得，
19、当且仅当即时，等号成立，综上所述，最大值为1.【点睛】本题主要考查代入法求轨迹方程，圆的性质，弦长的计算，及直线与椭圆的位置关系的综合应用.解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，考查了考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.21.已知函数若函数的最大值为3，求实数的值；若当时，恒成立，求实数的取值范围；若，是函数的两个零点，且，求证：【答案】4；证明见解析.【解析】【分析】求出函数的定义域，利用导函数符号判断函数的单调性，由单调性求解函数的最大值，然后求出即可；化简恒成立的不等式为，得到令，利用函数的导数符号判断函数的单调性，得到
20、，然后求解的范围；，是函数的两个零点，可得，构造函数，利用函数的导数的符号判断函数的单调性，推出，得到，即可证明结论【详解】函数的定义域为因为，所以在内，单调递增；在内，单调递减所以函数在处取得唯一的极大值，即的最大值因为函数的最大值为3，所以，解得因为当时，恒成立，所以，所以，即令，则因为，所以所以在单调递增所以，所以，所以即实数k的取值范围是；由可知：，所以因为，是函数的两个零点，所以因为令，则所以在，单调递减所以所以，即由知，在单调递增，所以，所以【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值、证明不等式以及不等式恒成立问题，属于难题不等式恒成立问题常见方法： 分离参数恒成立(即可)或恒成立（
21、即可）； 数形结合( 图象在 上方即可)； 讨论最值或恒成立； 讨论参数.22.在新中国成立70周年国庆阅兵庆典中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖国的热爱之情，在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线，如图，在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为（），M为该曲线上的任意一点.（1）当时，求M点的极坐标；（2）将射线OM绕原点O逆时针旋转与该曲线相交于点N，求的最大值.【答案】（1）点M的极坐标为或（2）【解析】【分析】（1）令，由此求得的值，进而求得点的极坐标.（2）设出两点的极坐标，利用勾
22、股定理求得的表达式，利用三角函数最值的求法，求得的最大值.【详解】（1）设点M在极坐标系中的坐标，由，得，或，所以点M的极坐标为或（2）由题意可设，.由，得，.故时，的最大值为.【点睛】本小题主要考查极坐标的求法，考查极坐标下两点间距离的计算以及距离最值的求法，属于中档题.23.已知函数（）解不等式；（）已知，求证：【答案】（）解集为；（）证明略【解析】【分析】（）将式子进行整理，得到，之后应用零点分段法，解得结果；（）应用绝对值三角不等式，求得，借助于基本不等式证得，从而证得结果.【详解】（），即为，该不等式等价于如下不等式组：1） ，2） ，3），所以原不等式的解集为或；（），所以.【点睛】该题考查的是有关不等式的问题，涉及到的知识点有绝对值不等式的解法，不等式恒成立问题，基本不等式求最值，问题的等价转化，注意思维的灵活性.
