1、专题13.1 三角形的三边关系和稳定性【八大题型】【沪科版】【题型1 三角形的识别与有关概念】1【题型2 三角形的分类】2【题型3 三角形个数的规律探究题】3【题型4 应用三角形的三边关系求第三边长或取值范围】4【题型5 应用三角形的三边关系求等腰三角形的边长问题】5【题型6 应用三角形的三边关系化简含有绝对值的式子】5【题型7 应用三角形的三边关系解决线段的和差比较问题】5【题型8 三角形的稳定性】6【知识点1 三角形的概念】由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.【题型1 三角形的识别与有关概念】【例1】（2023春山西八年级校联考期末）一位同学用三根木棒拼成如下图
2、形，其中符合三角形概念的是（）ABCD【变式1-1】（2023春山东德州八年级校考阶段练习）下列说法正确的是()A所有的等腰三角形都是锐角三角形B等边三角形属于等腰三角形C不存在既是钝角三角形又是等腰三角形的三角形D一个三角形里有两个锐角，则一定是锐角三角形【变式1-2】（2023浙江八年级假期作业）如图，在ABC中，D，E分别是BC边上的点，连接BE，AD，相交于点F(1)BDF的三个顶点是什么?三条边是什么?(2)AB是哪些三角形的边?【变式1-3】（2023浙江八年级假期作业）如图，在BCE中，边BE所对的角是_，CBE所对的边是_；在AEC中，边AE所对的角是_，A为内角的三角形是_【
3、知识点2 三角形的分类】按边分类：三角形三边都不相等的三角形 等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形 按角分类：三角形直角三角形 斜三角形锐角三角形钝角三角形 【题型2 三角形的分类】【例2】（2023春全国八年级专题练习）如图表示的是三角形的分类，则正确的表示是（）AM表示三边均不相等的三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形BM表示三边均不相等的三角形，N表示等边三角形，P表示等腰三角形CM表示等腰三角形，N表示等边三角形，P表示三边均不相等的三角形DM表示等边三角形，N表示等腰三角形，P表示三边均不相等的三角形【变式2-1】（2023春八年级单元测试）现有以下说法：等边三角形是
4、等腰三角形；三角形的两边之差大于第三边；三角形按边分类可分为不等边三角形、等腰三角形、等边三角形；三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形正确的有（）A4个B3 个C2个D1个【变式2-2】（2023春八年级课时练习）如图，ACD90，则图中的锐角三角形是_，钝角三角形有_个【变式2-3】（2023全国八年级假期作业）下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，如果按角的大小来进行分类，其中不能判断三角形类型的是（）ABCD【题型3 三角形个数的规律探究题】【例3】（2023春全国八年级专题练习）根据下图所示的形、三个图所表示的规律，依次下去第n个图中的三角形的个数是()A6(n-1)
5、 B6nC6(n+1) D12n【变式3-1】（2023春八年级单元测试）若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以BC为公共边的“共边三角形”有_对【变式3-2】（2023春八年级课时练习）如图，平面内有五个点，以其中任意三个点为顶点画三角形，最多可以画_个三角形【变式3-3】（2023春全国八年级专题练习）（1）如图1，D1是ABC的边AB上的一点，则图中有哪几个三角形？（2）如图2，D1，D2是ABC的边AB上的两点，则图中有哪几个三角形？（3）如图3，D1，D2，D10是ABC的边AB上的10个点，则图中共有多少个三角形？【知识点3 三角形的三边关系】三角形两边的和大于
6、第三边，两边的差小于第三边.在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形【题型4 应用三角形的三边关系求第三边长或取值范围】【例4】（2023江西上饶八年级统考期末）已知三角形三边长分别为m，n，k，且m、n满足|n-9|+(m-5)2=0，则这个三角形最长边k的取值范围是_【变式4-1】（2023春八年级课时练习）下列长度的三条线段能组成三角形吗？请说明理由(1)20cm，15cm，8cm(2)7cm，15cm，8cm(3)5cm，15cm，8cm【变式4-2】（2023春江苏八年级
7、专题练习）已知三角形三边分别为a、b、c，其中a、b满足a-b+b-3=0，那么c的取值范围是_【变式4-3】（2023春黑龙江绥化八年级校联考期中）若一个三角形的两边长是4和9，且周长是偶数，则第三边长为_【题型5 应用三角形的三边关系求等腰三角形的边长问题】【例5】（2023春山东威海八年级校联考期中）等腰三角形的周长为20，一边长为8，则它的腰长为（）A6B4C8或6D8或4【变式5-1】（2023春湖北武汉八年级校联考阶段练习）一个等腰三角形的两边长分别是 a和 2a1（a0），则它的周长为（）A3a1B4a1C5a2D4a1 或 5a2【变式5-2】（2023春山东潍坊八年级统考期末
8、）(多选题)已知等腰三角形的周长是12，且各边长都为整数，则各边的长可能是（）A2，2，8B5，5，2C4，4，4D3，3，5【变式5-3】（2023春八年级课时练习）若二元一次方程组x+2y=m+3x+y=2m的解x、y的值恰好是一个等腰三角形两边的长，且这个等腰三角形的周长为7，则m的值为_【题型6 应用三角形的三边关系化简含有绝对值的式子】【例6】（2023春全国八年级专题练习）已知ABC的三边长分别为3、5、a，化简a-2-a-1+a-8的结果为_【变式6-1】（2023春广东茂名八年级校考阶段练习）若a，b，c是ABC的三边，则化简a-b-c-b+a-c的结果是（）A2b-2aB2c
9、-2aC2bD0【变式6-2】（2023春浙江杭州八年级杭州外国语学校校考期末）已知三角形三条边的长度为3，x，9，化简：|x2|x13|_【变式6-3】（2023春八年级单元测试）已知a，b，c是ABC的三边长（1）若a，b，c满足，(a-b)2+|b-c|=0，试判断ABC的形状；（2）化简：|b-c-a|+|a-b+c|-|a-b-c|【题型7 应用三角形的三边关系解决线段的和差比较问题】【例7】（2023春八年级课时练习）如图，已知点O为ABC内任意一点，证明：AB+AC+BCOA+OB+OC【变式7-1】（2023春安徽宿州八年级校考期中）如图，D为ABC的边BC上一点，试判断2AD
10、与ABC的周长之间的大小关系，并加以证明【变式7-2】（2023春八年级统考课时练习）已知点O在ABC内部，连接OA，OB，OC，说明：12(AB+AC+BC)OA+OB+OCAB+AC+BC【变式7-3】（2023春全国八年级专题练习）观察并探求下列各问题：(1)如图，在ABC中，P为边BC上一点，则BPPC_ _ABAC(填“”“”或“”)(2)将(1)中的点P移到ABC内，得图，试观察比较BPC的周长与ABC的周长的大小，并说明理由(3)将(2)中的点P变为两个点P1，P2，得图，试观察比较四边形BP1P2C的周长与ABC的周长的大小，并说明理由【知识点4 三角形的稳定性】当三角形三边的
11、长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性这一特性主要应用在实际生活中.【题型8 三角形的稳定性】【例8】（2023春山东临沂八年级统考期中）在实际生活中，我们经常利用一些几何图形的稳定性或不稳定性，下列实物图中利用了稳定性的是（）A电动伸缩门 B升降台 C栅栏D窗户【变式8-1】（2023春广东梅州八年级校联考开学考试）如图，自行车的三角形支架，这是利用三角形具有_性【变式8-2】（2023春八年级单元测试）为使五边形木架（用5根木条钉成）不变形，哥哥准备如图那样再钉上两根木条，弟弟准备如图那样再钉上两根木条，哪种方法能使木架不变形？为什么？【变式8-3】（2023春贵州黔西八年级校考阶段练习）如图，六根木条钉成一个六边形框架ABCDEF，根据三角形的稳定性要使框架稳固且不活动，至少还需要添_根木条
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