1、柳州高中理科数学段考试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】解绝对值不等式求得集合，解一元二次不等式求得集合，由此求得两个集合的交集.【详解】由解得，由解得，故，故选B.【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查一元二次不等式的解法，考查两个集合的交集运算，属于基础题.2.若复数满足为虚数单位,则的虚部为（ ）A. B. 2C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用复数的除法运算化简的形式，由此求得的虚部.【详解】依题意，故虚部为，故选C.【点睛】本小题主要考查复
2、数的除法运算，考查复数虚部的概念，属于基础题.3.等差数列的前项和为，若，则（ ）A. B. 1C. D. 2【答案】A【解析】【分析】根据等差数列的性质化简已知条件，由此求得的值.【详解】依题意，故选A.【点睛】本小题主要考查等差数列性质的应用，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.4.已知随机变量服从正态分布，若，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】根据正态分布密度曲线的对称性可知，若，函数的对称轴是 ，所以，故选B.5.某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响部分统计数据如下表：使用智能手机不使用智能手机合计学习成绩优秀4812学习成绩不优秀16218合
3、计201030附表：经计算，则下列选项正确的是A有的把握认为使用智能手机对学习有影响B有的把握认为使用智能手机对学习无影响C有的把握认为使用智能手机对学习有影响D有的把握认为使用智能手机对学习无影响【答案】A【解析】根据附表可得k=107.879,所以有的把握认为使用智能手机对学习有影响，选A6.若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为()A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：由题意可知弦MN所在直线过点P（1，1），因此要求弦MN所在直线的方程只需求出直线的斜率即可。设圆的圆心为O,由直线MN与OP垂直就可求出直线MN的斜率。考点：本题考查直线方程的点斜式和斜率公式点评：直线与
4、圆往往结合到一块考查。我们要熟练掌握直线方程的五种形式，及每一种形式的特点和应用前提。例如直线方程的点斜式的特点是一点一斜率；应用前提是斜率存在。7.若将函数的图象向左平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小正值是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先得到，根据向左平移个单位得到的图象关于轴对称，求出的表达式，由此求得其最小正值.【详解】依题意，向左平移个单位得到，图象关于轴对称，故，解得，当时，取得最小正值，故选A.【点睛】本小题主要考查三角函数辅助角公式，考查三角函数图象变换，考查三角函数图象的对称性，属于中档题.8.新闻台做“一校一特色”访谈节目,分三期播出，期播出两
5、间学校,期，期各播出1间学校,现从8间候选学校中选出4间参与这三项任务,不同的选法共有（ ）A. 140种B. 420种C. 840种D. 1680种【答案】C【解析】【分析】从8间候选学校中选出4间，共有方法 种方法，4所选出2所，共有方法 种方法，再进行全排，共有方法种方法，利用乘法原理可得结论【详解】从8间候选学校中选出4间，共有方法种方法，4所选出2所，共有方法种方法，再进行全排，共有方法种方法，共有 种方法，故选：C【点睛】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查组合知识，属于中档题9.下列命题中，真命题的是（ ）A. B. C. 的充要条件是D. 若，且，则中至少有一个大于1【答案】
6、D【解析】【分析】利用全称命题和特称命题的定义判断A，利用充要条件和必要条件的定义判断利用反证法证明D【详解】解：A，根据指数函数的性质可知恒成立，所以A错误B.当时，所以B错误C.若时，无意义0，即充分性不成立，所以C错误D.假设x，y都小于1，则，所以与矛盾，所以假设不成立，所以D正确故选：D【点睛】本题主要考查命题的真假判断，考查充分、必要条件的判断，属于基础题.10.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是斜边长为2的直角三角形，俯视图是半径为1的四分之一圆周和两条半径，则这个几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据三视图判断出几何体的结构，
7、并由此求得几何体的体积.【详解】由三视图可知，该几何体为四分之一的圆锥，其体积为，故选C.【点睛】本小题主要考查三视图还原为原图，考查圆锥的体积计算公式，属于基础题.11.双曲线的顶点为两点，为双曲线上一点，直线交的一条渐近线于点，若的斜率分别为求双曲线的离心率（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设出点的坐标，根据已知条件得出和斜率之间的对应关系，由此求得的值，进而求得双曲线的离心率.【详解】设，由于，故，而，即，由于，故，化简得，由于在双曲线上，故，即，对比两个式子可知，故双曲线的离心率为，故选B.【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法，考查两直线垂直斜率的对应关系，考
8、查分析与解决问题的能力，属于中档题.12.若关于的不等式有正整数解，则实数的最小值为A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】A【解析】【分析】因为，结合条件整理得，令，结合单调性即可求解。【详解】因为，所以，同取对数得，因为，所以，即令，所以在（0，e）上单调递增，在上单调递减，因为，只需考虑和的大小关系，因，所以所以只需，即，故最小值为6.【点睛】本题考查利用导数求函数的极值问题，综合性较强，考查计算化简的能力，属中档题。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13.从，中任取2个不同的数，事件 “取到的两个数之和为偶数”，事件”取到的两个数均为偶数”，则_【答案】【解析】【分析】先求得事件所
9、包含的基本事件总数，再求得事件所包含的基本事件总数，由此求得的值.【详解】依题意，事件所包含的基本事件为共六种，而事件所包含的基本事件为共三种，故.【点睛】本小题主要考查条件概型的计算，考查列举法，属于基础题.14.已知，则_.【答案】16【解析】【分析】分别令和，代入二项式展开式，由此求得所求表达式的值.【详解】令得，令得，故.【点睛】本小题主要考查二项式展开式，考查赋值法，考查平方差公式，考查运算求解能力，属于中档题.15.如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入分别为14,18，则输出的等于_.【答案】2【解析】由a=14，b=18，a
10、b，则a变为144=10，由ab，则a变为104=6，由ab，则a变为64=2，由ab，则b变为42=2，由a=b=2，则输出的a=2.16.抛物线的焦点为，过准线上一点作的垂线交轴于点，若抛物线上存在点，满足，则的面积为_【答案】【解析】由可得为的中点，准线方程，焦点，不妨设点在第三象限，因为为直角，所以，由抛物线定义得轴，则可求得，即，所以.故答案为：.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知的内角的对边分别为，若.（1）若，求；（2）若且，求的面积.【答案】（1）；（2）2.【解析】【分析】根据正弦定理，将已知转化为.（1）先求得，然后利用余弦定理求得的值.（2）利用
11、余弦定理列方程，解方程求得的值，利用三角形面积公式求得三角形的面积.【详解】，由正弦定理可得，（1）由余弦定理，可得；（2），由勾股定理可得，.【点睛】本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查利用余弦定理解三角形，属于基础题.18.已知正项等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用等比数列的性质求得的值，进而求得，由此求得数列的通项公式.（2）利用错位相减求和法求得数列的前项和.【详解】（1）正项等比数列，；（2），两式相减可得.【点睛】本小题主要考查等比数列的性质，考查错位相减求和法，考查运算求解能力，属于中档题.19.如图
12、，已知多面体的底面是边长为2的菱形，底面，且（1）证明：直线平面；（2）证明：平面平面；（3）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）连接，交于，设中点为，连接，通过证明四边形是平行四边形，证得，由此证得平面.（2）通过证明，证得平面，由此证得平面，进而有平面平面.（3）以点或者点建立空间直角坐标系，通过平面和平面的法向量，计算二面角的余弦值.【详解】（1）证明：连接BD，交AC于点O，设PC中点为F，连接OF，EF.因为O，F分别为AC，PC的中点，所以，且，因，且，所以，且，所以四边形OFED为平行四边形，所以，即
13、，又平面，面，所以面；（2）因为平面，平面，所以.因为是菱形，所以.因为，所以平面，因为，所以平面 ，因为平面，所以平面平面 ；（3）解法1：因为直线与平面所成角为，所以，所以 ，所以，故为等边三角形.设BC的中点为M，连接AM，则.以A为原点，AM，AD，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系（如图）.则， ，设平面PCE的法向量为，则,即，令则所以 ，设平面CDE的法向量为，则即，令则所以 ，设二面角的大小为，由于为钝角，所以所以二面角的余弦值为 解法2：因为直线与平面所成角为，且平面，所以，所以 因为，所以为等边三角形因为平面，由（1）知，所以平面因为平面，平面，所以且在菱形中，以点
14、为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系（如图）则，则，设平面的法向量为，则即，令，则，则法向量 设平面的法向量为，则，即，令，则则法向量 设二面角的大小为，由于为钝角，则所以二面角的余弦值为【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，考查利用空间向量法求二面角的余弦值，考查运算求解能力，属于中档题.20.已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左，右顶点，为椭圆的右焦点，过的直线与椭圆交于不同的两点，当直线垂直于轴时，四边形的面积为.(1)求椭圆的方程；(2)若直线的斜率为，线段的垂直平分线与轴交于点,求证：为定值.【答案】（）；（）见解析.【解析】【分析】（）根据，可得，再根据离心率求出，
15、即可求出椭圆方程，（）由题意可知，直线的方程为，根据韦达定理和弦长公式求出，再求出直线的方程可得的坐标，即可求出，问题得以证明【详解】（）由：，令可得，则，则 ，可得，椭圆的方程为证明：（）由题意可知，直线的方程为，由，可得设，设的中点为，则，则的过程为，令，可得， ，为定值【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查根的判断式、韦达定理、弦长公式，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题21.今年年初，习近平在告台湾同胞书发表40周年纪念会上的讲话中说道：“我们要积极推进两岸经济合作制度化打造两岸共同市场，为发展增动力，为合作添活力，壮大中华民族经济两岸要应通尽通，提升经贸合作畅通、基础设施联
16、通、能源资源互通、行业标准共通，可以率先实现金门、马祖同福建沿海地区通水、通电、通气、通桥要推动两岸文化教育、医疗卫生合作，社会保障和公共资源共享，支持两岸邻近或条件相当地区基本公共服务均等化、普惠化、便捷化”某外贸企业积极响应习主席的号召，在春节前夕特地从台湾进口优质大米向国内100家大型农贸市场提供货源，据统计，每家大型农贸市场的年平均销售量（单位：吨），以分组的频率分布直方图如图（1）求直方图中的值和年平均销售量的众数和中位数；（2）在年平均销售量为的四组大型农贸市场中，用分层抽样的方法抽取11家大型农贸市场，求年平均销售量在，的农贸市场中应各抽取多少家？（3）在（2）的条件下，再从这三
17、组中抽取的农贸市场中随机抽取3家参加国台办的宣传交流活动，记恰有家在组，求随机变量的分布列与期望和方差【答案】（1）的值为0.0075，众数为230，中位数为224；（2）即年平均销售量在，的农贸市场中应各抽取3、2、1家；（3）详见解析.【解析】【分析】频率和为1，列方程即可求得，由图可直接求出众数，再由中位数定义列方程即可求出中位数。（2）求出各段的人数即可求得四个段内的人数总和，即可求得抽取比例，对应的抽取人数即可计算。（3）对分类计算对应的概率，即可列出分布列，由分布列列式求期望与方差【详解】解：由频率和为1，列方程:，得，直方图中的值为；年平均销售量的众数是，年平均销售量的中位数在内
18、，设中位数为，则，解得，即中位数为224；年平均销售量在的农贸市场有（家），同理可求年平均销售量，的农贸市场有15、10、5家，所以抽取比例为，从年平均销售量在的农贸市场中应抽取家，从年平均销售量在的农贸市场中应抽取家，从年平均销售量在的农贸市场中应抽取家；即年平均销售量在，的农贸市场中应各抽取3、2、1家；由知，从，的大型农贸市场中各抽取3家、2家、1家；所以的可能取值分别为0，1，2，3；则，的分布列为： 0123 数学期望为，方差为【点睛】本题主要考查了频率分布直方图，众数、中位数，分层抽样，概率，分布列与数学期望和方差的计算问题，考查方程思想，是中档题22.已知定义在区间上的函数，.（
19、）证明：当时，；（）若曲线过点的切线有两条，求实数的取值范围.【答案】(1)见证明；(2) 【解析】【分析】（1）利用导数求得函数单调性，可证得；（2）利用假设切点的方式写出切线方程，原问题转化为方程在上有两个解；此时可采用零点存在定理依次判断零点个数，得到范围，也可以先利用分离变量的方式，构造新的函数，然后讨论函数图像，得到范围.【详解】（1）证明：时， 在上递减，在上递增（2）当时，明显不满足要求；当时，设切点为（显然），则有，整理得由题意，要求方程在区间上有两个不同的实数解令 当即时，在上单调递增，在上单调递减或先单调递减再递增而，在区间上有唯一零点，在区间上无零点，所以此时不满足题要求
20、.当时， 在上单调递增不满足在区间上有两个不同的实数解当即时，上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.，在区间上有唯一零点，所以此时不满足题要求.当时，在上单调递减，在上单调递增，当即时，在区间上有唯一零点，此时不满足题要求.当即时，在区间和上各有一个零点设零点为，又这时显然在区间上单调递减，此时满足题目要求.综上所述，的取值范围是（2）解法二：设切点为由解法一的关于的方程在区间内有两解显然不是方程的解故原问题等价于在区间内有两解设，且则，且令，则又，；，故，；，从而，递增，递减令， 由于时，时故，；，而时，时，故在区间内有两解解得：【点睛】本题主要考查导数的几何意义、导数在研究函数中的应用.难点在于将原问题转化为方程根的个数的问题，此时根无法确切的得到求解，解决此类问题的方式是灵活利用零点存在定理，在区间内逐步确定根的个数.