1、专题13 根据平行线的性质与判定证明大题1如图，点B，C在线段的异侧，点E，F分别是线段，上的点，已知，(1)求证：；(2)若，求证：；(3)在（2）的条件下，若，求的度数【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）根据对顶角相等结合已知条件得出，根据内错角相等两直线平行即可证得结论；（2）根据对顶角相等结合已知得出，证得，即可得解；（3）根据平行线的性质和已知得出，最后根据平行线的性质即可求得【详解】（1）证明：，；（2）证明：，；（3）解：，【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记“内错角相等，两直线平行”、“同旁内角互补，两直线平行”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键2
2、如图，已知(1)求证：；(2)若平分，交于点，交于点，且，求的度数【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据平行线的性质及等量代换得出，即可判定；（2）过点作，根据平行公理得出，根据平行线的性质及角平分线定义得到，根据三角形外角性质求解即可【详解】（1）证明：，；（2）解：如图，过点作，平分，【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟记平行线的判定与性质是解题的关键3如图，在同一条直线上，ACEF，(1)求证：ABDC(2)若，求的长【答案】(1)见解析(2)4【分析】（1）根据平行线的性质得到ACD=F，进而推出ACD=A，即可证明；（2）利用AAS证明ABGCDG，得到BG
3、=DG=6，据此求解即可【详解】（1）解：，ACD=F，A=F，ACD=A，；（2）解：在和中，【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟知平行线的性质与判定条件，全等三角形的性质与判定条件是解题的关键4已知，直线ABDC，点P为平面上一点，连接AP与CP(1)如图1，点P在直线AB、CD之间，当BAP60，DCP20时，求APC(2)如图2，点P在直线AB、CD之间，BAP与DCP的角平分线相交于点K，写出AKC与APC之间的数量关系，并说明理由(3)如图3，点P落在CD外，BAP与DCP的角平分线相交于点K，AKC与APC有何数量关系？并说明理由【答案】(1)AP
4、C=80；(2)AKCAPC，理由见解析(3)AKCAPC，理由见解析【分析】（1）先过P作PEAB，根据平行线的性质即可得到APE=BAP，CPE=DCP，再根据APC=APE+CPE=BAP+DCP进行计算即可；（2）过K作KEAB，根据KEABCD，可得AKE=BAK，CKE=DCK，进而得到AKC=AKE+CKE=BAK+DCK，同理可得，APC=BAP+DCP，再根据角平分线的定义，得出BAK+DCK=BAP+DCP=（BAP+DCP）=APC，进而得到AKC=APC；（3）过K作KEAB，根据KEABCD，可得BAK=AKE，DCK=CKE，进而得到AKC=AKE-CKE=BAK-
5、DCK，同理可得，APC=BAP-DCP，再根据角平分线的定义，得出BAK-DCK=BAP-DCP=（BAP-DCP）=APC，进而得到AKC=APC（1）解：如图1，过P作PEAB，ABCD，PEABCD，APE=BAP，CPE=DCP，APC=APE+CPE=BAP+DCP=60+20=80；（2）解：AKC=APC 理由：如图2，过K作KEAB，ABCD，KEABCD，AKE=BAK，CKE=DCK，AKC=AKE+CKE=BAK+DCK，过P作PFAB，同理可得，APC=BAP+DCP，BAP与DCP的角平分线相交于点K，BAK+DCK=BAP+DCP=（BAP+DCP）=APC，AK
6、C=APC；（3）解：AKC=APC理由：如图3，过K作KEAB，ABCD，KEABCD，BAK=AKE，DCK=CKE，AKC=AKE-CKE=BAK-DCK，过P作PFAB，同理可得，APC=BAP-DCP，BAP与DCP的角平分线相交于点K，BAK-DCK=BAP-DCP=（BAP-DCP）=APC，AKC=APC【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行计算5如图，AB/CD，点E、F分别在直线AB、CD上，点O在直线AB、CD之间，EOF100(1)求BEODFO的值；(2)如图2，直线MN交BEO、
7、CFO的角平分线分别于点M、N，求EMNFNM的值；(3)如图3，EG在AEO内，AEGnOEG，FK在DFO内，DFK nOFK，直线MN交FK、EG分别于点M、N，若FMNENM50，则n的值是_【答案】(1)BEO+DFO=260；(2)EMN-FNM的值为40；(3)【分析】（1）过点O作OPAB，易得ABOPCD，利用平行线的性质可求解；（2）过点M作MKAB，过点N作NHCD，延长FO交AB于点Q，由角平分线的定义可设BEM=OEM=x，CFN=OFN=y，由三角形的外角性质可求x-y=40，进而求解；（3）设直线FK与EG交于点H，FK与AB交于点K，根据平行线的性质即三角形外角
8、的性质及FMN-ENM=50，可得KFD-AEG=50，结合AEG=nOEG，DFK=nOFK，BEO+DFO=260，可得AEG+AEG+180-KFD-KFD=100，即可得关于n的方程，计算可求解n值（1）证明：过点O作OPAB，ABCD，ABOPCD，BEO+EOP=180，DFO+FOP=180，BEO+EOP+DFO+FOP=360，即BEO+EOF+DFO=360，EOF=100，BEO+DFO=260；（2）解：过点M作MKAB，过点N作NHCD，延长FO交AB于点Q，EM平分BEO，FN平分CFO，设BEM=OEM=x，CFN=OFN=y，ABCD，EOF=100，BQF=C
9、OF=2y，EOQ=180-100=80，BEO=BQF+EOQ，2x=2y+80，x-y=40，MKAB，NHCD，ABCD，ABMKNHCD，EMK=BEM=x，HNF=CFN=y，KMN=HNM，EMN-FNM=EMK+KMN-（HNM+HNF）=x+KMN-HNM-y=x-y=40，故EMN-FNM的值为40；（3）解：如图，设直线FK与EG交于点H，FK与AB交于点K，ABCD，AKF=KFD，AKF=EHK+HEK=EHK+AEG，KFD=EHK+AEG，EHK=NMF-ENM=50，KFD=50+AEG，即KFD-AEG=50，AEG=nOEG，FK在DFO内，DFK=nOFKC
10、FO=180-DFK-OFK=180-KFD-KFD，AEO=AEG+OEG=AEG+AEG，BEO+DFO=260，AEO+CFO=100，AEG+AEG+180-KFD-KFD=100，即(1+)(KFDAEG)80，(1+)5080，解得n=故答案为：【点睛】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，灵活运用平行线的性质是解题的关键6已知，直线PQMN，点C是直线PQ和MN之间的一点(1)如图1，点D，E分别在PQ，MN上，1和2为锐角，求证：C=1+2；(2)把一块三角板ABC（其中A=30，C=90）按如图2放置，点D，E分别是三角板的两直角边分别与平行线的交点，若AEN=A，求BD
11、Q的度数；(3)如图3，将（2）中的三角板进行适当的转动，把射线EM沿直线AC翻折，交BC于点F，试判断BDQ和FEN有何数量关系?写出你的结论并说明理由【答案】(1)见解析(2)60(3)BDQ，理由见解析【分析】1）过C作CHPQ，依据平行线的性质，即可得出C12；（2）根据（1）中的结论可得，CMECPDC90，再根据对顶角相等即可得出结论；（3）根据邻补角的定义以及翻折的性质，可得，由（1）的结论可得CMECPDC90，再根据对顶角相等即可得出结论（1）如图1，过C作CHPQ，PQMN，CHMN，1DCH，2ECH，DCEDCHECH12（2）AENA30，MEC30，由（1）可得，C
12、MECPDC90，PDC90MEC60，BDQPDC60；（3）BDQ，理由如下射线EM沿直线AC翻折，交BC于点F，即CMECPDC90，BDQPDCBDQ【点睛】本题主要考查了平行线的性质，以及翻折的性质，对顶角相等，邻补角的定义等知识的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行求解7已知：直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，H，并且AGE+DHE180（1）如图1，求证：ABCD；（2）如图2，点M在直线AB，CD之间，连接GM，HM，求证：MAGM+CHM；（3）如图3，在（2）的条件下，射线GH是BGM的平分线，在MH的延长线上取点N，连接GN，
13、若NAGM，MN+FGN，求MHG的度数【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）60【分析】（1）根据已知条件和对顶角相等即可证明；（2）如图2，过点M作MRAB，可得ABCDMR进而可以证明；（3）如图3，令AGM2，CHM，则N2，M2+，过点H作HTGN，可得MHTN2，GHTFGN2，进而可得结论【详解】（1）证明：如图1，AGE+DHE180，AGEBGFBGF+DHE180，ABCD；（2）证明：如图2，过点M作MRAB，又ABCD，ABCDMRGMRAGM，HMRCHMGMHGMR+RMHAGM+CHM（3）解：如图3，令AGM2，CHM，则N2，M2+，射线GH是BGM的平分
14、线，AGHAGM+FGM2+9090+，FGN2，过点H作HTGN，则MHTN2，GHTFGN2，GHMMHT+GHT2+2，CHGCHM+MHT+GHT+2+22+3，ABCD，AGH+CHG180，90+2+3180，+30，GHM2（+）60【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，对顶角的性质，角平分线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质8如图1，FBD90，EBEF，CBCD（1）求证：EFCD；（2）如图2所示，若将EBF沿射线BF平移，即EGBC，FBD90，EGEF，CBCD，请问（1）中的结论是否仍成立？请证明【答案】（1）详见解析；（2）成立，证明详见解析【分析】（1
15、）连接FD，根据等腰三角形的性质和平角的定义得出EFB+CDB90，根据直角三角形两锐角互余得出BFD+BDF90，进一步得出EFD+CDF180，即可证得EFCD；（2）连接FD，延长CB到H，根据平移的性质，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余的性质证得EFD+CDF180，即可证得EFCD【详解】解：（1）证明：如图1，连接FD，EBEF，CBCD，EBFEFB，CBDCDB，FBD90，EBF+CBD90，BFD+BDF90，EFB+CDB90，EFD+CDF180，EFCD；（2）成立，证明：如图2，连接FD，延长CB到H，EGBC，EGFHBF，FBD90，HBF+CBD90，B
16、FD+BDF90，EGF+CBD90，EGEF，CBCD，EGFEFB，CBDCDB，EFB+CDB90，EFD+CDF180，EFCD【点睛】本题考查了平移的性质，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余的性质，平行线的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键9已知，直线，点为平面上一点，连接与（1）如图1，点在直线、之间，当，时，求（2）如图2，点在直线、之间左侧，与的角平分线相交于点，写出与之间的数量关系，并说明理由（3）如图3，点落在下方，与的角平分线相交于点，与有何数量关系？并说明理由【答案】（1）；（2），见详解；（3），见详解【分析】（1）过点P作，根据平行线的性质得到，再根据计算
17、即可；（2）过K作，根据平行线的性质和角平分线的定义可得出与的数量关系；（3）过K作，根据平行线的性质和角平分线的定义可得出与的数量关系【详解】（1）（如图1，过点P作（2）如图2，过K作 过点P作同理可得与的角平分线相交于点K（3）如图3，过K作过点P作同理可得与的角平分线相交于点K【点睛】本题考查了平行线的性质和角平分线的定义，解题的关键是作出平行线构造内错角相等计算10已知：，点在直线上，点在直线上（1）如图，若，求的度数；试判断与的位置关系，并说明理由；（2）如图，平分，平分，试探究与的数量关系，并说明理由【答案】（1），见解析；（2），见解析.【分析】(1)根据平行线的性质和判定解答
18、即可；(2)利用角平分线的定义和平行线的性质解答即可【详解】解：（1），；位置关系是：理由：由知，（内错角相等，两直线平行）（2）关系是：理由：平分，平分，由可得：，【点睛】此题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，解题关键在于掌握各性质定义.11已知直线ABCD，（1）如图1，直接写出BME、E、END的数量关系为 ；（2）如图2，BME与CNE的角平分线所在的直线相交于点P，试探究P与E之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，ABM=MBE，CDN=NDE，直线MB、ND交于点F，则 = 【答案】(1) E=ENDBME； (2) E+2NPM=180；（3）【分析】（1）根据平行
19、线的性质和三角形外角定理即可解答.（2）根据平行线的性质，三角形外角定理，角平分线的性质即可解答.（3）根据平行线的性质和三角形外角定理即可解答.【详解】解：（1）如图1，ABCD，END=EFB，EFB是MEF的外角，E=EFBBME=ENDBME，故答案是：E=ENDBME；（2）如图2，ABCD，CNP=NGB，NPM是GPM的外角，NPM=NGB+PMA=CNP+PMA，MQ平分BME，PN平分CNE，CNE=2CNP，FME=2BMQ=2PMA，ABCD，MFE=CNE=2CNP，EFM中，E+FME+MFE=180，E+2PMA+2CNP=180，即E+2（PMA+CNP）=180
20、，E+2NPM=180；（3）如图3，延长AB交DE于G，延长CD交BF于H，ABCD，CDG=AGE，ABE是BEG的外角，E=ABEAGE=ABECDE，ABM=MBE，CDN=NDE，ABM=ABE=CHB，CDN=CDE=FDH，CHB是DFH的外角，F=CHBFDH=ABECDE=（ABECDE），由代入，可得F=E，即.故答案是：12如图1，E点在BC上，AD，ACB+BED180(1)求证：ABCD；(2)如图2，ABCD，BG平分ABE，与EDF的平分线交于H点，若DEB比DHB大60，求DEB的度数(3)保持（2）中所求的DEB的度数不变，如图3，BM平分EBK，DN平分CD
21、E，作BPDN，则PBM的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由【答案】(1)见解析(2)100(3)PBM的度数不变，理由见解析【分析】（1）如图1，延长DE交AB于点F，根据ACB+BED180，CED+BED180，可得ACBCED，所以ACDF，可得ADFB，又AD，进而可得结论；（2）如图2，作EMCD，HNCD，根据ABCD，可得ABEMHNCD，根据平行线的性质得角之间的关系，再根据DEB比DHB大60，列出等式即可求DEB的度数；（3）如图3，过点E作ESCD，设直线DF和直线BP相交于点G，根据平行线的性质和角平分线定义可求PBM的度数【详解】（1）证明：如图1，延
22、长DE交AB于点F，ACB+BED180，CED+BED180，ACBCED，ACDF，ADFB，AD，DFBD，ABCD；（2）如图2，作EMCD，HNCD，ABCD，ABEMHNCD，1+EDF180，MEBABE，BG平分ABE，ABGABE，ABHN，2ABG，CFHN，2+3，ABE+3，DH平分EDF，3EDF，ABE+EDF，（EDFABE），EDFABE2，设DEB，1+MEB180EDF+ABE180（EDFABE）1802，DEB比DHB大60，60，1802（60），解得100，DEB的度数为100；（3）PBM的度数不变，理由如下：如图3，过点E作ESCD，设直线DF和
23、直线BP相交于点G，BM平分EBK，DN平分CDE，EBMMBKEBK，CDNEDNCDE，ESCD，ABCD，ESABCD，DESCDE，BESABE180EBK，GPBK，由（2）可知：DEB100，CDE+180EBK100，EBKCDE80，BPDN，CDNG，PBKGCDNCDE，PBMMBKPBKEBKCDE（EBKCDE）8040【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质13已知：如图（1）直线AB、CD被直线MN所截，12（1）求证：ABCD；（2）如图（2），点E在AB，CD之间的直线MN上，P、Q分别在直线AB、CD上，连接PE、EQ，
24、PF平分BPE，QF平分EQD，则PEQ和PFQ之间有什么数量关系，请直接写出你的结论；（3）如图（3），在（2）的条件下，过P点作PHEQ交CD于点H，连接PQ，若PQ平分EPH，QPF：EQF1：5，求PHQ的度数【答案】（1）见解析；（2）PEQ+2PFQ360；（3）30【分析】（1）首先证明13，易证得AB/CD；（2）如图2中，PEQ+2PFQ360作EHAB理由平行线的性质即可证明；（3）如图3中，设QPFy，PHQxEPQz，则EQFFQH5y，想办法构建方程即可解决问题；【详解】（1）如图1中，23，12，13，ABCD（2）结论：如图2中，PEQ+2PFQ360理由：作EH
25、ABABCD，EHAB，EHCD，12，34，2+31+4，PEQ1+4，同法可证：PFQBPF+FQD，BPE2BPF，EQD2FQD，1+BPE180，4+EQD180，1+4+EQD+BPE2180，即PEQ+2(FQD+BPF)=360，PEQ+2PFQ360（3）如图3中，设QPFy，PHQxEPQz，则EQFFQH5y，EQPH，EQCPHQx，x+10y180，ABCD，BPHPHQx，PF平分BPE，EPQ+FPQFPH+BPH，FPHy+zx，PQ平分EPH，Zy+y+zx，x2y，12y180，y15，x30，PHQ30【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义等知识（2）中能正确作出辅助线是解题的关键；（3）中能熟练掌握相关性质，找到角度之间的关系是解题的关键
