1、宁夏石嘴山市第三中学2020届高三数学一模考试试题 文（含解析）第卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项涂在答题卡的相应位置上.）1.设全集，集合，则集合( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据集合补集与交集定义求结果.【详解】 ， 所以 故选B【点睛】本题考查集合补集与交集定义，考查基本求解能力，属基本题.2.已知是虚数单位，复数的共轭复数是（ ）A. B. C. 1D. -1【答案】B【解析】【分析】先把复数化简，然后可求它的共轭复数.【详解】因为,所以共轭复数就是.故选：
2、B.【点睛】本题主要考查复数的运算及共轭复数的求解，把复数化到最简形式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.3.某中学有高中生人，初中生人，男、女生所占的比例如下图所示.为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为的样本，已知从高中生中抽取女生人，则从初中生中抽取的男生人数是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：首先确定分层抽样的抽取比例，然后求解初中生中抽取的男生人数即可.详解：因为分层抽样的抽取比例为，所以初中生中抽取的男生人数是人.本题选择A选项.点睛：进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1) ；(2)总体中某两层的个体数之比样本中这
3、两层抽取的个体数之比4.向量满足，则向量与的夹角为（）A. 45B. 60C. 90D. 120【答案】C【解析】试题分析：设向量与的夹角为，化为，故选C考点：平面向量数量积的运算5.将函数的图像上的所有点向右平移个单位长度，得到函数的图像，若的部分图像如图所示，则函数的解析式为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据图象求出A，和的值，得到g（x）的解析式，然后将g（x）图象上的所有点向左平移个单位长度得到f（x）的图象【详解】由图象知A1，（），即函数的周期T，则，得2，即g（x）sin（2x+），由五点对应法得22k+，k,得，则g（x）sin（2x），将g（x）图象上的所
4、有点向左平移个单位长度得到f（x）的图象，即f（x）sin2（x）sin（2x）=，故选C【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求解，结合图象求出A，和的值以及利用三角函数的图象变换关系是解决本题的关键6.按照如图的程序框图执行，若输出结果为15，则M处条件为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】运行程序：S=0,k=1;S=1,k=2;S=3,k=4;S=7,k=8;S=15,k=16,此时退出循环，所以，故选A.点睛：该题考查的是有关程序框图的问题，该题属于补充条件的问题，在求解的过程中，注意数列的项的大小，以及项之间的关系，从而求得正确结果.7.已知函数是偶函数，则在上此函数A
5、. 是增函数B. 不是单调函数C. 是减函数D. 不能确定【答案】A【解析】【分析】先由函数为偶函数求得，进而由抛物线的性质可得解.【详解】因为函数是偶函数，所以函数图像关于轴对称，即，解得.所以为开口向下的抛物线，所以在上函数单调递增.故选A.【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的性质及二次函数的单调性，属于基础题.8.函数的零点是和，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先由韦达定理得到，再由两角和的正切公式得到结果.【详解】因为的零点是和，所以，是方程的两个根，根据韦达定理得到,再由两角和的正切公式得到:.故选B.【点睛】本题考查了二次方程的根，以及韦达定理的应用，涉及正
6、切函数的两角和的公式的应用，属于基础题.9. 下列三句话按三段论模式排列顺序正确的是（ ） 2013不能被2整除； 一切奇数都不能被2整除； 2013是奇数；A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】试题分析：根据三段论”的排列模式：“大前提”“小前提”“结论”大前提是一切奇数都不能被2整除；小前提是2013是奇数，得到结论为2013不能被2整除，故选C.考点：演绎推理的基本方法点评：本题考查的知识点是演绎推理的基本方法：大前提一定是一个一般性的结论，小前提表示从属关系，结论是特殊性结论10.如图，正方体中，为底面的中心，为棱的中点，则下列结论中错误的是（ ）A. 平面B. 平面C.
7、异面直线与所成角D. 与底面所成角为【答案】D【解析】【分析】根据线面平行的判定定理可证明A正确；根据线面垂直的判定定理可证明B正确；易证并结合异面直线所成的角的定义可得C正确；根据过一点有且仅有一条直线与已知平面垂直可得D错误【详解】对A，连结交于，则为的中点，连结因为，所以四边形是平行四边形，所以，又，分别为，的中点，所以，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，故A正确对B，连结，设正方体的棱长为，则，所以在中，所以，又为等边三角形，为中点，所以，又，平面，所以平面，故B正确对C，因为，所以四边形是平行四边形，所以，所以(或其补角)即为异面直线与所成角，因为为等边三角形，所
8、以，所以异面直线与所成角为，故C正确对D，因为平面，又过一点有且仅有一条直线与已知平面垂直，故不与平面垂直，故D错误故选：D【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理及异面直线所成的角的求法11.若双曲线的渐近线与圆相离，则其离心率的取值范围是A. B. C. D. 【答案】C【解析】双曲线的渐近线是，圆的圆心是，半径是，依题意，有，即化简得，即.故选C.12.某同学为研究函数，()的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形和，点是边上的一个动点，设，则.函数的零点的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】A【解析】【分析】函数的值域即为图中的取值范围，通过分析点
9、在线段上的运动可得到的范围为，而函数的零点的个数即为方程的解的个数，而，从而可得函数的零点个数为0【详解】由题意可知，函数的值域即为图中的取值范围，通过图形可知点在线段运动时，当三点共线时，此时在中点，取得最小值；当在中点处向(或)运动的时，逐渐增大，当到达(或)处时，达到最大值，理由如下：因为，()，所以，令，即，两边同时平方整理得，解得，所以函数的值域，函数的零点的个数即为方程的解的个数，而，所以函数的零点的个数是故选：A【点睛】本题主要考查函数零点的个数问题及函数模型的应用，考查数形结合思想第卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.设抛物线上一点到
10、轴的距离是,则点到该抛物线焦点的距离是_【答案】【解析】试题分析：如图，作垂直抛物线的准线于，则，由抛物线的定义得点到该抛物线焦点的距离考点：考查抛物线的定义及其几何性质14.某商店统计了最近个月某商品的进份与售价（单位：元）的对应数据如表：假设得到的关于和之间的回归直线方程是，那么该直线必过的定点是_.【答案】【解析】分析】根据回归方程必过点（），计算出即可求得答案【详解】，8，回归方程必过点（），该直线必过的定点是故答案为【点睛】本题考查了回归方程，线性回归方程必过样本中心点（），属于基础题15.在三棱锥中，平面平面，是边长为6的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表
11、面积为_【答案】【解析】【分析】在等边三角形中，取的中点，设其中心为，则，再利用勾股定理可得，则为棱锥的外接球球心，利用球的表面积公式可得结果.【详解】如图，在等边三角形中，取的中点，设其中心为，由，得，是以为斜边的等腰角三角形，,又因为平面平面，平面 ，则为棱锥的外接球球心，外接球半径，该三棱锥外接球的表面积为，故答案为.【点睛】本题考查主要四面体外接球表面积，考查空间想象能力，是中档题. 要求外接球的表面积和体积，关键是求出球的半径，求外接球半径的常见方法有：若三条棱两垂直则用（为三棱的长）；若面（），则（为外接圆半径）；可以转化为长方体的外接球；特殊几何体可以直接找出球心和半径.16.九
12、章算术“勾股”章有一题：“今有二人同立.甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何.”大意是说：“已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇.甲、乙各走了多少步.”请问乙走的步数是_.【答案】【解析】【分析】设甲、乙相遇时经过的时间为，根据已知画出图形，由勾股定理列出方程，即可求出，进而可求出乙走的步数【详解】设甲、乙相遇时经过的时间为，则甲、乙走过的路程分别为，如图：所以，,，在中，由勾股定理，得，即，解得或(舍去)，所以，即乙走的步数是故答案：【点睛】本题主要考查解三角形，关键
13、是抓住相遇时时间相等，并且能根据题意画出图形，利用勾股定理列出方程求出相遇时的时间三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.公差不为0的等差数列，为的等比中项，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.【答案】（1）；（2），.【解析】【分析】(1)根据等比中项的性质与等差数列的基本量法求解即可.(2)利用分组求和与等差等比数列的求和公式求解即可.【详解】(1)设等差数列的公差为则因为为,的等比中项,故,化简得.又故.故,.即.(2) ,故.【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量求解与分组求和、等差等比数列的公式求和等.属于基础题.18
14、.2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了100人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占，而男生有10人表示对冰球运动没有兴趣额（1）完成列联表，并回答能否有的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？有兴趣没兴趣合计男55女合计（2）已知在被调查的女生中有5名数学系的学生，其中3名对冰球有兴趣，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至少有2人对冰球有兴趣的概率附表：0.1500.1000.0500.0250.0102.0722.7063.8415.024
15、6.635【答案】（1）有（2）【解析】【分析】（1）根据题中数据得到列联表，然后计算出，与临界值表中的数据对照后可得结论（2）由题意得概率为古典概型，根据古典概型概率公式计算可得所求【详解】（1）根据已知数据得到如下列联表有兴趣没有兴趣合计男451055女301545合计7525100由列联表中的数据可得因为，所以有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关” (2)记5人中对冰球有兴趣的3人为A、B、C，对冰球没有兴趣的2人为m、n，则从这5人中随机抽取3人，所有可能的情况为：（A,m,n）,（B,m,n）,（C,m,n）,（A,B,m）,（A,B,n）,（B,C,m）,（B,C,n）,
16、（A,C,m）,（A,C,n）,（A,B,C），共10种情况， 其中3人都对冰球有兴趣的情况有（A,B,C），共1种，2人对冰球有兴趣的情况有（A,B,m）,（A,B,n）,（B,C,m）,（B,C,n）,（A,C,m）,（A,C,n），共6种， 所以至少2人对冰球有兴趣的情况有7种，因此，所求概率为【点睛】由于独立性检验有其独特的作用，其原理不难理解和掌握，但解题时需要注意计算的准确性和判断的正确性，对独立性检验的考查多以解答题的形式出现，一般为容易题，多与概率、统计等内容综合命题19.如图，已知三棱锥的平面展开图中，四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中：（）证明：平面平面；
17、（）求三棱锥的表面积和体积.【答案】（）详见解析（）表面积，体积【解析】【分析】（）由题意知和为等腰三角形，可取AC中点O，连接PO,OB，可证明平面然后利用面面垂直的判定定理即可得到证明；（）求各个面的面积之和即可到棱锥的表面积，由平面，利用棱锥的体积公式计算即可得到答案.【详解】解：（）设的中点为，连接，.由题意，得，.因为在中，为的中点，所以.因为在中，所以.因为，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面.（）三棱锥的表面积 ，由（）知，平面，所以三棱锥的体积为 .【点睛】本题考查线面垂直，面面垂直判定定理的应用，考查棱锥的表面积和体积的计算，考查学生的空间想象能力和计算能力.20.若椭圆
18、（）的顶点到直线的距离分别为和(1)求椭圆的标准方程；(2)设平行于的直线交于，两点，且，求直线的方程【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】(1)根据直线的方程可知直线与两坐标轴的夹角均为，可得，即可求出，从而求出椭圆的标准方程；(2)设，直线的方程为，由，可得，将直线的方程与椭圆的方程联立消去，利用根与系数的关系求出，代入即可求出，进而求出直线的方程【详解】(1)由直线：可知其与两坐标轴的夹角均为，故长轴端点到直线的距离为，短轴端点到直线的距离为，所以，解得，所以椭圆的标准方程为；(2)设直线：（），由，整理得，则，解得，设，则，故，因为，即，解得，满足且，所以直线的方程为或.【点睛】本
19、题主要考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，第(2)问关键是将转化为并结合根与系数的关系求出，采用了设而不求的方法21.已知函数.（1）求函数在点处的切线方程；（2）证明：.【答案】（1）（2）详见解析【解析】【分析】(1)对函数求导后由几何意义求出函数在点处的切线方程(2)由导数可知存在极小值点，即最小值，下证【详解】（1），又由题意得，所以，即切线方程为.（2）证明：由（1）知，易知在区间单调递增，且，所以，使得，即有唯一的根，记为，则，对两边取对数，得整理得，因为时，函数单调递减，时，函数单调递增，所以.当且仅当，即时，等号成立，因为，所以，即.【点睛】本题考查了运用几何意义求函数的
20、切线方程，在求解不等式时要求出函数的最小值，由导数求得极值点，代入化简运用不等式求出结果，属于中档题请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.22.在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数）（1）以原点为极点、轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆的极坐标方程；（2）已知，圆上任意一点，求面积的最大值【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）消去参数，将圆的参数方程，转化为普通方程，利用求得圆的极坐标方程.（2）利用圆的参数方程以及点到直线的距离公式，求得到直线的距离，由此求得三角形的面积的表达式，再由三角函数最值的求法，
21、求得三角形面积的最大值.【详解】解：（1）圆的参数方程为（为参数），所以其普通方程为，所以圆的极坐标方程为.（2）点到直线：的距离，故的面积，所以面积的最大值为.【点睛】本小题主要考查参数方程转化为普通方程，考查直角坐标方程转化为转化为极坐标方程，考查利用参数的方法求三角形面积的最值，考查点到直线距离公式，属于中档题.23.选修4-5：不等式选讲设函数，（）求不等式的解集；（）若，恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（I）利用零点分段法去绝对值，将函数化为分段函数，由此求得不等式的解集为；（II）由（I）值，函数的最小值为，即，由此解得.试题解析：（I），当，当，当，综上所述.（II）易得，若，恒成立，则只需，综上所述.考点：不等式选讲