1、第13讲 几何初步与平行线（精讲）1. 通过实物和具体模型，了解从物体抽象出来的几何体、平面、直线和点等。2. 会比较线段的长短，理解线段的和、差，以及线段中点的意义3. 掌握基本事实：两点确定一条直线4. 掌握基本事实：两点之间线段最短5. 理解两点间距离的意义，能度量两点间的距离6. 理解角的概念，能比较角的大小7. 认识度、分、秒，会对度、分、秒进行简单的换算，并会计算角的和、差8. 理解对顶角的概念、探索并掌握对顶角的性质9. 理解互为余角和补角的概念10. 探索并掌握同角（等角）余角、补角的性质11. 理解垂线、垂线段等概念，能用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线12. 理解点到直
2、线的距离的意义，能度量点到直线的距离13. 掌握基本事实：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直14. 识别同位角、内错角、同旁内角15. 理解平行线概念16. 掌握基本事实：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行17. 掌握基本事实：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行18. 掌握平行线的性质定理：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等19. 能用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线20. 探索并证明平行线的判定定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等（或同旁内角互补），那么两直线平行21. 探索并证明平行线的性质定理：两条平行直线被第三条直线所截
3、，内错角相等（或同旁内角互补）22. 了解平行于同一条直线的两条直线平行简单； 易错； 中等； 难； 压轴第13讲 几何初步与平行线（精讲）1考点1：直线与线段3考点2：角及相交线的相关计算13考点3：垂线及其性质23考点4：平行线的性质及其判定31课堂总结：思维导图48分层训练：课堂知识巩固50考点1：直线与线段基本事实（1）直线的基本事实：经过两点有且只有一条直线（2）线段的基本事实：两点之间，线段最短 【例题精析1】 直线、线段与射线轩轩同学带领自己的学习小组成员预习了“线段、射线、直线”一节的内容后，对图展开了讨论，下列说法不正确的是A直线与直线是同一条直线B射线与射线是同一条射线C射
4、线与射线是同一条射线 D线段与线段是同一条线段【分析】根据直线、线段、射线的有关内容逐个判断即可【解答】解：、直线与直线是同一条直线，原说法正确，故本选项不符合题意；、射线与射线不一定是同一条射线，原说法错误，故本选项符合题意；、射线与射线是同一条射线，原说法正确，故本选项不符合题意；、线段与线段是同一条线段，原说法正确，故本选项不符合题意；故选：【点评】本考查了直线、线段、射线的有关内容，能熟记直线、线段、射线的定义和表示方法是解此题的关键【例题精析2】 直线的基本事实如图，从地到地有三条路线，由上至下依次记为路线、，则从地到地的最短路线是，其中蕴含的数学道理是A两点确定一条直线 B两点之间
5、，线段最短 C经过一点有无数条直线D直线比曲线短【分析】根据线段的性质，可得答案【解答】解：从地到地的最短路线是，其中蕴含的数学道理是两点之间线段最短，故选：【点评】本题考查了线段的性质，熟记两点之间，线段最短是解题关键【例题精析3】 线段的计算已知直线上有，三点，其中，则或【分析】分类讨论：当点当点在线段上，；当点在线段的延长线上，然后把，分别代入计算即可【解答】解：当点当点在线段上，；当点在线段的延长线上，所以的长为或故答案为或【点评】本题考查了两点间的距离：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离也考查了分类讨论思想的运用【例题精析4】 线段的计算线段，延长到点，使，反向延长到点，使为的中点
6、，则线段的长为 【分析】根据题意分别求出、的长，计算即可【解答】解：如图，为的中点，故答案为：【点评】本题考查的是两点间的距离的计算，正确理解题意、根据题意画出图形、灵活运用数形结合思想是解题的关键【例题精析5】 线段的计算点是线段的中点，点是线段的中点，点是直线上一点，若，则14或10【分析】根据题意分为两种情况：根据题意画图，如图1，由已知条件，可得的长度，由是线段的中点，点是线段的中点，可得和的长度，根据代入计算即可得出答案；根据题意画图，如图1，由已知条件，可得的长度，由是线段的中点，点是线段的中点，可得和的长度，根据代入计算即可得出答案【解答】解：根据题意画图，如图1，是线段的中点，
7、点是线段的中点，；根据题意画图，如图2，是线段的中点，点是线段的中点，故答案为：14或10【点评】本题主要考查了两点间的距离，熟练掌握两点间的距离计算方法进行求解是解决本题的关键【对点精练1】 直线、射线、线段在下列生活现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是A用一个钉子把一根细木条钉在木板上，用手拔木条，木条能转动B植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上C把弯曲的公路改直，就能缩短路程D把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线【分析】直接利用直线的性质以及线段的性质分析得出答案【解答】解：、用一个钉子把一根细木条钉在木板上，用手拔木条，木条能转动，不可以用基
8、本事实“两点确定一条直线”来解释，故此选项不符合题意；、植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释，故此选项不符合题意；、把弯曲的公路改直，就能缩短路程，可以用基本事实“两点之间线段最短”来解释，故此选项不符合题意；、把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线，可以用基本事实“无数个点组成线”来解释，故此选项不符合题意故选：【点评】此题主要考查了直线的性质以及线段的性质，正确把握相关性质是解题关键【对点精练2】 线段的计算如图，已知线段，点为线段上的一点，点，分别为线段，的中点若，则线段的长为 7【分析】根据线段中点的性质，可得、的长，
9、根据线段的和差，可得的长【解答】解：由点是线段的中点，点是线段的中点，得，由线段的和差，得，故答案为：【点评】本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质，线段的和差【对点精练3】 线段的计算已知点是直线上一点，且，若，则7或17.5【分析】分两种情况讨论：当点在之间时；当点在的延长线上时；分别求解即可【解答】解：当点在之间时，如图1，；当点在的延长线上时，如图2，设，；故答案为：7或17.5【点评】本题考查两点间的距离，能够根据题意画出符合条件的图形，分类讨论，数形结合是解题的关键【对点精练4】 线段的计算已知线段，若是的三等分点，是的中点，则线段的长度为 或【分析】根据是的三等分点，可得的
10、长，再根据线段中点的性质，可得答案【解答】解：由线段，若是的三等分点，得，或当时，由是的中点，得；当时，由是的中点，得；故答案为：或【点评】本题考查了两点间的距离，利用了三等分点的性质：距点近的三等分点，距点远的三等分点，以防漏掉【对点精练5】 线段的计算已知点，都在直线上，点，分别为，的中点，则8或16【分析】分两种情况：点在点的左边时，点在点的右边时，再根据相应线段的关系进行解答即可【解答】解：当点在点的左边时，如图所示：点，分别为，的中点，则，即，；当点在点的右边时，如图所示：点，分别为，的中点，则，综上所述，或16故答案为：8或16【点评】本题主要考查两点间的距离，解答的关键是分类讨论
11、：点在点的左边，点在点的右边，容易漏其中一种情况，是易错题【对点精练6】 线段的计算点在直线上，点、分别是、的中点，则线段的长为或【分析】分类讨论：点在线段上，点在线段的延长线上，根据线段中点的性质，可得、的长，根据线段的和差，可得答案【解答】解：当点在线段的延长线上时，由点、分别是、的中点，得：，由线段的和差，得；当点在线段上时，由点、分别是、的中点，得：，由线段的和差，得；故答案为：或【点评】题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质，线段的和差，分类讨论是解题关键，以防遗漏【实战经典1】 （2017黔南州）如图，建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，其
12、运用到的数学原理是A两点之间，线段最短B两点确定一条直线C垂线段最短 D过一点有且只有一条直线和已知直线平行【分析】直接利用直线的性质分析得出答案【解答】解：建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，这种做法运用到的数学原理是：两点确定一条直线故选：【点评】此题主要考查了直线的性质，正确把握直线的性质联系实际生活是解题关键【实战经典2】 （2021泰州）互不重合的、三点在同一直线上，已知，这三点的位置关系是A点在、两点之间 B点在、两点之间C点在、两点之间 D无法确定【分析】用假设法分别计算各选项中的值，再根据判断即可【解答】解：，、三点互不重合，若点在、之间，
13、则，即，解得，故情况存在，若点在、之间，则，即，解得，故情况不存在，若点在、之间，则，即，此时无解，故情况不存在，互不重合的、三点在同一直线上，故选：【点评】本题主要考查两点间的距离及整式的加减，分类讨论和反证法的应用是解题的关键【实战经典3】 （2020凉山州）点是线段的中点，点是线段的三等分点若线段，则线段的长为ABC或D或【分析】根据线段中点的定义和线段三等分点的定义即可得到结论【解答】解：是线段的中点，点是线段的三等分点，当时，如图，；当时，如图，所以线段的长为或，故选：【点评】本题考查了两点间的距离，线段中点的定义，分类讨论思想的运用是解题的关键考点2：角及相交线的相关计算概念：（1
14、）角：有公共端点的两条射线组成的图形（2）角平分线：在角的内部，以角的顶点为端点把这个角分成两个相等的角的射线角的度量：160，160，13600余角和补角：（1） 余角：12901与2互为余角；（2）补角：121801与2互为补角.（3）性质：同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等对顶角、邻补角：（1）概念：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点而没有公共边的两个角叫做对顶角.（2）性质：对顶角相等，邻补角之和为180. 【例题精析1】 角的概念下列四个图中，能用、三种方法表示同一个角的是A BCD【分析】根据角的表示方法和图形进行判断即可【解答】解：、图中的不能用表示，故本选项错
15、误；、图中的不能用表示，故本选项错误；、图中、表示同一个角，故本选项正确；、图中的不能用表示，故本选项错误；故选：【点评】本题考查了角的表示方法的应用，角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角【例题精析2】 钟面角9点30分时，钟表上时针与分针所组成的角为 105度【分析】根据钟面角的特征进行计算即可【解答】解：如图，由钟面角的定义可知，故答案为：105【点评】本题考查钟面角，理解钟面上每相邻两个数字之间所对应的圆心角为是解决问题的前提【例题精析3】 角的换算计算的
16、结果为 【分析】根据度分秒的计算方法进行计算即可【解答】解：，故答案为：【点评】本题考查度分秒的换算，掌握度分秒的换算方法以及角度的计算是正确解答的关键【例题精析4】 角的换算31度分秒【分析】根据“1度分，即，1分秒，即”进行换算【解答】解：，所以，故答案为：31，27，36【点评】本题考查了度分秒的换算，利用大单位化小单位乘以进率，小单位化大单位除以进率是解题关键度分秒之间的换算要注意：，【例题精析5】 角的计算如图，是的平分线，是的平分线，已知，则64度【分析】根据角平分线的定义得到，根据角的和差关系可得答案【解答】解：是的平分线，是的平分线，故答案为：64【点评】本题考查角平分线的定义
17、，理解角平分线的意义以及角的和差关系是解决问题的关键【例题精析6】 角的计算将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，、为折痕若与重合，则为 90度【分析】利用折叠变换为轴对称变换，根据轴对称的性质可得，利用平角的定义即可得出结论【解答】解：、为折痕，与重合，故答案为：90【点评】本题主要考查了角的计算，轴对称的性质，利用轴对称的性质得到，是解题的关键【例题精析7】 角的计算如图，在的内部，已知是的平分线，平分，若，则【分析】利用角平分线的定义分别求出和，则即可求得结论【解答】解：是的平分线，平分，故答案为：【点评】本题主要考查了角的计算，角平分线的定义熟练应用角平分线的定义是解题的关键【例题精析
18、8】 余角、补角一个角的余角的2倍比这个角的补角少，那么这个角的度数是 【分析】设这个角为，表示出这个角的余角与补角，根据这个角的余角的2倍比这个角的补角少，可列方程求解即可【解答】解：设这个角为，则这个角的余角为，这个角的补角为，由题意得，解得，故答案为：【点评】本题考查余角与补角，理解互为余角与互为补角的意义是解决问题的关键【例题精析9】 角的大小比较比较：（填“”、“ ”或“” 【分析】首先利用度分秒换算法则进行转化，再比较大小【解答】解：，故答案为：【点评】此题主要考查了角的比较大小以及度分秒转化，正确掌握度分秒转化是解题关键【对点精练1】 角的定义下列四个图形中，能用，三种方法表示同
19、一个角的图形是ABCD【分析】角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示角还可以用一个希腊字母表示，或用阿拉伯数字表示【解答】解：能用、三种方法表示同一个角的图形是选项中的图，选项，中的图都不能用、三种方法表示同一个角的图形，故选：【点评】本题主要考查了角的概念，有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边角可以用三个大写字母表示，其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角【对点精练2】 角的计算如图所示，是的平分线，平分，且，则的度数是ABCD【分析】利用角平分线
20、的性质计算【解答】解：是的平分线，；是的平分线，；，故选：【点评】本题考查了角的平分线，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键【对点精练3】 角的计算把一副三角尺与按如图所示那样拼在一起，其中、三点在同一直线上，为的平分线，为的平分线，则的度数是ABCD【分析】由角平分线的定义可知，再利用角的和差关系计算可得结果【解答】解：为的平分线，为的平分线，故选：【点评】本题主要考查了角平分线的定义，利用角平分线的定义计算角的度数是解答此题的关键【对点精练4】 钟面角钟表上1点30分，时钟的时针与分针所夹的角是 135度【分析】根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案【解答】解：因为1点30分时针与
21、分针相距的份数是，所以4点30分时针与分针所夹的锐角是，故答案为：135【点评】本题考查了钟面角，利用时针与分针相距的份数乘以每份的度数是解题的关键【对点精练5】 角的计算是内部一条射线，是平分线，是平分线，是平分线，是平分线，则ABCD【分析】依据是平分线，是平分线，可得，依据是平分线，是平分线，可得，进而得出【解答】解：是平分线，是平分线，是平分线，是平分线，故选：【点评】本题主要考查了角平分线的定义的运用，解决问题的关键是利用角的和差关系进行推算【对点精练6】 角的计算计算：51【分析】将化成度分秒的形式，度与分分别相加，再化简即可得出结论【解答】解：，故答案为：51；15【点评】本题主
22、要考查了度分秒的换算，将化成度分秒的形式是解题的关键【对点精练7】 角的计算计算：【分析】先算分，不够借位，再算度，依此计算即可求解【解答】解：故答案为：【点评】考查了度分秒的换算，度、分、秒之间是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法【对点精练8】 余角、补角一个角的补角比这个角的余角的3倍少，则这个角的余角是65度【分析】利用“一个角的补角比这个角的余角的3倍少”作为相等关系列方程求解即可【解答】解：设该角度数为，则解得，故这个角的余角是故答案为：65【点评】主要考查了余角和补角的概念以及运
23、用互为余角的两角的和为，互为补角的两角之和为180度解此题的关键是能准确的从图中找出角之间的数量关系，从而计算出结果【对点精练9】 （2010秋江津区期末）比较大小：（填、或【分析】先把化成，再与进行比较，即可求出结果【解答】解：，又，故答案为：【点评】本题主要考查了角的度数的换算关系，在解题的时候要注意角的度数是60进制【实战经典1】 （2021兴安盟）74.325【分析】先将化成“分”，再将化成“度”即可【解答】解：，故答案为：74.325【点评】本题考查度、分、秒的换算，掌握度、分、秒的换算进率和换算方法是得出正确答案的前提【实战经典2】 （2019梧州）如图，钟表上10点整时，时针与分
24、针所成的角是ABCD【分析】根据钟面分成12个大格，每格的度数为即可解答【解答】解：钟面分成12个大格，每格的度数为，钟表上10点整时，时针与分针所成的角是故选：【点评】本题主要考查了钟面角，熟知钟面上每大格的度数是解答本题的关键【实战经典3】 （2017呼伦贝尔）计算：【分析】两个度数相加，度与度，分与分对应相加，分的结果若满60，则转化为度【解答】解：，故答案为：【点评】本题考查了角的加减乘除运算遇到加法时，先加再进位；遇到减法时，先借位再减；遇到乘法时，先乘再进位；遇到除法时，先借位再除考点3：垂线及其性质垂线：（1）概念：两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线（2）性质：
25、过一点有且只有一条直线与已知直线垂直垂线段最短（3）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度 【例题精析1】 对顶角下面各图中和是对顶角的是ABCD【分析】利用对顶角的定义（首先看是不是有共同的顶点，然后看两边是不是反向延长线）直接判断即可【解答】解：有公共顶点且两条边都互为反向延长线的两个角称为对顶角，没有共同的顶点，错误，、一边不是反向延长线上，错误，、满足对顶角的定义，正确，故选：【点评】此题是对顶角，邻补角题，主要考查了对顶角的定义，熟练掌握对顶角的定义是解本题的关键，判断一对角是不是对顶角，首先看是不是有共同的顶点，然后看两边是不是反向延长线【例题精析2】 邻补角以下图形中
26、，与表示邻补角的是ABCD【分析】根据邻补角的定义，相邻且互补的两个角互为邻补角进行判断【解答】解：两个角是对顶角，故不是邻补角；、两个角是邻补角，符合题意；、两个角不存在公共边，故不是邻补角；、两个角不等于，故不是邻补角故选：【点评】本题主要考查的是对顶角，邻补角的定义，熟练掌握相关概念是解题的关键【例题精析3】 垂线性质如图，平分，则的度数为ABCD【分析】先根据垂直的定义得：，由已知，相当于把四等分，可得的度数，根据角平分线可得，从而得结论【解答】解：，平分，故选：【点评】本题考查了角平分线的定义，垂直的定义及有关角的计算，解题的关键是确定【对点精练1】 对顶角下列各图中，与是对顶角的是
27、ABCD【分析】根据对顶角的概念判断即可【解答】解：、的两边不是的两边的反向延长线，与不是对顶角，故此选项不符合题意；、的两边不是的两边的反向延长线，与是不对顶角，故此选项不符合题意；、的两边分别是的两边的反向延长线，与是对顶角，故此选项符合题意；、的两边不是的两边的反向延长线，与不是对顶角，故此选项不符合题意；故选：【点评】本题考查了对顶角的定义解题的关键是掌握对顶角的定义：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角【对点精练2】 邻补角已知与是对顶角，与是邻补角，则的度数为ABCD【分析】根据对顶角、邻补角的概念和性质进行判断即可
28、【解答】解：与是对顶角，与是邻补角，故选：【点评】本题考查的是对顶角、邻补角的概念和性质，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角【对点精练3】 垂线性质如图，直线与相交于点，则的度数为ABCD【分析】由，可确定的度数，再由对顶角相等可确定的度数，即是的度数【解答】解：，故选：【点评】本题主要考查垂直的概念，关键是要理解垂直的概念，知道对顶角相等【对点精练4】 垂线性质如图，表示点到直线距离的是线段的长度【分析】直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的
29、距离【解答】解：于点，表示点到直线距离的是线段的长度故答案为：【点评】本题主要考查了点到直线的距离，点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段【对点精练5】 垂线性质如图所示，已知，若，则点到的距离是，点到的距离是【分析】直接利用点到直线的距离以及三角形面积求法分别得出答案【解答】解：，即，若，那么到的距离是：，到的距离是：故答案为：，【点评】此题主要考查了点到直线的距离，正确结合三角形面积求出到的距离是解题关键【实战经典1】 （2020北京）如图，和相交于点，则下列结论正确的是ABCD【分析】根据对顶角定义和外角的性质逐个判断即可【解答】解：和是对顶角，故正确
30、；是的外角，故错误；，故错误；是的外角，；故错误；故选：【点评】本题主要考查了对顶角的性质和三角形外角的性质，能熟记对顶角的性质是解此题的关键【实战经典2】 （2018贺州）如图，下列各组角中，互为对顶角的是A和B和C和D和【分析】直接利用对顶角的定义得出答案【解答】解：互为对顶角的是：和故选：【点评】此题主要考查了对顶角，正确把握对顶角的定义是解题关键【实战经典3】 （2017贺州）下列各图中，与互为邻补角的是ABCD【分析】根据邻补角的定义作出判断即可【解答】解：根据邻补角的定义可知：只有图中的是邻补角，其它都不是故选：【点评】本题考查了邻补角的定义，正确把握定义：只有一条公共边，它们的另
31、一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角【实战经典4】 （2019广州）如图，点，在直线上，则点到直线的距离是5【分析】根据点到直线的距离是直线外的点到这条直线的垂线段的长度，可得答案【解答】解：，到的距离是垂线段的长度，故答案为：5【点评】本题考查了点到直线的距离，点到直线的距离是直线外的点到这条直线的垂线段的长度考点4：平行线的性质及其判定三线八角（1）同位角：形如”F”;（2）内错角：形如“Z”;（3）同旁内角：形如“U”.平行线：（1）平行线的性质与判定同位角相等两直线平行内错角相等两直线平行同旁内角互补两直线平行（2）平行公理及其推论经过直线外一点，有且只有一条直线与已知
32、直线平行平行于同一条直线的两直线平行 【例题精析1】 三线八角下面四个图形中，与是同位角的是ABCD【分析】根据“同位角”的定义，结合各个选项中的两个角的位置进行判断即可【解答】解：由同位角的定义可知，选项、选项、选项中的与都不是同位角；选项中的与是直线、被直线所截所得到的同位角；故选：【点评】本题考查同位角、内错角、同旁内角，掌握同位角、内错角、同旁内角的意义是正确判断的前提【例题精析2】 三线八角如图，下面结论正确的是A和是同位角B和是内错角C和是同旁内角D和是内错角【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的概念在截线的同旁找同位角和同旁内角，在截线的两旁找内错角要结合图形，熟记同位角、内错角
33、、同旁内角的位置特点，比较它们的区别与联系【解答】解：、和是邻补角，原说法错误，故此选项不符合题意；、和的邻补角是内错角，原说法错误，故此选项不符合题意；、和是对顶角，原说法错误，故此选项不符合题意；、和是内错角，原说法正确，故此选项符合题意故选：【点评】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，准确识别同位角、内错角、同旁内角的关键，是弄清哪两条直线被哪一条线所截也就是说，在辨别这些角之前，要弄清哪一条直线是截线，哪两条直线是被截线【例题精析3】 平行线的判定与性质如图，已知，则的度数为ABCD【分析】根据平行线的判定得出，进而利用平行线的性质解答即可【解答】解：，故选：【点评】此题考查平行线的判
34、定和性质，关键是根据同位角相等，两直线平行解答【例题精析4】 平行线的判定与性质如图，在下列条件中，能使的是A BCD【分析】根据平行线的判定定理求解判断即可得解【解答】解：，根据“内错角相等，两直线平行”可判定，不能判定，故不符合题意；，不能判定，故不符合题意；，根据“内错角相等，两直线平行”可判定，故符合题意；，根据“同旁内角互补，两直线平行”可判定，不能判定，故不符合题意；故选：【点评】此题考查了平行线的判定，熟记“内错角相等，两直线平行”、“同旁内角互补，两直线平行”是解此题的关键【例题精析5】 平行线的判定与性质如图，下列条件：，其中能判断的是ABCD【分析】根据平行线的判定得出即可
35、【解答】解：，；，；，；，所以能判断的是，故选：【点评】本题考查了平行线的性质和判定，注意：平行线的判定定理有：同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行【例题精析6】 平行线的判定与性质在同一平面内，设、是三条互相平行的直线，与之间的距离为5，与之间的距离为2，则与之间的距离为7或3【分析】方两种情况讨论，分别画出图形，根据图形进行计算即可【解答】解：有两种情况：如图所示，直线与之间的距离是；如图所示，直线与之间的距离是；综上所述，与之间的距离为7或3故答案为：7或3【点评】本题主要考查对平行线之间的距离的理解和掌握，能根据图形分情况讨论是解此题的关键【对点精练
36、1】 下列图形中，与不具有同位角、内错角或同旁内角关系的是ABCD【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义对各选项分析判断后利用排除法求解【解答】解：、与是内错角，故本选项不符合题意；、与不是同位角、不是内错角、也不是同旁内角，故本选项符合题意；、与是同旁内角，故本选项不符合题意；、与是同位角，故本选项不符合题意故选：【点评】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义，熟记同位角、内错角、同旁内角的定义是解题的关键【对点精练2】 平行线的判定与性质如图，下列说法不正确的是A与是对顶角 B与是同位角 C与是内错角D与是同旁内角【分析】根据同位角、内错角、同旁内角、对顶角的意义进行判断即可【解答】
37、解：和是对顶角，因此选项不符合题意；和，既不是同位角，也不是内错角、同旁内角，因此选项符合题意；与是直线，直线，被直线所截，所得到的内错角，因此选项不符合题意；与是直线，直线，被直线所截所得到的同旁内角，因此选项不符合题意；故选：【点评】本题考查同位角、内错角、同旁内角、对顶角，理解同位角、内错角、同旁内角、对顶角的意义是正确判断的前提，掌握“三线八角”的意义和位置关系是正确判断的关键【对点精练3】 平行线的判定与性质如图，则的度数是ABCD【分析】根据对顶角相等得到，结合，得到，即可判定，根据平行线的性质得出，再根据邻补角的定义求解即可【解答】解：如图，故选：【点评】此题考查了平行线的判定与
38、性质，熟记“同位角相等，两直线平行”及“两直线平行，同位角相等”是解题的关键【对点精练4】 平行线的判定与性质如图，给出下列条件；且；其中能推出的条件个数是A0个B1个C2个D3个【分析】利用内错角相等两直线平行，等量代换，同旁内角互补，两直线平行即可得到结果【解答】解：，可判定，不能判定；，可判定；可得，再由，可得，可判定所以能推出的条件个数是2个，故选：【点评】此题主要考查了平行线的判定，解题的关键是掌握判定定理：同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补，两直线平行【对点精练5】 平行线的判定与性质如图，下列条件：；，其中能判断直线的有ABCD【分析】根据同位角相等，内错角
39、相等和同旁内角互补得出两直线平行，对各小题进行逐一判断即可【解答】解：，不能判定；，能判定；，不能判定；，能判定；，不能判定；，不能判定；故选：【点评】本题考查的是平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解答此题的关键【对点精练6】 平行线的判定与性质在同一平面内，设、是三条互相平行的直线，与之间的距离为8，与之间的距离为3，则与之间的距离为 11或5【分析】分两种情况讨论，分别画出图形，根据图形进行计算即可【解答】解：有两种情况：如图所示，直线与之间的距离是；如图所示，直线与之间的距离是；综上所述，与之间的距离为11或5故答案为：11或5【点评】本题主要考查对平行线之间的距离的理解和掌握，能根据
40、图形分情况讨论是解此题的关键【实战经典1】 （2020河池）如图，直线，被直线所截，则与的位置关系是A同位角B内错角C同旁内角D邻补角【分析】根据三线八角的概念，以及同位角的定义作答即可【解答】解：如图所示，和两个角都在被截直线和同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，故和是直线、被所截而成的同位角故选：【点评】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义在截线的同旁找同位角和同旁内角，在截线的两旁找内错角要结合图形，熟记同位角、内错角、同旁内角的位置特点，比较它们的区别与联系两条直线被第三条直线所截所形成的八个角中，有四对同位角，两对内错角，两对同旁内角【实战经典2】 （2019邵阳）如图，已知两
41、直线与被第三条直线所截，下列等式一定成立的是ABCD【分析】由三线八角以及平行线的性质可知，成立的条件题目并没有提供，而选项中邻补角的和为一定正确【解答】解：与是同位角，与是内错角，与是同旁内角，由平行线的性质可知，选项，成立的条件为时，而与是邻补角，故正确故选：【点评】本题考查三线八角的识别及平行线的性质和邻补角的概念本题属于基础题，难度不大【实战经典3】 （2021锦州）如图，则的度数是ABCD【分析】过点作，利用平行线的性质解答即可【解答】解：过点作，故选：【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，内错角相等解答【实战经典4】 （2020武汉）如图，直线分别与直线，交于点，平分
42、，平分，且求证：【分析】根据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到，进而得出【解答】证明：，又平分，平分，【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是熟记角平分线的性质和平行线的性质课堂总结：思维导图分层训练：课堂知识巩固1如图，点在直线上，是的角平分线，则的度数是ABCD【分析】根据平角的定义可得，再根据角平分线的定义解答即可【解答】解：，是的角平分线，故选：【点评】本题考查的是角平分线的定义、角的计算，掌握角平分线的定义、结合图形正确进行角的计算是解题的关键2如图所示，下列结论中正确的是A和是同位角B和是同旁内角C和是内错角D和是对顶角【分析】根据同位角，内错角，同旁内角以及对
43、顶角的定义进行解答【解答】解：、和是同旁内角，故本选项错误；、和是同旁内角，故本选项正确；、和是同位角，故本选项错误；、和是邻补角，故本选项错误；故选：【点评】考查了同位角，内错角，同旁内角以及对顶角的定义解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义3如图，下列能判定的条件有个（1）；（2）；（3）；（4）A1B2C3D4【分析】根据平行线的判定方法对四个条件分别进行判断即可【解答】解：（1），；（2），；（3），； （4），故选：【点评】本题考查了平行线判定：同位角相等
44、，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行4如图，直线，如果，那么的度数是ABCD【分析】由平行线的性质可得，再利用三角形外角的性质可求解【解答】解：直线，故选：【点评】本题主要考查平行线的性质，三角形外角的性质，求解的度数是解题的关键5如图，将一张长方形纸片进行折叠，若，则的度数为ABCD【分析】由题意可得，则有，结合所给的条件可求得，再由平行线的性质得，由折叠的性质可得，从而可求得【解答】解：由题意得：，解得：，由折叠可得，故选：【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用6如图，点在的延长线上，下列条件中能判定的是ABCD【分析】直接利用平
45、行线的判定方法分别判断得出答案【解答】解：、当时，可得：，不合题意；、当时，可得：，不合题意；、当时，可得：，符合题意；、当时，可得：，不合题意故选：【点评】此题主要考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法是解题关键7当光线从空气中射入某种液体中时，光线的传播方向发生了变化，在物理学中这种现象叫做光的折射如图，液面于点，一束光线沿射入液面，在点处发生折射，折射光线为，点为的延长线上一点，若入射角，折射角，则的度数为ABCD【分析】根据对顶角相等得出，进而解答即可【解答】解：由对顶角相等得，故选：【点评】此题考查对顶角相等，关键是根据对顶角相等得出解答8将一副直角三角尺如图放置，已知，求的度
46、数，以下是打乱的推理过程：，推理步骤正确的是ABCD【分析】由平行线的性质可求，结合，由三角形的外角性质即可求的度数【解答】解：，故推理步骤为：故选：【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是由平行线的性质得到9如图所示，直线、被、所截，下列条件中能说明的是ABCD【分析】根据平行线的判定定理求解即可【解答】解：，（同位角相等，两直线平行），故选：【点评】此题考查了平行线的判定，熟记“同位角相等，两直线平行”是解题的关键10如图，已知直线，则、之间的关系是ABCD【分析】过作直线，根据平行线的性质即可求解【解答】解：如图，过作直线，即，故选：【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的
47、性质是解题的关键11如图，分别交，于，已知，则的度数是ABCD【分析】由平行线的性质可得，从而可求得，再由平行线的性质即可求的度数【解答】解：，故选：【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补12如图，点在直线上，点在直线上，若，则的度数为ABCD【分析】过点作，则有，由平行线的性质可得，再由，即可求解【解答】解：过点作，如图，则，故选：【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补13如图，直线，相交于点，于点，若，则的度数为ABCD【分析】根据题意，可得，即，根据已知条件可得的度
48、数，根据对顶角的性质，代入计算即可得出答案【解答】解：，故选：【点评】本题主要考查了垂线，对顶角，熟练掌握垂线及对顶角的性质进行求解是解决本题的关键14如图1，则；如图2，则；如图3，则；如图4，则以上结论正确的是ABCD【分析】过点作直线，由平行线的性质即可得出结论；过点作直线，由平行线的性质即可得出结论；过点作直线，由平行线的性质可得出；先根据三角形外角的性质得出，再根据两直线平行，内错角相等即可作出判断【解答】解：过点作直线，故本小题错误；过点作直线，即，故本小题正确；过点作直线，即，故本选项正确；是的外角，即，故本小题正确综上所述，正确的小题有共3个故选：【点评】本题考查的是平行线的性
49、质及三角形外角的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键二填空题（共1小题）15如图，为一长条形纸带，将沿折叠，、两点分别与、对应若，则50【分析】由折叠可知，可求得，再利用邻补角的定义可求得【解答】解：由题意可知，故答案为：50【点评】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补两直线平行，1如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中，与互余的是ABCD【分析】根据图形，结合互余的定义判断即可余角：如果两个角的和等于（直角），就说这两个角互为余角即其中一个角是另一个角的余角【解答】解：、与互余，故本选项符合题
50、意；、，但与不一定互余，故本选项不合题意；、，但与不互余，故本选项不合题意；、与不互余，和互补，故本选项不合题意；故选：【点评】本题考查了对余角和补角的应用，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力2如图，利用工具测量角，有如下4个结论：；与互为余角；与互为补角上述结论中，所有正确结论的序号是ABCD【分析】根据余角和补角的定义，进行计算逐一判断即可解答【解答】解：，故正确；，故不正确；，与互为余角，故正确；，与互为补角，故正确；所以，上述结论中，所有正确结论的序号是，故选：【点评】本题考查了余角和补角，熟练掌握余角和补角的定义是解题的关键3如图，下列说法中，正确的是A若，则B若，则C若，则D若
51、，则【分析】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平；同旁内角互补，两直线平行；依据平行线的判定方法得出结论【解答】解：由，不能得到，故本选项错误；若，则，故本选项错误；若，则，故本选项错误；若，则，故本选项正确；故选：【点评】此题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题关键4如图，把一张长方形纸片沿折叠，若，则ABCD【分析】根据折叠的性质可得，可得的度数，根据平行线的性质可得的度数【解答】解：长方形纸片沿折叠，四边形是长方形，故选：【点评】此题主要考查了平行线的性质解题的关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等5如图所示，六边中，平行且等于，平行且等于，平行且等
52、于，对角线已知，则六边形的面积是A423B432C405D234【分析】连接交于，交于根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得平行四边形和易得，计算该六边形的面积可以分成3部分计算，即平行四边形的面积三角形的面积三角形的面积【解答】解：连接交于，交于，如图：平行且等于，平行且等于，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形是矩形，且，六边形的面积平行四边形的面积三角形的面积三角形的面积故选：【点评】此题要熟悉平行四边形的判定和性质注意求不规则图形的面积可以分割成规则图形，根据面积公式进行计算6如图，已知，为平行线之间一点，连接，为上方一点，连接，为延长线上一点若，分别平分，则与的数量
53、关系为ABCD【分析】过点作，过点作，则，根据平行线的性质可得，即可得出结论【解答】解：过点作，过点作，分别平分，故选：【点评】本题考查了平行线的性质，邻补角的定义，解题的关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等7如图，下列判断正确的是A与是同旁内角B与是同位角C与是对顶角D与是内错角【分析】根据同位角、同旁内角、内错角和对顶角的概念解答即可【解答】解：、与是同旁内角，说法正确，故本选项符合题意；、与不是同位角，故本选项不合题意；、与不是对顶角，故本选项不合题意；、与不是内错角，故本选项不合题意；故选：【点评】此题考查同位角、同旁内角
54、、内错角以及对顶角，关键是根据同位角、同旁内角、内错角和对顶角的概念解答8如图，已知，点在两平行线之间，连接，的平分线与的平分线的反向延长线交于点，若，则等于ABCD【分析】延长交的延长线于，易求，根据角平分线的定义可求解，根据平行线的性质可得，进而可求解【解答】解：延长交的延长线于，的平分线与的平分线的反向延长线交于点，故选：【点评】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质，平角的定义，灵活运用平行线性质及角平分线的定义是解题的关键9如图，将矩形纸片沿折叠，得到，与交于点若，则的度数为ABCD【分析】根据矩形的性质，可得，进而求得，根据折叠可得，最后根据进行计算即可【解答】解：四边形是矩形，
55、由折叠可得，故选：【点评】本题考查了矩形的性质，平行线性质，折叠性质，角的有关计算等知识，解题的关键是求出和的度数10如图，已知直线，直线分别交直线、于、，平分交于，是射线上一动点（不与、重合）平分交于点，设，现有下列四个式子：；其中正确的是ABCD【分析】根据平行线的性质和三角形的内角和求解【解答】解：当点在点右侧时，如图示：平分，平分，故是正确的；当点在和之间时，如图：平分，平分，故是正确的故选：【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质及三角形的内角和，分类讨论是解题的关键11如图，已知，平分，则ABCD【分析】根据两直线平行，内错角相等求出、的度数，然后求出的度数，再根据角平分线的
56、定义求出的度数即可【解答】解：，平分，故选：【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记平行线的性质是解题的关键12如图，点，分别在直线，上，点，在两直线之间，线段与相交于点，且有，三人说法如下：甲：；乙：；丙：，下列判断正确的是A甲错，乙对B甲对，乙错C甲对，丙对D乙对，丙错【分析】根据题意可得，从而利用平行线的判定可得，然后再利用平行线的性质可得，从而利用等式的性质可得，进而可得，最后根据，从而判定与不平行，即可解答【解答】解：由题意得：，故甲的说法对，故乙的说法对，与不平行，故丙的说法错，故选：【点评】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键二填空题（
57、共2小题）135度 分 秒【分析】利用度分秒的进制，进行计算即可解答【解答】解：，度8分24秒，故答案为：5，8，24【点评】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键14某复兴号列车在哈尔滨和北京之间运行，途中要停靠于3个站点，如果任意两站之间的票价都不同，那么有 10种不同的票价，应发行 种不同的车票【分析】作出线段图，然后找出图中的线段的条数即可【解答】解：如图，途中有3个站点，共有线段：、，、，、，共10条线段，所以共有10种不同的票价；因为往返的车票不同，所以应发行20种不同的车票故答案为：10，20【点评】本题考查了直线、射线、线段，在线段、射线的计数时，应注重分类讨
58、论的方法计数，做到不遗漏，不重复三解答题（共1小题）15如图所示的是一个潜望镜模型示意图，代表镜子摆放的位置，并且与平行，光线经过镜子反射时，满足，证明离开潜望镜的光线平行于进入潜望镜的光线请补全下述证明过程：，【分析】根据平行线性质得出，求出，根据平行线判定推出即可【解答】解：，（内错角相等，两直线平行）故答案为：；（内错角相等，两直线平行）【点评】本题考查了平行线性质和判定的应用，解题的关键是根据平行线的判定和性质解答1小明、小亮、小刚、小颖一起研究一道数学题如图，已知，小明说：“如果还知道，则能得到”小亮说：“把小明的已知和结论倒过来，即由，可得到”小刚说：“一定大于”小颖说：“如果连接
59、，则一定平行于”他们四人中，有个人的说法是正确的A1B2C3D4【分析】由，知，然后根据平行线的性质与判定即可得出答案；【解答】解：已知，（1）若，（2）若，（3）由题意知，如下图，当时，则，即一定大于；当、与不平行时，如图，设，当点在点的上方时，由知，一定大于；当点在点的下方时，见上图，则不一定大于，综上，不一定大于；（4）如果连接，则不一定平行于；综上知：正确的说法有两个故选：【点评】本题考查了平行线的判定与性质，属于基础题，关键是掌握平行线的性质与判定2如图，点是边上一点，连接交的延长线于点点是边上一点使得，作的角平分线交于点，若，则的度数为ABCD【分析】，则，则，在中，故，即可求解【
60、解答】解：设，则，的角平分线为，设，而，则，在中，故，而，故选：【点评】本题考查的是平行线的性质，涉及到角平行线、外角定理，本题关键是落脚于内角和为，即，题目难度较大3将一直角三角板与两边平行的纸条如图放置下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）其中正确的共有A5个B4个C3个D2个【分析】由平行线的性质与互余的关系，即可求得：，；又由等量代换，求得【解答】解：如图，根据题意得：，；故（1），（2），（3），（4）正确；故（5）正确其中正确的共有5个故选：【点评】此题考查了平行线的性质注意掌握：两直线平行，同位角相等与两直线平行，同旁内角互补以及两直线平行，内错角相等定理的应用二解答题
61、（共4小题）4已知点在线段上，点、在直线上，点在点的左侧（1）若，线段在线段上移动如图1，当为中点时，求的长；点（异于，点）在线段上，求的长；（2）若，线段在直线上移动，且满足关系式，则或【分析】（1）根据，线段在线段上移动如图1，当为中点时，根据中点定义即可求的长；点（异于，点）在线段上，确定点是的中点，即可求的长；（2）根据，线段在直线上移动，满足关系式，可以设，用含和的式子表示线段长，从而得出与的等量关系，即可求出的值【解答】解：（1），如图，为中点，；如图，、当点在点的左侧，点是的中点，；、当点在点的右侧，其他情况不存在，舍去综上所述：的长为3或5；（2），满足关系式，、当点在点右侧时
62、，如图，设，则，解得，、当点在点左侧时，如图，设，则，解得，点在点右侧，及点在点右侧，无解，不符合题意；当在线段内部时，如图，设，则，解得，（不符合题意，舍去），不符合题意，舍去其他情况不存在，舍去故答案为或【点评】本题考查了两点间的距离，比较难，需要仔细思考和解答5（1）探究：如图1，点、分别在直线、上，连结、，当点在直线的左侧时，试说明；（2）变式：如图2，将点移动到直线的右侧，其他条件不变，试探究、之间的关系，并说明理由；（3）（问题迁移）如图3，点在的上方，问、之间有何数量关系？请说明理由；（4）（联想拓展）如图4所示，在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点，用含有的式子表示
63、的度数【分析】（1）先作出辅助线，然后利用两直线平行，内错角相等可得：和，即可证出结论；（2）先作出辅助线，然后利用两直线平行，同旁内角互补可得出：和，而，即可得：；（3）根据题意作出辅助线，然后利用两直线平行，内错角相等可得：和，根据图象可知：，即可得：；（4）先作出辅助线，根据平行线的性质可推出：，然后推出，再根据角平线的定义可得出：，即可求出【解答】解：（1）如图所示：过点作，；（2），理由如下：如图所示：过点作，；（3），理由如下：如图所示：过点作，；（4）如图所示：过点作，过点作，的平分线和的平分线交于点，【点评】本题考查了平行线性质的综合应用，解题关键所示在于：一是辅助线做法，二是
64、根据不同图形利用不同的性质去解决问题6如图，在四边形中，于，于，能辨认吗？试说明理由【分析】根据同旁内角互补，两直线平行先求出，然后根据两直线平行，内错角相等求出，再根据垂直于同一直线的两直线互相平行求出，然后根据两直线平行，同位角相等即可得解【解答】解：能辨认理由如下：，（同旁内角互补，两直线平行），（两直线平行，内错角相等），（根据垂直于同一直线的两直线平行），（两直线平行，同位角相等），【点评】本题考查了平行线的判定与性质，准确识图，并熟练掌握平行线的性质与判定方法是解题的关键7如图（1），由线段、组成的图形像英文字母，称为“形”（1）如图（1），形中，若，则；（2）如图（2），连接形中
65、、两点，若，试探求与的数量关系，并说明理由；（3）如图（3），在（2）的条件下，且的延长线与的延长线有交点，当点在线段的延长线上从左向右移动的过程中，直接写出与所有可能的数量关系【分析】（1）过作，由平行线的性质即可求得的值（2）延长，交于，应用四边形的内角和定理与平角的定义即可解决问题（3）分两种情形分别求解即可；【解答】解：（1）过作，；故答案为：；（2），延长，交于，；即；（3）如下图所示：延长、使之相交于点，延长与的延长线相交于点，由三角形的内外角之间的关系得：即：如图所示，即综上所述，或【点评】本题考查了平行线的性质解答该题时，通过作辅助线准确作出辅助线，利用平行线的性质（两直线平行内错角相等）将所求的角与已知角、的数量关系联系起来，从而求得的度数
Copyright@ 2020-2024 m.ketangku.com网站版权所有