1、第二章数列本章复习本章复习(第1课时)学习目标掌握数列的概念及数列的通项公式;掌握等差数列、等比数列的基本概念及性质,掌握等差数列、等比数列的通项公式、前n项和公式.掌握特殊数列的求和方法,如:倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法等.利用数列中an与Sn之间的关系,求通项公式及解决其他数列问题.利用数列的递推关系,求通项公式,结合前n项和公式,解决数列的应用题.利用方程的思想、根据公式列方程(组),解决等差数列、等比数列中的“知三求二”问题;利用函数的思想,根据函数的图象、单调性、值域等解决数列中项的最值及数列的前n项和Sn的最值问题;利用等价转化的思想把非等差数列、等比数列问题转化
2、为等差数列、等比数列问题来解决;利用分类讨论的思想解决等比数列的公比q是否为1等问题.合作学习一、回顾本章所学知识和方法形成知识结构本章知识结构:二、通过再现题组和巩固题组进一步掌握本章所学知识和方法(一)再现题组1.已知an是等差数列,a1+a2=4,a7+a8=28,则该数列前10项和S10等于()A.64B.100C.110D.1202.设an是公比为正数的等比数列,若a1=1,a5=16,则数列an的前7项的和为()A.63B.64C.127D.1283.数列1,3,5,7,的通项公式是.【变式与拓展】已知数列的前几项求通项.(1)2,5,10,17,26;(2)1,-1,1,-1,1
3、;(3)3,33,333,3333.4.已知数列an满足a1=1,an=+1(n2),则a5=.5.已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=3n2+n,则数列的通项公式an=.6.已知an=-n2+25n(nN*),则数列an的最大项是.回顾:1.数列的概念和通项公式.2.等差数列(1)定义:an+1-an=d(nN*)或an-an-1=d(n2,nN*).(2)通项公式:an=a1+(n-1)d,an=dn+(a1-d),an=pn+q,an=am+(n-m)d.(3)前n项和公式:Sn=,Sn=na1+d,Sn=n2+n,Sn=An2+Bn.(4)重要性质:等差数列an中,若m+n=p+q(
4、m,n,p,qN*),则am+an=ap+aq,数列an中,2an=an-1+an+1(n2,nN*)an是等差数列.若a,A,b成等差数列,则称A为a与b的等差中项,且2A=a+b,A有唯一值.等差数列an中,公差为d,则对任意的kN*,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,构成等差数列,公差为k2d.3.等比数列(1)定义:=q(nN*)或=q(n2,nN*)(q0).(2)通项公式:an=a1qn-1,an=amqn-m,an=aqn(a,q0).(3)前n项和公式:Sn=(4)重要性质:等比数列an中,若m+n=p+q(m,n,p,qN*),则aman=apaq,特别地,若m+n=2p,
5、则aman=.数列an中,an0,nN*,=an-1an+1(n2,nN*)an是等比数列.若a,A,b成等比数列,则称A为a与b的等比中项,且A2=ab(ab0),A=.等比数列an中,公比为q,Sn0,则对任意的kN*,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,构成等比数列,公比为qk.4.Sn与an的关系.(二)巩固题组【例1】已知数列an中,a1=1,an+1-an=n,求通项公式an.【例2】设a1,d为实数,首项为a1,公差为d的等差数列an的前n项和为Sn,满足S5S6+15=0.(1)若S5=5,求S6及a1;(2)求d的取值范围.【例3】设an是由正数组成的等比数列,Sn为其前n项
6、和.已知a2a4=1,S3=7,求S5.【例4】已知an是公差不为零的等差数列,a1=1,且a1,a3,a9成等比数列.(1)求数列an的通项公式;(2)求数列的前n项和Sn.【例5】已知an为等差数列,且a3=-6,a6=0.(1)求an的通项公式;(2)若等比数列bn满足b1=-8,b2=a1+a2+a3,求bn的前n项和Sn.三、反思小结,观点提炼1.等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式.2.熟练运用性质解决问题.3.产量增减、价格升降、细胞繁殖等问题,求利率、增长率等问题常归结为数列建模问题.4.将实际问题转化为数列问题时应注意:(1)分清是等差数列还是等比数列;(2)分清是求a
7、n还是求Sn,特别要准确地确定项数n.5.数列的综合问题常与函数、方程、不等式等知识相互联系和渗透.参考答案(一)再现题组1.B提示:设数列的公差为d,则故S10=10a1+d=100.2.C提示:因为a1=1,a5=16,所以q4=16.因为q0,所以q=2,从而S7=127.3.an=2n-1提示:数列的前4项1,3,5,7都是序号的2倍减1,所以通项公式为an=2n-1.【变式与拓展】(1)an=n2+1;(2)an=(-1)n+1;(3)an=(10n-1).4.5.an=6n-2提示:当n2时,an=Sn-Sn-1=6n-2.当n=1时,a1=S1=4也适合公式.所以数列的通项公式为
8、an=6n-2.6.第12项或第13项提示:an是关于n的二次函数,结合二次函数求最值,同时要考虑nN*这一条件.(二)巩固题组【例1】解:方法一:迭代法:an=an-1+(n-1)=an-2+(n-1)+(n-2)=a1+(n-1)+(n-2)+1=1+.方法二:累加法:由已知an+1-an=n,a2-a1=1,a3-a2=2,an-an-1=n-1,以上各式相加得an-a1=,an=.【例2】【命题立意】本题主要考查等差数列的概念、求和公式等基础知识,同时考查运算求解能力及分析问题、解决问题的能力.【思路点拨】本题直接利用等差数列的通项公式和前n项和公式求解即可.解:(1)由题意知,S6=
9、-3,a6=S6-S5=-8.所以解得a1=7.所以S6=-3,a1=7.(2)方法一:因为S5S6+15=0,所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即2+9da1+10d2+1=0.故(4a1+9d)2=d2-8.所以d28.故d的取值范围为d-2或d2.方法二:因为S5S6+15=0,所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即2+9da1+10d2+1=0.看成关于a1的一元二次方程,因为有实根,所以=81d2-8(10d2+1)=d2-80,解得d-2或d2.【例3】【命题立意】本题考查等比数列的通项公式、等比数列的前n项和公式.【思路点拨】列出关于a1,q的方
10、程组,解出a1,q再利用前n项和公式求出S5.解:设该等比数列的首项为a1,公比为q,由题意知,解得S5=.【例4】【命题立意】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式和前n项和公式的应用,考查学生的运算求解能力.解:(1)由题设知公差d0由a1=1,a1,a3,a9成等比数列,得=a1a9,即(1+2d)2=1(1+8d).解得d=1,d=0(舍去d=0),故an的通项公式为an=1+(n-1)1=n.(2)由(1)知=2n,故Sn=2+22+23+2n=2n+1-2.【例5】【命题立意】本题考查等差数列的通项公式、等比数列的前n项和公式,熟练掌握数列的基础知识是解答好本类题目的关键.【思路点拨】(1)由a3=-6,a6=0可列方程组解出a1,d,从而可求出通项公式;(2)求出b2,再求出通项公式.代入等比数列的前n项和公式即可.解:(1)设等差数列an的公差为d,因为a3=-6,a6=0,所以解得所以an=-10+(n-1)2=2n-12.(2)设等比数列bn的公比为q,因为b2=a1+a2+a3=-24,b1=-8,所以-8q=-24,即q=3,所以bn的前n项和为Sn=4(1-3n),