1、第十节二项分布及其应用、正态分布基础达标一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015山东师大附中模拟)设随机变量服从正态分布N(0,1),若P(1)=p,则P(-11)=p得P(01)= -p,又由正态分布的图象关于y轴对称,所以P(-10)=P(00),若P(0)+P(1)=1,则的值为()A.-1B.1C.-D.4.D【解析】由P(0)+P(1)=1得P(1)=1-P(0),由正态分布曲线的对称性知=.5.某公司招聘员工,先由两位专家面试,若两位专家都同意通过,则被视作通过初审予以录用;若这两位专家都不同意通过,则视作初审不予录用;当这两位专家意见不一致时,再由第三位专家进行复审,若能
2、通过复审则予以录用,否则不予录用,设应聘人员获得每位初审专家通过的概率均为0.5,复审能通过的概率为0.3,各专家评审的结果相互独立.则4人应聘恰好有1人被录用的概率是()A.B.C.D.5.D【解析】由题意可知某人被录用的概率为,则4人应聘恰好有1人被录用的概率是.二、填空题(每小题5分,共25分)6.(2015上海十二校联考)小李同学在上学路上要经过4个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是,则他在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率为.(用最简分数表示)6.【解析】由于在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是,则第三个路口首次遇到红灯为P=.7.(
3、2015怀化三模)某省气象部门为了有效缓解近期的持续高温天气,拟进行人工降雨,为了达到理想效果,首先在电脑上进行人工降雨模拟试验,准备用A,B,C三种人工降雨方式分别对甲、乙、丙三地实施人工降雨,其试验数据统计如下:方式实施地点大雨中雨小雨模拟试验总次数A甲4次6次2次12次B乙3次6次3次12次C丙2次2次8次12次假设甲、乙、丙三地实施的人工降雨彼此互不影响.则甲、乙两地恰为中雨且丙为小雨的概率为.7.【解析】记“甲、乙两地恰为中雨且丙为小雨”为事件A,则P(A)=,故甲、乙两地恰为中雨且丙为小雨的概率为.8.(2015广州六中质检)设随机变量服从正态分布N(3,4),若P(a+2),则a
4、的值为.8.【解析】由正态分布的性质可得=3,解得a=.9.实验员进行一项实验,先后要实施5个程序,在程序A只能出现在第一步或最后一步的条件下,程序C和D相邻的概率是.9.【解析】记“程序A只能出现在第一步或最后一步”为事件A,“程序C和D相邻”为事件B,则n(AB)=32=24,n(A)= =48,所以P(B|A)=.10.低碳生活,从“衣食住行”开始,在国内一些网站中出现了“碳足迹”的应用,人们可以由此计算出自己每天的碳排放量,如家居用电的二氧化碳排放量(千克)=耗电度数0.785,家用天然气的二氧化碳排放量(千克)=天然气使用立方数0.19等.某校开展“节能减排,保护环境,从我做起!”的
5、活动,该校高一(6)班同学利用假期在东城、西城两个小区进行了区民的关于“生活习惯是否符合低碳排放标准”的调查,生活习惯符合低碳观念的称为“低碳家庭”,否则称为“非低碳家庭”.经统计,这两类家庭占各自小区总户数的比例P数据如下:东城小区低碳家庭非低碳家庭西城小区低碳家庭非低碳家庭比例P比例P如果在东城、西城两个小区内各随机选择2个家庭,则这4个家庭中恰好有两个家庭是“低碳家庭”的概率为.10.【解析】.三、解答题(共25分)11.(12分)(2015常德模拟)某旅游景点,为方便游客游玩,设置自行车骑游出租点,收费标准如下:租车时间不超过2小时收费10元,超过2小时的部分按每小时10元收取(不足一
6、小时按一小时计算).现甲、乙两人独立来该租车点租车骑游,各租车一次.设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为;2小时以上且不超过3小时还车的概率分别为,且两人租车的时间都不超过4小时.(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率;(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量,求的分布列与数学期望.11.【解析】(1)甲、乙所付费用可以为10元,20元,30元.甲、乙两人所付费用都是10元的概率为P1=,甲、乙两人所付费用都是20元的概率为P2=,甲、乙两人所付费用都是30元的概率为P3=1-,故甲、乙两人所付费用相等的概率为P=P1+P2+P3=.(2)随机变量的取值可以为20,30,40,50,6
7、0,P(=20)=,P(=30)=,P(=40)=,P(=50)=,P(=60)=.故的分布列为2030405060P所以的数学期望是E=20+30+40+50+60=35.12.(13分)(2015长沙三模)一场只有甲、乙两队参加的球赛,由多局组成,比赛分出胜负,且每局比赛甲获胜的概率为.(1)若赛制为“三局两胜”(即先胜两局者为冠军),求乙队获得冠军的概率;(2)若赛制为“五局三胜”(即先胜三局者为冠军),设比赛结束后,乙队胜的局数为,求变量的数学期望.12.【解析】(1)设每局比赛乙队获胜为事件A,则P(A)=.P(乙队获得冠军)=P(AA)+P(AA)+P(AA)=.(2)依题意=0,
8、1,2,3.P(=0)=P()=,P(=1)=,P(=2)=,P(=3)=1-P(=0)-P(=1)-P(=2)=,所以随机变量的数学分布列为0123P所以随机变量的数学期望为E=0+1+2+3.高考冲关1.(5分)(2015山东高考)已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为()(附:若随机变量服从正态分布N(,2),则P(-+)=68.26%,P(-2+2)=95.44%)A.4.56%B.13.59%C.27.18%D.31.74%1.B【解析】由题意可得P(-3,3)=68.26%,P(-6,6)=95.44%
9、,则P(3,6)= P(-6,6)-P(-3,3)= =13.59%.2.(5分)为向国际化大都市迈进,沈阳市今年新建三大类重点工程,它们分别是30项基础设施类工程、20项民生类工程和10项产业建设类工程.现有来沈阳的3名工人相互独立地从60个项目中任选一个项目参与建设,则3人中有2人选择的项目属于基础设施类工程或产业建设类工程的概率是()A.B.C.D.2.B【解析】任意一名工人选择的项目属于基础设施类工程或产业建设类工程的概率是,则3人中有2人选择的项目属于基础设施类工程或产业建设类工程的概率是.3.(5分)(2015湖南长郡中学模拟)先后掷骰子(骰子的六个面上分别标有1,2,3,4,5,
10、6个点)两次,落在水平桌面后,记正面朝上的点数分别为x,y,设事件A为“x+y为偶数”,事件B为“x,y中有偶数且xy”,则概率P(B|A)=()A.B.C.D.3.A【解析】P(B|A)=.4.(5分)(2015新课标全国卷)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为()A.0.648B.0.432C.0.36D.0.3124.A【解析】若同学通过测试,则其需3次投篮投中2次或3次,即该同学通过测试的概率为0.62(1-0.6)+0.63=0.648.5.(5分)(2015上饶三模)如图,在网格
11、状小地图上,一机器人从A(0,0)点出发,每秒向上或向右行走1格到相应顶点,已知向上的概率是,向右的概率是,问6秒后到达B(4,2)点的概率为()A.B.C.D.5.D【解析】由题意可得,6秒钟里有4秒向右移动,2秒向上移动,则概率为.6.(5分)(2015重庆三诊)某校推行选修数学校本课程,每位同学可以从甲、乙两个科目中任选一个.已知某班第一小组和第二小组各六位同学的选课情况如下表:科目甲科目乙第一小组15第二小组24现从第一小组、第二小组中各选2人进行课程交流,则选出的4人均选修科目乙的概率为.6.【解析】P=.7.(5分)(2015河北百校联盟质检)已知某高校高三学生有2000名,在第一
12、次模拟考试中数学成绩服从正态分布N(120,2),已知P(100140)= =0.05,所以应从140分以上的试卷中抽100=5份.8.(5分)某校从6名教师中选派3名教师同时去3个边远地区支教,每地1人,在甲和乙不同去的条件下,甲和丙同去或不同去的概率为.8.【解析】记“甲和乙不同去”为事件A,“甲和丙同去或不同去”为事件B,则P(A)=,P(AB)=,所以P(B|A)=.9.(12分)(2015唐山三模)某项比赛规则是:先进行个人赛,每支参赛队的成绩前三名队员再代表本队进行团体赛,团体赛是在两队名次相同的队员之间进行且三场比赛同时进行.根据以往比赛统计:两名队员中个人赛成绩高的队员在各场获
13、胜的概率为,负的概率为,且各场比赛互不影响.已知甲、乙队各有5名队员,这10名队员的个人赛成绩如图所示:(1)计算两队在个人赛中成绩的均值和方差;(2)求甲队在团体赛中至少2名队员获胜的概率.9.【解析】(1)由题中数据可知, =88,=88; (85-88)2+(83-88)2+(86-88)2+(96-88)2+(90-88)2=21.2, (88-88)2+(84-88)2+(83-88)2+(92-88)2+(93-88)2=16.4.(2)设甲队参加个人能力比赛成绩前三名在对抗赛的获胜的事件分别为A,B,C,由题意可知P(A)=,P(B)=P(C)=,且A,B,C相互独立.设甲队至少
14、2名队员获胜的事件为E,则E=(ABC)(AB)(AC)(BC),则P(E)=.10.(13分)(2013新课标全国卷)一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件做检验,这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4件做检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件做检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为,且各件产品是否为优质品相互独立.(1)求这批产品通过检验的概率;(2)已知每件产品的检验费用为100元,且抽取的每件产品都需要
15、检验,对这批产品做质量检验所需的费用记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望.10.【解析】(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1,第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2,第二次取出的4件产品都是优质品为事件B1,第二次取出的1件产品是优质品为事件B2,这批产品通过检验为事件A,依题意有A=(A1B1)(A2B2),且A1B1与A2B2互斥,所以P(A)=P(A1B1)+P(A2B2)=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B2|A2)=.(2)X可能的取值为400,500,800,并且P(X=400)=1-,P(X=500)=,P(X=800)=,所以X的分布列为X400500800P则EX=400+500+800=506.25.