1、第六节变量间的相关关系与统计案例基础达标一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2015洛阳测试)两个变量y与x的回归模型中,求得回归方程为=lg(3x+10),当x=30时()A.y一定等于2B.y大于2C.y小于2D.y的值在2左右1.D【解析】将x=30代入回归方程得y=2,故y的值在2左右.2.设某大学的女生体重y(单位:kg)与身高x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一组样本数据(xi,yi)(i=1,2,n),用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71,则下列结论中不正确的是()A.y与x具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点的中心()C.若该大学某女生身高增加1 c
2、m,则其体重约增加0.85 kgD.若该大学某女生身高为170 cm,则可断定其体重必为58.79 kg2.D【解析】由回归方程为=0.85x-85.71知y随x的增大而增大,所以y与x具有正的线性相关关系,由最小二乘法建立的回归方程的过程知x+x+),所以回归直线过样本点的中心(),利用回归方程可以预测估计但不能作断定,所以D不正确.3.(2015大连二模)对变量x,y有观测数据(xi,yi)(i=1,2,10),得散点图1;对变量u,v有观测数据(ui,vi)(i=1,2,10),得散点图2.由这两个散点图可以判断()A.变量x与y正相关,u与v正相关B.变量x与y正相关,u与v负相关C.
3、变量x与y负相关,u与v正相关D.变量x与y负相关,u与v负相关3.C【解析】由散点图可知,y随着x的增大而减小,v随着u的增大而增大,所以变量x与y负相关,u与v正相关.4.(2016石家庄质检)某校为了研究“学生的性别”和“对待某一活动的支持态度”是否有关,运用22列联表进行独立性检验,经计算k=7.069,则认为“学生性别与支持活动有关系”的犯错误的概率不超过()A.0.1%B.1%C.99%D.99.9%附:P(K2k0)0.1000.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.8284.B【解析】因为7.0696.635,所以至少有99%的把
4、握认为“学生性别与支持活动有关系”,即认为“学生性别与支持活动有关系”出错的概率不超过1%.5.(2015邵阳联考)为了调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助,用简单随机抽样的方法从该地区调查了500位老人,其结果如下表:由K2=,得K2=9.967.附表:P(K2k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828参照附表,可得出的结论是()A.在犯错的概率不超过0.1%的前提下,认为“需要志愿者提供帮助与性别有关”B.在犯错的概率不超过0.1%的前提下,认为“需要志愿者提供帮助与性别无关”C.有99%以上的把握认为“需要志愿者提供帮助与性别有关”D.有99%以上的把握认
5、为“需要志愿者提供帮助与性别无关”5.C【解析】由题意可得K2=9.9676.635,所以有99%以上的把握认为“需要志愿者提供帮助与性别有关”.6.(2015广西桂林十八中月考)登山族为了了解某山高y(km)与气温x()之间的关系,随机统计了4次山高与相应的气温,并制作了对照表:气温x()181310-1山高y(km)24343864由表中数据,得到线性回归方程为=-2x+R),由此估计山高为72(km)处的气温为()A.-10B.-8C.-6D.-46.C【解析】由题中数据可得=10, =40,根据中心点()必在回归直线方程上,可得40=-210+,解得=60,即=-2x+60,那么当y=
6、72时,x=-6.7.有人发现,多看电视容易使人变冷漠,下表是一个调查机构对此现象的调查结果:冷漠不冷漠总计多看电视6842110少看电视203858总计8880168附表:P(K2k0)0.0500.010k03.8416.635则认为多看电视与人冷漠有关系的把握大约为()A.99%B.97.5%C.95%D.90%7.A【解析】可计算得K2=11.3776.635,因此有99%的把握认为多看电视与人冷漠有关.二、填空题(每小题5分,共5分)8.下表是某厂14月份用水量(单位:百吨)的一组数据,月份x1234用水量y4.5432.5由其散点图可知,用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系,其
7、线性回归方程是.8. =-0.7x+5.25【解析】由表中数据求得=2.5, =3.5,代入回归系数计算公式得=-0.7, -b=3.5+0.72.5=5.25,所以其线性回归方程为=-0.7x+5.25.高考冲关1.(5分)某公司为了对一种新产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据:单位x(元)456789销量y(件)908483807568由表中数据,求得线性回归方程为=-4x+.若在这些样本点中任取一点,则它在回归直线右上方的概率为()A.B.C.D.1.C【解析】由表中数据可得=80,则80=-4=106,所以线性回归方程为=-4x+106,则样本点中在回归直线
8、右上方的点有(6,83),(7,80),(8,75),则概率为.2.(5分)(2015银川二中二模)为了普及环保知识,增强环保意识,某大学从理工类专业的A班和文史类专业的B班各抽取20名同学参加环保知识测试.两个班同学的成绩(百分制)的茎叶图如图所示:按照大于或等于80分为优秀,80分以下为非优秀统计成绩.以下判断正确的是()附:P(K2k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828A.A班环保知识的测试成绩优于B班的可能性为99%B.可以认为环保知识测试成绩的95%由所学专业决定C.有把握认为A班学生环保知识测试成绩优秀的概率为95%D.有95%以上的把握认为环保知
9、识测试成绩与所学专业有关2.D【解析】由茎叶图建立22列联表,代入公式得4.9123.841,则有95%以上的把握认为环保知识测试成绩与所学专业有关.3.(5分)大学生小赵计划利用假期进行一次短期打工体验,已知小赵想去某工厂打工,老板告知每天上班的时间(单位:小时)和工资(单位:元),如下表所示:时间x2358912工资y30406090120m根据计算,小赵得知这段时间每天打工工资与每天工作时间满足的线性回归方程为=11.4x+5.9,若小赵在假期内打5天工,工作时间(单位:小时)分别为8,8,9,9,12,则这5天小赵获得工资的方差为()A.112B.240C.376D.4843.C【解析
10、】x的平均值为=6.5,而回归直线一定过点(),故=11.46.5+5.9=80,所以=80,故m=140,则小赵工作5天的工资的平均值为=112,方差为s2= (90-112)22+(120-112)22+(140-112)2=376.4.(5分)下列说法:将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,方差恒不变;设有一个回归方程=3-5x,变量x增加一个单位,y平均增加5个单位;回归直线x+必过();在一个22列联表中,由计算得K2=13.079,则有99.9%的把握确认这两个变量有关系.其中错误说法的个数是.本题可以参考独立性检验临界值表P(K2k0)0.50.400.250.150.
11、10k00.4550.7081.3232.0722.706P(K2k0)0.050.0250.0100.0050.001k03.8415.0246.6357.87910.8284.1【解析】将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,方差恒不变,正确;设有一个回归方程=3-5x,变量x增加一个单位,y平均减少5个单位,错误;回归直线x+必过(),正确;在一个22列联表中,由计算得K2=13.079,则有99.9%的把握确认这两个变量有关系,正确.5.(12分)2015年9月20日是第27个全国爱牙日.某区卫生部门成立了调查小组,调查“常吃零食与患龋齿的关系”,对该区六年级800名学生进行检
12、查,按患龋齿和不患龋齿分类,得汇总数据:不常吃零食且不患龋齿的学生有60名,常吃零食但不患龋齿的学生有100名,不常吃零食但患龋齿的学生有140名.(1)能否在犯错概率不超过0.001的前提下,认为该区学生的常吃零食与患龋齿有关系?(2)4名区卫生部门的工作人员随机分成两组,每组2人,一组负责数据收集,另一组负责数据处理.求工作人员甲分到负责数据收集组,工作人员乙分到负责数据处理组的概率.P(K2k0)0.0100.0050.001k06.6357.87910.828附:K2=5.【解析】(1)由题意可得列联表:不常吃零食常吃零食总计不患龋齿60100160患龋齿140500640总计2006
13、00800因为K2=16.66710.828,所以能在犯错概率不超过0.001的前提下,认为该区学生常吃零食与患龋齿有关系.(2)设其他工作人员为丙和丁,4人分组的所有情况如下表:小组123456收集数据甲乙甲丙甲丁乙丙乙丁丙丁处理数据丙丁乙丁乙丙甲丁甲丙甲乙分组的情况总共有6种,工作人员甲负责收集数据且工作人员乙负责处理数据的情况有两种,所以工作人员甲负责收集数据且工作人员乙负责处理数据的概率是P=.6.(13分)(2015银川一中期末考试)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)标准煤的几组对照数据:x3456y2.5344.5(1)请根据
14、上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程x+.(2)已知该厂技改前,100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据(1)求出的线性回归方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?(参考数值:32.5+43+54+64.5=66.5)6.【解析】(1)由对照数据:计算得xiyi=66.5,=32+42+52+62=86, =4.5, =3.5,故=0.7,=3.5-0.74.5=0.35,故=0.7x+0.35.(2)将x=100代入方程,得y=1000.7+0.35=70.35吨,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低90-70.35=19.65(吨).