1、数学课堂教学中落实核心素养的教学设计-以“利用二分法求方程的近似解”为例本文以北师大版普通高中课程标准实验教科书数学1(必修)第四章第一节，“利用二分法求方程的近似解”为例，探讨怎样在数学课堂教学中落实和发展学生的数学核心素养。一 基于数学核心素养的教学内容分析 本节内容是第四章第一节的第二课时内容，在第一课时中学生已经学习了“函数的零点与其对应方程解的关系”，为第二节求方程的实数解提供了思维上的准备，即利用函数来研究方程的实数解。本节的教学应着重引导学生理解二分法的思想，二分法求方程近似解的具体步骤，充分体会函数与方程、数形结合和逼近思想；同时体会几何画板，Excel，MATLAB在数学教学
2、中的工具性作用。二 设计目标1.通过具体实例，体会二分法的思想，掌握用二分法求解具体方程近似解的一般步骤，培养学生的数学推理、数学建模、直观想象、数学运算以及数据分析等数学核心素养。2.通过对二分法原理的探索，引导学生用联系的观点理解函数与方程的关系，以及数学建模在这一探索中的作用；二分法在线路检修、实验设计、资料查询等实际生活中的应用，充分认识数学源于生活，又服务于生活。3.通过具体实例的研究，体会二分法程序化的解决问题思想，为算法的学习作准备，以及信息技术在本节中的有力支持；体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一；在二分法原理的探索发现过程中，培养学生坚韧的意志品质。三教学重点和难点重
3、点：利用二分法求方程的近似解难点：二分法原理的探索；对方程近似解的精度把握和理解四教学手段借助合作讨论，使学生积极主动地参与学习；使用计算器或计算机，旨在加强数学与信息技术的交融，提倡学生利用课余时间学习计算机语言。五 教学过程创设情境，揭示课题上帝赐予他的童年占1/6；又过1/12他两颊长出了胡须；再过1/7，点燃了新婚的蜡烛；五年之后喜得贵子。可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半，便入黄泉。悲伤只有用数学研究去弥补，又过4年，他走完了人生的旅途。 丢番图的墓志铭古希腊大数学家丢番图把他的一生用一道代数题刻在了墓碑上，请同学们根据墓志铭上的描述，计算丢番图的年龄？（学生小活动）设计意图：通过对
4、丢番图年龄的计算，激发学生对数学文化的好奇心，为课题的学习做一个简单的预热。概念形成 探究新知大数学家丢番图年龄的计算是一个方程求解问题，前面我们已经学过一元一次方程、一元二次方程，那么，如何求出方程的实数解呢？设计意图：通过问题的提出，引发学生的思维，通过逐步设问，且加以合理引导，培养学生数学推理、数学建模等核心素养。通过提问，学生准备从两个角度“求根公式”和“函数思想”来解决本问题。对于“求根公式”，历史上数学家们已经给出了三次方程的求根公式，于是，和学生一起学习有关解方程的故事，进行数学文化的渗透，提高理科学生的人文素养。对于“函数思想”的引导，则是本课题的重点，也是本节课的核心。问题1
5、：用函数的思想来研究，应该构造哪个函数？学生容易得出：构造函数问题2：函数的什么性质与其对应的方程的根有关系？易知：零点。问题3：函数的零点存在吗？怎样判断函数零点的存在性呢？通过设问，引导学生回顾上一节的内容：（1） 函数的零点即的图像与轴交点的横坐标；（2） 函数的零点即对应方程的实数解；（3） 零点存在性定理：若函数在闭区间上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即，则在区间内，函数至少有一个零点，即相应的方程在区间内至少有一个实数解。经过学生的分析，发现：函数的图像是连续曲线，即它在任何一个闭区间上都连续。进一步通过引导，学生会发现，需要寻找函数零点所在区间。问题4：怎样找
6、出函数的一个零点所在区间呢？学生通过思考、讨论后，得出两种方法：1.借助函数图像：学生是通过两个不同角度来作图的，直接作出的图像，或者将方程化为，函数的零点即函数和的图像交点的横坐标。前者是三次多项式函数，学生不易作出图像，可借助几何画板实现，后者学生的思路非常好，充分体现函数与方程的关系。2.估算。由零点存在性定理知，需要找到函数值异号的两个值作为区间端点。问题5：怎样缩小零点所在区间的范围呢？设计一个小游戏：快乐猜猜猜游戏规则如下：某品牌手机价格在元之间，有一名学生猜测它的价格。每次猜后其余学生给出“多了”，“少了”的提示，问：采取怎样的策略才能在短时间内猜出正确答案呢？（误差不超过5元）
7、设计意图：通过生活中的实例，引入二分法，同时有效的帮助学生更深刻的理解二分法的原理，并能将其顺利的应用于求方程的近似解中缩小解的存在区间，有助于提高学生的数学推理与数学建模素养。事实上，商品竞猜是一个函数问题，设竞猜价格为元，物品价格为元，则，即“少了”；即“多了”；即“猜对了”，寻求有效方法，缩小与的距离，一种很好的方法-二分法。为了避免无限制的猜测，限制了“误差”，同样，在求方程近似解时也需要定义误差-精度。问题6：解的存在区间越小说明什么问题？精度如何达到?二等分的区间的次数如何确定？ 通过上述游戏，引导学生建立二分法的模型，并将其应用于求方程的近似解。在一定精度的要求下，通过不断取区间
8、中点，有限次重复相同步骤，借助函数零点存在性定理，将零点所在区间逐步缩小，当区间长度小于给定精度时，该区间内任意一个数可以作为方程的一个近似。问题7：以方程为例，用二分法求方程的一个近似解（精度为）。探究活动：利用二分法原理，借助计算器，完成表格。次数左端点右端点区间中点左端点函数值区间中点函数值右端点函数值区间长度第1次010.5-3-1.2521第2次0.510.75-1.250.0937520.5第3次第4次第5次第6次第7次第8次通过小组合作后，学生得出解的存在区间为：，区间长度为：，小于，可以选取作为该方程的一个近似解。同时，学生会发现，即使是利用计算器计算，也是很费时的。可见，二分
9、法求解方程近似解的思想是简明的，过程是重复的，但这又是计算机擅长的，故为了拓展学生视野，鼓励学生借助Excel或MATLAB语言实施二分法。归纳总结，提炼方法问题1：二分法的数学定义是什么？通过学生的理解及相互补充得出：对于在区间上连续不断且满足的函数，通过不断地把函数的零点所在区间每次二等分，使得区间的两个端点逐步逼近函数零点，进而得到函数零点近似值的方法叫二分法。问题2：利用二分法求方程近似解的具体步骤是什么？学生经过提炼总结得出如下结论：1. 通过试算或作图，寻找有解区间；2. 求区间中点，记为：；3. 计算（1） 若，则就是方程的解，结束；（2） 若，则方程的解；（3） 若，则方程的解
10、；4. 判断是否达到精度要求，若满足，则得到方程的近似解，否则重复2-4的步骤。课堂小结1. 本节课我们学习过哪些内容？2. 你认为学习“二分法”有什么意义？3. 本节课所蕴含的数学思想:函数与方程、数形结合、逼近思想作业布置分层作业 必做 求函数的零点（精度为0.1）； 选做：1.设计方法求的近似值（精度为0.01）； 2.借助Excel表格求方程的近似解； 3. 研究性课题：通过网络资源，写一篇小论文或小报告，如二分法在实际中的应用、解方程的故事我看“逼近”思想。教学反思本节课的教学设计“重操作、重发现、重思想方法”，在教学过程中，以学生思考，学生解决问题为主，教师旨在引导点拨，充分体现学生的主体、教师的主导思想。但以下两个方面还有待探索：1.二分法的提出时机。在学生解决完问题后提出二分法？还是小游戏后直接提出二分法？ 2.通过小游戏怎样有效的引导进而顺利的提出二分法？