1、2020-2021学年高二数学上学期期中测试卷04（人教A版）（理）（本卷满分150分，考试时间120分钟）测试范围：人教A版必修5全册+选修2-1全册一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1已知命题：，则为（ ）A，B，C，D，【答案】A【解析】因为命题：，所以为，故选A2关于x的不等式的解集为（ ）ABCD【答案】B【解析】不等式可化为，有，故不等式的解集为.故选B3设是非零实数，则“”是“成等差数列”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若依次成等差数列，则一
2、定成立，所以必要性成立，若，满足，但不成等差数列，即充分性不成立，所以“”是“成等差数列”的必要不充分条件，故选B4在中，则此三角形解的情况是（ ）A一解B两解C一解或两解D无解【答案】B【解析】因为，所以有两解.故选B.5已知等比数列，是方程的两实根，则等于（ ）A4BC8D【答案】A【解析】因为，是方程的两实根，由根与系数的关系可得 ，可知，因为是等比数列，所以，因为 ，所以，所以，故选6如图，在三棱柱中，为的中点，若，则下列向量与相等的是（）ABCD【答案】A【解析】由于是的中点，所以.故选A.7双曲线左、右焦点分别为，一条渐近线与直线垂直，点在上，且，则（ ）A6或30B6C30D6或
3、20【答案】C【解析】双曲线左、右焦点分别为，一条渐近线与直线垂直，可得，解得，点在上，所以在双曲线的右支上，则故选8已知实数，满足不等式组，则的最小值为（ ）A0BCD【答案】D【解析】不等式组表示的可行域如图所示，由，得，作出直线，即直线，将此直线向下平移过点时，直线在轴上的截距最小，此时取得最小值，由，得，即，所以的最小值为，故选D9已知数列满足，则（ ）A2BCD【答案】D【解析】由已知得，可以判断出数列是以4为周期的数列，故，故选D.10正四棱锥中，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）ABCD【答案】C【解析】建立如图所示的空间直角坐标系.有图知，由题得、.，.设平面的一个法向量，则，
4、令，得，.设直线与平面所成的角为，则.故选C.11在锐角三角形中，角、的对边分别为、，若，则的取值范围为（ ）ABCD【答案】A【解析】由和余弦定理得，又，.因为三角形为锐角三角形，则，即，解得，即，所以，则，因此，的取值范围是.故选A.12已知椭圆的方程为，上顶点为，左顶点为，设为椭圆上一点，则面积的最大值为.若已知，点为椭圆上任意一点，则的最小值为（ ）A2BC3D【答案】D【解析】在椭圆中，点，则，直线的方程为，设与直线平行的椭圆的切线方程为，由方程组得，由，得，则，两平行线间的距离，则面积的最大值为，得，当且仅当时取等号.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13设内角A，B
5、，C所对应的边分别为a，b，c.已知，则_【答案】【解析】由及正弦定理，得，即，因为，所以故填14已知数列的前n项和为，则_.【答案】【解析】由，得，令，则，即，所以，故填2915若正实数满足，则的最小值为_.【答案】6；【解析】因为，所以，即，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为6故填616以下四个关于圆锥曲线命题：“曲线为椭圆”的充分不必要条件是“”；若双曲线的离心率，且与椭圆有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为；抛物线的准线方程为；长为6的线段的端点分别在、轴上移动，动点满足，则动点的轨迹方程为其中正确命题的序号为_【答案】【解析】对于， “曲线为椭圆”的充要条件是“且”.
6、所以“曲线为椭圆”的必要不充分条件是“”，故错误；对于，椭圆的焦点为，又双曲线的离心率，所以双曲线的方程为，所以双曲线的渐近线方程为，故错误；对于，抛物线的方程化为标准式，准线方程为，故正确；对于，设，即，即动点的轨迹方程为.故正确.故填.三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知椭圆C：的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为2（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l：交椭圆C于A，B两点，且，求m的值【解析】（1）由题意可得，解得：，椭圆C的方程为；（2）设，联立，得，解得18已知两两垂直,为的中点，点在上，.（1）求的长；（2）若点在线段上，设,当
7、时，求实数的值【解析】（1）由题意， 以OA,OB,OC分别为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系， 由于为的中点，点在上，可得, （2）设 ，且点在线段上 19已知数列的前项和，等比数列的公比，且，是和的等差中项.（1）求和的通项公式；（2）令，的前项和记为，若对一切成立，求实数的最大值.【解析】（1）时，当时 也符合上式，所以，又和，得，或.， （2） 而随着的增大而增大，所以故有最大值为.20如图在中，点P在边上，（1）求；（2）若的面积为求【解析】（1）在中，设， 因为，又因为，由余弦定理得：即：，解得，所以，此时为等边三角形，所以；（2）由，解得，则，作交于D，如图所示：由（1）知，在等边
8、中，在中在中，由正弦定理得，所以21如图，在四棱锥中，平面，四边形为梯形，为侧棱上一点，且，.（1）证明：平面.（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【解析】（1）证明：如图所示，连接交于点，连接.四边形为梯形，且，即，在中，/又平面，平面，/平面.（2）如图所示，以点为坐标原点，以分别以、为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，则，.所以，设和分别是平面和平面的法向量，则，得，令得，即，得，令得，即所以，故平面和平面所成角锐二面角的余弦值为平面.22已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于M，N两点（1）若，直线l的斜率为2，求的面积；（2）设点P是线段的中点（点P与点F不重合，点是线段的垂直平分线与x轴的交点，若给定p值，请探究：是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由【解析】（1）由题意得，直线，抛物线联立，整理得，设，则， （2）由题意得，易知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为，联立，整理得设，则， 直线的方程为 令，得， ， ，即为定值，定值为p