1、兰州一中 2021-2022-2 学期期中考试试题 高一数学 说明：本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分. 总分 150 分,考试时间 120 分钟.第卷（选择题共 60 分）一单选题（共 8 小题，每小题 5 分）r ruurrruuurruurrr1已知向量a , b ，且 AB = a + 2b ，BC = -5a + 6b ，CD = 7a - 2b ，则一定共线的三点是（）AA，B，DBA，B，CCB，C，DDA，C，D2. 已知sina - sin b = 1 ， cosa - cos b = - 2 2 ，a ， b (0, p ) ，则a - b = （）A. - p
2、3B. - p32C pD p36333. 下列命题中是真命题的有（）A. 一组数据 2，1，4，3，5，3 的平均数、众数、中位数相同；B. 有 A、B、C 三种个体按 3：1：2 的比例分层抽样调查，如果抽取的 A 个体数为 9，则样本容量为 30；C. 若甲组数据的方差为 5，乙组数据为 5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是甲；D一组数 1，2，2，2，3，3，3，4，5，6 的 80%分位数为 4.rrrrrrrrrr4. 已知向量a ，b 满足 a = 4, b = (1, 2 2 ) ，且(a + 2b ) (3a - b ) 则向量a 与向量b 的夹角是（）A pB p
3、C 2pD 5p63365. 从 2，3，5，7 这四个数中任取三个数组成无重复数字的三位数，则这个三位数是奇数的概率为（）A. 13B. 23C. 34D. 566 2 cos 20- cos 40 = （）2 sin 40A. 3 2r rB. 12C3rrrrrD 13rr7. 已知i , j 为互相垂直的单位向量， a = -i + 2 j , b = 3i - (l - 4) j ，且a 与a - b 的夹角为锐角，则l 的取值范围为（）A (0, +)B (0,10) U(10, +)C (-,0)D (-, -2) U (-2, 0)8. 函数 f ( x) = sinwx +
4、coswx(w 0) 在区间p ,p 上单调递减,则实数w 的取值范围是（）A 1 ,1B 0, 1 2C 1 , 5 D (0,1 2 2 2 4 二多选题（共 4 小题，每小题 5 分，有漏选得 3 分，有错选得 0 分）9已知事件 A, B ，且 P ( A) = 0.4 ， P(B) = 0.3 ，则（）A如果 B A ，那么 P( A U B) = 0.4 , P( AB) = 0.3B. 如果 A 与 B 互斥，那么 P( A U B) = 0.7 , P( AB) = 0C. 如果 A 与 B 相互独立，那么 P( A U B) = 0.7 ， P( AB) = 0.12D. 如
5、果 A 与 B 相互独立，那么 P( AB) = 0.42 , P( AB) = 0.1810. 已知某地区有小学生120000 人，初中生75000 人，高中生55000 人，当地教育部门为了了解本地区中小学生的近视率，按小学生、初中生、高中生进行分层抽样，抽取一个容量为2000 的样本，得到小学生，初中生，高中生的近视率分别为30% ， 70% ，80% 下列说法中正确的有（ ）A从高中生中抽取了440 人B每名学生被抽到的概率为 1 150C估计该地区中小学生总体的平均近视率为 53% D.估计高中学生的近视人数约为4400011. 下列命题中是真命题的有（ ）A. 存在a ， b ，使
6、tan (a - b ) = tana - tan bB. 在DABC 中，若sin2A = sin 2B ，则DABC 是等腰三角形C. 在DABC 中，“ A B ”是“ sin A sin B ”的充要条件D. 在DABC 中，若cos A =5 ， cos B = 3 则cos C 的值为 631356512. 在DABC 中，角 A ， B ， C 所对的对边分别为a ， b ， c ，下列命题中正确的是（）A. 若 A B C ，则sin A sin B sin CB. 若a = 40 ， b = 20 ， B = 25 ，则满足条件的DABC 有且仅有一个C. 若a = b co
7、s C ，则DABC 是直角三角形D. 若DABC 为锐角三角形，且cos 2A -3 sin A + 2 = 0 .若b + c = 6，则DABC 外接圆面积3的最小值为9p第卷（非选择题）三填空题（共 4 小题，每小题 5 分）13. 已知数据 x , x , x ,L, x 的方差为 8，则数据 1 x + 5,1 x + 5,1 x + 5, L,1 x + 5 的方1 2 3n差为 .2 12 22 32 n14已知sin p + a = 2 ，则cos 2p - 2a = .63 3 15. 关于 x 的方程 3 sin x cos x + cos2 x = k + 1 在 x
8、0, 2 上有两个解，则实数 k 的取值范围为 uuuruuuruuuruuur uuur16. 设| AB |= 20 ，若平面上点 P 满足，对于任意t R ，有| AP - t AB | 5 ，则 PA PB 的最小值为 四、解答题 17（10 分）如图，在DABC 中， AD = 1 AB = 1， AC = 2 ，BAC = 60 ，点 E 是CD 的中点，3uuurruuurr记 AB = a ， AC = b r ruuur uuur(1) 用a , b 表示CD , AE ；(2) 求AED 的余弦值18甲、乙两所学校之间进行排球比赛，采用五局三胜制（先赢3 局的学校获胜，比赛
9、结束）约定比赛规则如下：先进行两局男生排球比赛，后进行女生排球比赛按照以往比赛经验，在21男生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为 3 ，乙校获胜的概率为 3 ，在女生排球比赛中，每12局甲校获胜的概率为 3 ，乙校获胜的概率为 3 ，设各局比赛相互之间没有影响且无平局(1) 求恰好比赛3 局，比赛结束的概率；(2) 求甲校以3:1 获胜的概率192021 年秋季学期，某省在高一推进新教材，为此该省某市教育部门组织该市全体高中教师在暑假期间进行相关学科培训，培训后举行测试（满分 100 分），从该市参加测试的数学老师中抽取了 100 名老师并统计他们的测试分数，将成绩分成五组，第一组65，70），
10、第二组70，75），第三组75，80），第四组80，85），第五组85，90，得到如图所示的频率分布直方图(1) 求 a 的值以及这 100 人中测试成绩在80，85）的人数；(2) 估计全市老师测试成绩的平均数（同组中的每个数据都用该组区间中点值代替）和中位数（保留两位小数）；(3) 若要从第三、四、五组老师中用分层抽样的方法抽取 6 人作学习心得交流分享，并在这 6人中再抽取 2 人担当分享交流活动的主持人，求第四组至少有 1 名老师被抽到的概率20已知函数 f ( x) = -1+ 23 sin x cos x + 2 cos2 x (1) 求函数 f ( x) 的单调减区间；(2)当
11、x - 7p , 5p 时，求函数 f ( x) 的值域 12 12 321. 如图所示，在海岸 A 处发现北偏东 45方向，距 A 处-1海里的 B 处有一艘走私船，3在 A 处北偏西 75方向，距 A 处 2 海里的 C 处的我方缉私船，奉命以20海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以 20 海里/小时的速度，从 B 处向北偏东 30方向逃窜问：缉私船应沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时间22. 已知DABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，且(2a - b)cosC = ccosB(1) 求角 C；(2) 若a = 2 , b = 3 , CD 为角 C 的
12、平线，求CD 的长；(3) 若a cos B + bcosA = 4 ，求锐角DABC 面积的取值范围.高一期中考试数学答案参考答案与试题解析一选择题（共8小题）题号12345678答案ACACCABC二多选题（共4小题）题号9101112答案ABDACDACACD三填空题（共4小题）132. 16-75四解答题（共6小题）17 【答案】(1)，.(2)【解析】 (1)根据题意，利用向量的加法的线性运算，直接计算即可.(2)根据题意，得，且，由(1)得，所以，可以分别求出，然后，直接利用余弦定理即可求出的余弦值(1)因为是的中点，所以，.(2)在中， 所以，且，所以，是的中点，所以，.因此，在
13、中，利用余弦定理得，.18. 【答案】(1)(2)【解析】（1）分甲校获胜和乙校获胜两种情况讨论，利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率；（2）分两种情况讨论：前两局男排比赛中甲全胜，第三局比赛甲负，第四局比赛甲胜；前两局男排比赛中甲胜负，第三局比赛甲胜，第四局比赛甲胜，利用独立事件与互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率.(1)解：恰好比赛局，比赛结束的情况有：甲校获胜，概率为，乙校获胜，概率为，恰好比赛局，比赛结束的概率(2)解：甲校以获胜的情况有：前两局男排比赛中甲全胜，第三局比赛甲负，第四局比赛甲胜，概率为：；前两局男排比赛中甲胜负，第三局比赛甲胜，第四局比赛甲胜，概率为
14、，甲校以获胜的概率19. 【答案】(1);20；(2)分,76.67分(3)【解析】（1）根据频率之和为1，可求得a的值，根据频数的计算可求得测试成绩在80，85）的人数；（2）根据频率分布直方图可计算中位数，即可求得第50%分数位；（3）列举出所有可能的抽法，再列出第四组至少有1名老师被抽到可能情况，根据古典概型的概率公式求得答案.(1)由题意得： ，解得 ；这100人中测试成绩在80，85）的人数为 （人）；(2)平均数为： （分），设中位数为m,且 ，则 ，解得 ，故第50%分数位76.67分；(3)第三组频率为 ，第四组频率为，第五组频率为，故从第三、四、五组老师中用分层抽样的方法抽取
15、6人作学习心得交流分享，三组人数为3人，2人和1人，记第三组抽取的人为 , 第四组抽取的人为 , 第五组抽取的人为 ,则抽取2人的所有情况如下： 共15种，其中第四组至少有1名老师被抽到的抽法有共9种，故第四组至少有1名老师被抽到的概率为 .20. 【答案】 (1)单调减区间是，(2)【解析】（1）先对函数化简变形得， 由，可求出函数的减区间，（2）由，得，再利用正弦函数的性质可求出函数的值域(1)，令，解得，所以函数的单调减区间是，；(2由，得，所以，所以，所以函数的值域为21 【答案】缉私船应沿北偏东60的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要小时.【解析】在中，由余弦定理求得，由正弦定理求得，在中，由正弦定理求得BCD，得，由速度公式可得时间【详解】设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获（在D点）走私船，则海里，BD=20t海里在中，由余弦定理，有则.又，ABC=45，故B点在C点的正东方向上CBD=90+30=120，在中，由正弦定理得，BCD=30，则缉私船应沿北偏东60的方向行驶又在中，CBD=120，DCB=30，CDB=30，.，解得，故缉私船应沿北偏东60的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要小时22 【答案】(1)(2)(3) (1)解：由及正弦定理得所以，(2)解：设由得.解得，即角平分线的长度为(3)解：设外接圆半径为R，由，即，即，所以的面积，