1、2020年兰州一中高考数学模拟试卷2（理科）（命题：赵瑞 审题：卢文彬）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合Ax|x2x60，集合Bx|x10，则（RA）B（ ）A（1，3）B（1，3C3，+）D（3，+）2设复数z满足（z+2i）i34i，则复数 在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3若非零实数a，b满足 ，则下列式子一定正确的是（）AbaBbaC|b|a|D|b|a|4已知为锐角，则 （）ABC2D35已知f（k）k+（1）k，执行如图所示
2、的程序框图，若输出k的值为4，则判断框内可填入的条件是（）A s3？Bs5？Cs15？ Ds10？6 在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，2），N（1，0）若动点M满足，则的取值范围是（）A0，2B0，2C2，2D2，27中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍如图，是利用算筹表示数19的一种方法例如：3可表示为“”，26可表示为“”现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用19这9数字表示两位数的个数为（ ）A16B15C14D138已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x0时，f（x）x24x，则不等式f（x+2）5的解集为（
3、 ）A（3，7）B（4，5）C（7，3）D（2，6）9已知双曲线C：，O为坐标原点，直线xa与双曲线C的两条渐近线交于A，B两点，若OAB是边长为2的等边三角形，则双曲线C的方程为（ ）ABCD10甲、乙二人玩数字游戏，先由甲任意想一个数字，记为m，再由乙猜想甲刚才想的数字，把猜出的数字记为n，且m，n1，2，3，若|mn|1，则称二人“心有灵犀”，现任意找二人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ ）ABCD11已知函数，若方程的解为，则（ ）ABCD12已知函数f（x）kx，g（x）2lnx+2e（xe2），若f（x）与g（x）的图象上分别存在点M，N，使得M，N关于直线ye对称，则实数
4、k的取值范围是（ ）ABCD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13的展开式的常数项是 14设m，n为正数，且m+n2，则的最小值为 15设f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f（x），若f（x）+f（x）1，f（0）2020，则不等式exf（x）ex+2019（其中e为自然对数的底数）的解集为 16已知点A是以BC为直径的圆O上异于B，C的动点，P为平面ABC外一点，且平面PBC平面ABC，BC3，PB2，PC，则三棱锥PABC外接球的表面积为 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题学生都必须作答。第22、23题为选考题，
5、考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17（12分）如图，已知三棱柱ABCA1B1C1中，平面AA1C1C平面ABC，AA1AC，ACBC（1）证明：A1CAB1；（2）设AC2CB，A1AC60，求二面角C1AB1B的正弦值18(12分）已知数列an的前n项和为Sn，（1）求数列an的通项公式；（2）若19（12分）某保险公司给年龄在2070岁的民众提供某种疾病的一年期医疗保险，现从10000名参保人员中随机抽取100名作为样本进行分析，按年龄段20，30），30，40），40，50），50，60），60，70分成了五组，其频率分布直方图如图所示；参保年龄与每人每年应交纳的保费如表所示据
6、统计，该公司每年为这一万名参保人员支出的各种费用为一百万元，年龄（单位：岁）20，30）30，40）40，50）50，60）60，70保费（单位：元）x2x3x4x5x（1）用样本的频率分布估计总体分布，为使公司不亏本，求精确到整数时的最小值x0；（2）经调查，年龄在60，70之间的老人每50人中有1人患该项疾病（以此频率作为概率）该病的治疗费为12000元，如果参保，保险公司补贴治疗费10000元某老人年龄66岁，若购买该项保险（x取（）中的x0），针对此疾病所支付的费用为X元；若没有购买该项保险，针对此疾病所支付的费用为Y元，试比较X和Y的期望值大小，并判断该老人购买此项保险是否划算？20
7、（12分）已知抛物线的焦点为 ，点 ，点 在抛物线 上，且满足（O为坐标原点）.（1）求抛物线 的方程；（2）过焦点 任作两条相互垂直的直线l与，直线l与抛物线 交于 两点，直线与抛物线C交于M，N两点，的面积记为， 的面积记为，求证：为定值.21（12分）已知函数（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若存在成立，求整数a的最小值（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：坐标系与参数方程（10分）22在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2
8、cos（1）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）已知曲线C3的极坐标方程为（0，R），点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，A、B均异于原点O，且|AB|2，求实数的值转化为直角坐标方程；选修4-5：不等式选讲（10分）23已知函数f（x）|xm|x+2|（mR），不等式f（x2）0的解集为（，4（1）求m的值；（2）若a0，b0，c3，且a+2b+c2m，求（a+1）（b+1）（c3）的最大值2020年兰州一中高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合Ax|x2x60
9、，集合Bx|x10，则（RA）B（C）A（1，3）B（1，3C3，+）D（3，+）2设复数z满足（z+2i）i34i，则复数在复平面内对应的点位于（B）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3若非零实数a，b满足2a3b，则下列式子一定正确的是（C）AbaBbaC|b|a|D|b|a|4已知为锐角，cos，则tan（+）（D）ABC2D35已知f（k）k+（1）k，执行如图所示的程序框图，若输出k的值为4，则判断框内可填入的条件是（D）B s3？Bs5？Cs15？ Ds10？6在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，2），N（l，0）若动点M满足，则的取值范围是（D）A0，2B0，2C2，2
10、D2，27中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍如图，是利用算筹表示数19的一种方法例如：3可表示为“”，26可表示为“”现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用19这9数字表示两位数的个数为（A）A16B15C14D138（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x0时，f（x）x24x，则不等式f（x+2）5的解集为（C）A（3，7）B（4，5）C（7，3）D（2，6）9已知双曲线C：，O为坐标原点，直线xa与双曲线C的两条渐近线交于A，B两点，若OAB是边长为2的等边三角形，则双曲线C的方程为（A）Ay21Bx21C1D
11、110甲、乙二人玩数字游戏，先由甲任意想一个数字，记为m，再由乙猜想甲刚才想的数字，把猜出的数字记为n，且m，n1，2，3，若|mn|1，则称二人“心有灵犀”，现任意找二人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（D）ABCD11已知函数f（x）sin（2x），若方程f（x）的解为x1，x2（0x1x2），则sin（x1x2）（B）ABCD12已知函数f（x）kx，g（x）2lnx+2e（xe2），若f（x）与g（x）的图象上分别存在点M，N，使得M，N关于直线ye对称，则实数k的取值范围是（B）A，B，2eC，2eD，+）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13（x2+2）（）5
12、的展开式的常数项是 3 14设m，n为正数，且m+n2，则的最小值为 15设f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f（x），若f（x）+f（x）1，f（0）2020，则不等式exf（x）ex+2019（其中e为自然对数的底数）的解集为 （0，+） 16已知点A是以BC为直径的圆O上异于B，C的动点，P为平面ABC外一点，且平面PBC平面ABC，BC3，PB2，PC，则三棱锥PABC外接球的表面积为10 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题学生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17（12分）如图，
13、已知三棱柱ABCA1B1C1中，平面AA1C1C平面ABC，AA1AC，ACBC（1）证明：A1CAB1；（2）设AC2CB，A1AC60，求二面角C1AB1B的正弦值【解答】（1）证明：连结AC1AA1AC，四边形AA1C1C为菱形，A1CAC1平面AA1C1C平面ABC，平面AA1C1C平面ABCAC，BC平面ABC，BCAC，BC平面AA1C1C又BCB1C1，B1C1平面AA1C1C，B1C1A1CAC1B1C1C1，A1C平面AB1C1，而AB1平面AB1C1，A1CAB1（2）取A1C1的中点为M，连结CMAA1AC，四边形AA1C1C为菱形，A1AC60，CMA1C1，CMAC又
14、CMBC，以C为原点，CA，CB，CM为正方向建立空间直角坐标系，如图设CB1，AC2CB2，AA1AC，A1AC60，C（0，0，0），A1（1，0，），A（2，0，0），B（0，1，0），B1（1，1，）由（1）知，平面C1AB1的一个法向量为设平面ABB1的法向量为，则并且，令x1，得，即，二面角C1AB1B的正弦值为：18已知数列an的前n项和为Sn，（1）求数列an的通项公式；（2）若【解答】解：（1） 19某保险公司给年龄在2070岁的民众提供某种疾病的一年期医疗保险，现从10000名参保人员中随机抽取100名作为样本进行分析，按年龄段20，30），30，40），40，50），50
15、，60），60，70分成了五组，其频率分布直方图如图所示；参保年龄与每人每年应交纳的保费如表所示据统计，该公司每年为这一万名参保人员支出的各种费用为一百万元，年龄（单位：岁）20，30）30，40）40，50）50，60）60，70保费（单位：元）x2x3x4x5x（1）用样本的频率分布估计总体分布，为使公司不亏本，求z精确到整数时的最小值x0；（2）经调查，年龄在60，70之间的老人每50人中有1人患该项疾病（以此频率作为概率）该病的治疗费为12000元，如果参保，保险公司补贴治疗费10000元某老人年龄66岁，若购买该项保险（x取（）中的x0），针对此疾病所支付的费用为X元；若没有购买该项
16、保险，针对此疾病所支付的费用为Y元，试比较X和Y的期望值大小，并判断该老人购买此项保险是否划算？【解答】解：（1）由（0.007+0.016+a+0.025+0.020）101，解得a0.032保险公司每年收取的保费为：10000（0.07x+0.162x+0.323x+0.254x+0.205x）100003.35x要使公司不亏本，则100003.35x1000000，即3.35x100，解得x29.85，x030（2）若该老人购买了此项保险，则X的取值为150，2150P（X150），P（Y2150）E（X）147+43190元若该老人没有购买此项保险，则Y的取值为0，12000P（Y0）
17、，P（Y12000），所以E（Y）240元，所以E（Y）E（X）年龄为66的该老人购买此保险比较划算20已知抛物线的焦点为F，点，点B在抛物线C上，且满足（O为坐标原点）.（1）求抛物线C的方程；（2）过焦点F任作两条相互垂直的直线l与，直线l与抛物线C交于P，Q两点，直线与抛物线C交于M，N两点，的面积记为，的面积记为，求证：为定值.【解答】解：(1)设因为点B在抛物线C上，（2）由题意得直线l的斜率存在且不为零，设，代入得，所以因此，同理可得因此21（12分）已知函数（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若存在成立，求整数a的最小值【解答】解：（1）由题意可知，x0，方程x2+xa0对应的
18、14a，当14a0，即时，当x（0，+）时，f（x）0，f（x）在（0，+）上单调递减； （2分）当时，方程x2+xa0的两根为，且，此时，f（x）在上f（x）0，函数f（x）单调递增，在上f（x）0，函数f（x）单调递减；（4分）当a0时，此时当，f（x）单调递增，当时，f（x）0，f（x）单调递减； （6分）综上：当a0时，f（x）单调递增，当时，f（x）单调递减；当时，f（x）在上单调递增，在上单调递减；当时，f（x）在（0，+）上单调递减； （7分）（2）原式等价于（x1）axlnx+2x1，即存在x1，使成立设，x1，则，（9分）设h（x）xlnx2，则，h（x）在（1，+）上单调递
19、增又h（3）3ln321ln30，h（4）4ln4222ln20，根据零点存在性定理，可知h（x）在（1，+）上有唯一零点，设该零点为x0，则x0（3，4），且h（x0）x0lnx020，即x02lnx0，（11分）由题意可知ax0+1，又x0（3，4），aZ，a的最小值为5（12分）（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2cos（1）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（
20、2）已知曲线C3的极坐标方程为（0，R），点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，A、B均异于原点O，且|AB|2，求实数的值转化为直角坐标方程；【解答】解：（1）由曲线C1的参数方程为参数），得曲线C1的普通方程为，由曲线C2的极坐标方程2cos，得C2的直角坐标方程为（x1）2+y21；（2）曲线C1化为极坐标方程为，设A（1，），B（2，），则，由知，或，或选修4-5：不等式选讲（10分）23已知函数f（x）|xm|x+2|（mR），不等式f（x2）0的解集为（，4（1）求m的值；（2）若a0，b0，c3，且a+2b+c2m，求（a+1）（b+1）（c3）的最大值【解答】解：（1）f（x）|xm|x+2|，f（x2）|xm2|x|0的解集为（，4，|xm2|x|，解得m+28，即m6（2）m6，a+2b+c12又a0，b0，c3，当且仅当a+12b+2c3，结合a+2b+c12解得a3，b1，c7时，等号成立，（a+1）（b+1）（c3）的最大值为32.
