专题10 倍长中线模型巩固练习（提优）-冲刺2021年中考几何专项复习（解析版）.docx

1、倍长中线模型巩固练习（提优）1.如图，ABC为等边三角形，BDDE，BDE120，连接CE，F为CE的中点，连接DF并倍长，连接AD、CG、AG.下列结论：CGDE；若DEBC，则ABHGBD；在的条件下，若CEBC，则.其中正确的有（ ）A.都正确B.只有正确C.只有正确D.只有正确【解答】A【解析】点F是EC的中点，CFEF，在CFG和EFD中，CFGEFD（SAS），CGDE，故本选项正确；DEBC，BDE120，GBD60（两直线平行，同旁内角互补），ABC是等边三角形，ABCACB60，ABAC，ABDABCGBD120，ACG180-ACB120，ABDACG又CGDE，DBDE，

2、BDCG，在ABD与ACG中，ABDACG（SAS），ADAG，BADCAG，DAG60，ADG是等边三角形，ADG60，BDGBDHADGBDH60，又AHBBDHGBDBDH60，AHBGDB（等量代换），ABHGBD，ABHGBD，故本选项正确；如图所示，过点D作DQBC于点Q，ECBC，D/CE.又DEBC，四边形DECQ是矩形，CQDE.BDDE，DECG，CQCG，设，则在RtBDQ中，由特殊角的三角函数值求得，在RtGQD中，由勾股定理求得，由知ADG是等边三角形，则ADGD，即，故本选项正确；综上所述，正确的结论是.2.小明遇到这样一个问题，如图1，ABC中，AB7，AC5，点

3、D为BC的中点，求AD的取值范围.小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长AD到E，使DEAD，连接BE，构造BEDCAD，经过推理和计算使问题得到解决请回答：（1）小明证明BEDCAD用到的判定定理是： （用字母表示），（2）AD的取值范围是 ；（3）小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造.参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在正方形ABCD中，E为AB边的中点G、F分别为AD，BC边上的点，若AG2，B

4、F4，GEF90，求GF的长.【解答】（1）SAS；（2）1AD6；（3）GF6【解析】（1）在BED与CAD中，BEDCAD（SAS）；（2）BEDCAD，BEAC5，AB7，2AE12，22AD12，1AD6.（3）延长GE交CB的延长线于点M，如图所示：四边形ABCD是正方形，ADCM，AGEM，在AEG和BEM中，AEGBEM（AAS），GEEM，AGBM2，EFMG，FGFM，BF4，MFBFBM246，GFFM6.3.如图1，在ABC中，点D是BC的中点，延长AD到点G，使DGAD，连接CG，可以得到ABDGCD，这种作辅助线的方法我们通常叫做“倍长中线法”如图2，在ABC中，点D

5、是BC的中点点E是AB上一点，连接ED，小明由图1中作辅助线的方法想到：延长ED到点G，使DGED，连接CG.（1）请直接写出线段BE和CG的关系： ；（2）如图3，若A90，过点D作DFDE交AC于点F，连接EF，已知BE3，其它条件不变，求EF的长.【解答】（1）BECG；（2）EF【解析】（1）点D是BC的中点，BDCD，在EBD和GCD中，EBDGCD（SAS），BECG；（2）连接GF，如图所示：由（1）知EBDGCD，BGCD，BECG3，又A90，BBCA90，GCDBCA90，即GCF90，CG3，DFDE，且DEDG，EFFG.4.自主学习，学以致用先阅读，再回答问题：如图1

6、，已知ABC中，AD为中线。延长AD至E，使DEAD.在ABD和ECD中，ADDE，ADBEDC，BDCD，所以，ABDECD（SAS），进一步可得到ABCE，ABCE等结论.在已知三角形的中线时，我们经常用“倍长中线”的辅助线来构造全等三角形，并进一步解决一些相关的计算或证明题。解决问题：如图2，在ABC中，AD是三角形的中线，F为AD上一点，且BFAC，连结并延长BF交AC于点E，求证：AEEF.【解答】见解析【解析】证明：延长AD至点G，使得DFDG，连接CG，如图所示：AD是中线，BDDC，在BDF和CDG中，BDFCDG，BFCG，BFDG，AFEBFD，AFEG，BFCG，BFAC

7、，CGAC，GCAF，AFECAF，AEEF.5.定义：如图1，在ABC中，把AB绕点A逆时针旋转a（0180）并延长一倍得到AB，把AC绕点A顺时针旋转并延长一倍得到AC，连接BC.当时，称ABC是ABC的“倍旋三角形”，ABC边BC上的中线AD叫做ABC的“倍旋中线”.特例感知：（1）如图1，当BAC90，BC4时，则“倍旋中线”AD长为 ；如图2，当ABC为等边三角形时，“倍旋中线”AD与BC的数量关系为 ；猜想论证：（2）在图3中，当ABC为任意三角形时，猜想“倍旋中线”AD与BC的数量关系，并给予证明.【解答】（1）AD4，ADBC；（2）ADBC，证明见解析【解析】（1）BAC90

8、，BAC90BAC，根据题意知，AB2AB，AC2AC，ABCABC，BC2BC，在RtABC中，AD是斜边中线，BC2AD，ADBC4；如图2，A BC是等边三角形，ABAC BC，BAC60，AD是A BC的中线，ADB90，由题意得AB2AB，AC2AC，ABAC，由得，BC30，如图所示，过点A作AEBC于点E，BC2BE，在RtABE中，；（2）ADBC，证明：由题意知，AB2AB，AC2AC，延长AD到M，使DMAM，连接BM，CM，AM2AD，AD是ABC的中线，BDCD，四边形ABMC是平行四边形，ACBM2AC，BACABM180，BABCAC180，BACBAC180，BA

9、CABM，AB2AB，BACABM，AM2BC，ADBC.6.已知抛物线经过A（，0），B（1，0），点P为抛物线上一动点，直线与轴交于点D.（1）求此抛物线解析式；（2）如图1，连结OP并倍长至Q，试说明在直线上有且仅有一点M，使OMQ90;（3）如图2，连结PO并延长交抛物线于另一点T，求证：y轴平分PDT.【解答】（1）；（2）见解析；（3）见解析【解析】（1）设抛物线的解析式为，将点C的坐标代入解得，该抛物线的函数解析式为；（2）作PM与定直线垂直，垂足为M点，如图所示：设，则，由“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直”可得，M点是唯一的，即以P为圆心，PO为半径的圆恰好与定直线相切于点M，切点M当然也是唯一的，在直线上有且只有一点M，使得OMQ90；（3）设直线PT的解析式为，作TE与定直线垂直，垂足为E，作PF与定直线垂直，垂足为F，如图所示：设，由消去整理得，由韦达定理可得，又，TDEPDF，ODTODP，即轴平分PDT.