1、专题10 以分段函数为背景的解不等式【方法点拨】1. 遇绝对值往往直接转化为分段函数解决.2. 以分段函数为背景的解不等式，注意对分类后结果的处理，一般“类中取交、类后取并”（即分类过程中，不等式取交集，而最终结果应取各类之并集）.【典型题示例】例1 (2021全国乙卷理23改编)已知函数（1）当时，不等式的解集是 ;（2）若，则实数a的取值范围是 【答案】（1）.（2）.【分析】（1）利用绝对值的几何意义求得不等式的解集.（2）利用绝对值不等式化简，由此求得的取值范围.【解析】（1）当时，表示数轴上的点到和的距离之和，则表示数轴上的点到和的距离之和不小于，当或时所对应数轴上的点到所对应的点距
2、离之和等于6，数轴上到所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是或，所以的解集为.（2）依题意，即恒成立，当且仅当时取等号，,故，所以或，解得.点评：解绝对值不等式的方法有零点分段法、几何意义法解含有两个绝对值，且其中的的系数相等时，可以考虑利用数轴上绝对值的几何意义求解；利用绝对值三角不等式求最值也是常见的问题，注意表述取等号的条件.例2 已知函数,则不等式的解集是 【答案】.【分析】在同一直角坐标系内作出函数、的图象，根据图象即可解出【解析】将函数的图象向左平移个单位，可得函数的图象，如图所示：由，解得所以不等式的解集为【巩固训练】1.已知函数，则关于x的不等式的解集为 2.
3、设函数f(x)则满足f(x1)f(2x)的x的取值范围是()A(，1 B(0，)C(1,0) D(，0)3.已知f (x)(x1) |x|3x若对于任意xR，总有f (x)f (xa)恒成立，则常数a的最小值是_4.已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是 .5.已知函数是定义在上的奇函数，当时，则不等式的解集为 6.已知函数，则不等式的解集为_.7. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)(|xa2|x2a2|3a2)若对于任意xR，有f(x1)f(x)，则实数a的取值范围为 【答案与提示】1.【答案】【分析】作出函数图象，考察动区间间图象的单调性，易得，当即时，此即
4、为“临界值”，而动区间右移时满足题意，故,所以不等式的解集为.2.【答案】D【解析】法一：分类讨论法当即x1时，f(x1)f(2x)，即为2(x1)22x，即(x1)2x，解得x1.因此不等式的解集为(，1当时，不等式组无解当即1x0时，f(x1)f(2x)，即为122x，解得x0时，f(x1)1，f(2x)1，不合题意综上，不等式f(x1)f(2x)的解集为(，0)法二：数形结合法f(x)函数f(x)的图象如图所示结合图象知，要使f(x1)f(2x)，则需或x0，故选D.3.【答案】3【提示】f (x)，作出函数f (x)的图象得：作平行于x轴的直线l与f(x)图象有三个交点，设最左边与最右边的交点分别为M，N，如图所示，则a的最小值即为线段MN长的最大值设直线l的方程为yt，可得MN33333 所以，a的最小值是3【说明】1.本题的难点是要能结合函数的图象发现常数a的最小值即为线段MN长的最大值2.本题也可使用导数知识解决.4.【答案】【解析】设，则对任意的恒成立，意即将图象上的每一点向左平移个单位后，所得到的图象不可能在的上方.因为如图，由图象得，又因为，故.-1a1𝑎yxO5.【答案】【提示】利用奇函数，求出时，代入分段求出，或直接使用图象，数形结合求出.6.【答案】【提示】去绝对值，分段求出，或直接使用图象，数形结合求出.7.【答案】，.
