1、专题10.二次函数一、单选题1（2021山西中考真题）抛物线的函数表达式为，若将轴向上平移2个单位长度，将轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（ ）A B C D【答案】C【分析】将题意中的平移方式转换成函数图像的平移，再求解析式即可【详解】解：若将轴向上平移2个单位长度，相当于将函数图像向下平移2个单位长度，将轴向左平移3个单位长度，相当于将函数图像向右平移3个单位长度，则平移以后的函数解析式为：化简得：，故选：C【点睛】本题主要考查二次函数图像平移，将题意中的平移方式转换为函数图像的平移是解决本题的关键2（2021四川凉山彝族自治州中考真题）二次函数的图象
2、如图所示，则下列结论中不正确的是（ ）A B函数的最大值为 C当时， D【答案】D【分析】根据抛物线开口方向、抛物线的对称轴位置和抛物线与y轴的交点位置可判断a、b、c的符号，利用抛物线的对称性可得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-3，0），从而分别判断各选项【详解】解：抛物线开口向下，a0，抛物线的对称轴为直线x=-1，即b=2a，则b0，抛物线与y轴交于正半轴，c0，则abc0，故A正确；当x=-1时，y取最大值为，故B正确；由于开口向上，对称轴为直线x=-1，则点（1，0）关于直线x=-1对称的点为（-3，0），即抛物线与x轴交于（1，0），（-3，0），当时，故C正确；由图像可知：当
3、x=-2时，y0，即，故D错误；故选D【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a0时，抛物线向上开口；抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab0），对称轴在y轴右常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）3（2021四川达州市中考真题）如图，已知抛物线（，为常数，）经过点，且对称轴为直线，有下列结论：；无论，取何值，抛物线一定经过；其中正确结论有（ ）A1个B2个C3个D4个【答案】D【分析】根据图像开口向
4、上，对称轴位置，与y轴交点分别判断出a,b,c的正负根据对称轴公式，判断的大小关系根据时，比较与0的大小；根据抛物线的对称性，得到与时的函数值相等结合的结论判断即可根据抛物线对称轴找到顶点坐标的纵坐标，比较任意一点与顶点的纵坐标值，即比较函数值的大小即可判断结论【详解】图像开口朝上，故 ，根据对称轴“左同右异”可知，图像与y轴交点位于x轴下方，可知c0故正确；得 故错误；经过 又由得c，则可对进行判断；由于方程ax2+bx+c=1有2个根，方程ax2+bx+c=-1有2个根，则利用根与系数的关系可对进行判断【详解】解：抛物线开口方向向下，a0，抛物线与y轴交于正半轴，c0，对称轴在y轴右侧，b
5、0，abc0，错误；抛物线与x轴有两个交点0，故错误；抛物线的对称轴为直线x=1，由图象得，当时，故正确；当时，的值最大，当时，（），b0，（），故正确；方程|ax2+bx+c|=1有四个根，方程ax2+bx+c=1有2个根，方程ax2+bx+c=-1有2个根，所有根之和为2（-）=2=4，所以错误正确的结论是，故选：A【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小当a0时，抛物线向上开口；当a0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置当a与b同号时（即ab0），对称轴在y轴左； 当a与b异
6、号时（即ab0），对称轴在y轴右常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）抛物线与x轴交点个数由决定：=b2-4ac0时，抛物线与x轴有2个交点；=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；=b2-4ac0时，抛物线与x轴没有交点10（2021山东泰安市中考真题）将抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过（ ）ABCD【答案】B【分析】根据二次函数平移性质“左加右减，上加下减”，得出将抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线的解析式，代入求值即可.【详解】解：将抛物线化为顶点式，即：，将抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移
7、2个单位，根据函数图像平移性质：左加右减，上加下减得：，A选项代入，不符合；B选项代入， ，符合；C选项代入， ，不符合；D选项代入，不符合；故选：B【点睛】本题主要考查函数图像平移的性质，一般先将函数化为顶点式：即的形式，然后按照“上加下减，左加右减”的方式写出平移后的解析式，能够根据平移方式写出平移后的解析式是解题关键11（2021四川资阳市中考真题）已知A、B两点的坐标分别为、，线段上有一动点，过点M作x轴的平行线交抛物线于、两点若，则a的取值范围为（ ）ABCD【答案】C【分析】先根据题意画出函数的图象，再结合图象建立不等式组，解不等式组即可得【详解】解：由题意得：线段（除外）位于第四
8、象限，过点且平行轴的直线在轴的下方，抛物线的顶点坐标为，此顶点位于第一象限，画出函数图象如下：结合图象可知，若，则当时，二次函数的函数值；当时，二次函数的函数值，即，解得，又，故选：C【点睛】本题考查了二次函数与一元一次不等式组，熟练掌握二次函数的图象与性质，以及图象法是解题关键12（2021四川泸州市中考真题）直线l过点(0，4)且与y轴垂直，若二次函数（其中x是自变量）的图像与直线l有两个不同的交点，且其对称轴在y轴右侧，则a的取值范围是（ ）Aa4Ba0C0a4D0a4【答案】D【分析】由直线l：y=4，化简抛物线，令，利用判别式，解出，由对称轴在y轴右侧可求即可【详解】解：直线l过点(
9、0，4)且与y轴垂直，直线l：y=4，二次函数（其中x是自变量）的图像与直线l有两个不同的交点，又对称轴在y轴右侧，0a4故选择D【点睛】本题考查二次函数与直线的交点问题，抛物线对称轴，一元二次方程两个不等实根，根的判别式，掌握二次函数与直线的交点问题转化为一元二次方程实根问题，根的判别式，抛物线对称轴公式是解题关键13（2021浙江中考真题）已知抛物线与轴的交点为和，点，是抛物线上不同于的两个点，记的面积为的面积为有下列结论：当时，；当时，；当时，；当时，其中正确结论的个数是（ ）A1B2C3D4【答案】A【分析】通过和的不等关系，确定，在抛物线上的相对位置，逐一分析即可求解【详解】解：抛物
10、线与轴的交点为和，该抛物线对称轴为，当时与当时无法确定，在抛物线上的相对位置，故和都不正确；当时，比离对称轴更远，且同在x轴上方或者下方，故正确；当时，即在x轴上到2的距离比到的距离大，且都大于1，可知在x轴上到2的距离大于1，到2的距离不能确定，所以无法比较与谁离对称轴更远，故无法比较面积，故错误；故选：A【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的对称性是解题的关键14（2020四川广安市中考真题）二次函数y=ax2十bx+c（a，b，c为常数，a0）的部分图象如图所示，图象顶点的坐标为（2，1），与x轴的一个交点在点（3，0）和点（4，0）之间，有下列结论：；c-4a=1；（m为
11、任意实数）其中正确的有（）A2个B3个C4个D5个【答案】B【分析】由图象可知：抛物线的开口向下，对称轴为直线x=2，从而判断出a、b的符号，判断出与y轴的交点即可求出c的符号，从而判断；由图象可知：当x=-1时，y0，代入解析式即可判断；根据抛物线的顶点坐标即可判断；根据抛物线与x轴交点个数即可判断；根据抛物线的开口方向和顶点坐标，即可判断最值，从而判断【详解】解：由图象可知：抛物线的开口向下，对称轴为直线x=2，a0，b0抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）和点（4，0）之间另一个交点在（0,0）和（1,0）之间抛物线与y轴交于负半轴c0abc0，故错误；由图象可知：当x=-1时，y0，故
12、错误；抛物线的顶点坐标为（2,1）由，得b=-4a将b=-4a代入，得整理，得c-4a=1，故正确；抛物线与x轴交于两点，故正确；抛物线的开口向下，顶点坐标为（2,1）（m为任意实数），故正确综上：正确的有3个故选B【点睛】此题考查的是二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质与各项系数的关系是解题关键15（2020新疆中考真题）二次函数yax2+bx+c的图象如下左图所示，则一次函数yax+b和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）ABCD【答案】D【分析】由二次函数图象分析出a、b、c的正负，再代入到一次函数与反比例函数解析式中进行分析即可得出结果【详解】由题图可知，对于一次
13、函数yax+b，其图象应经过一、三、四象限；对于反比例函数，其图象应经过一、三象限，综上分析，可能的图象如D所示，故选：D【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，以及通过系数确定一次函数和反比例函数图象分布情况，能够正确掌握二次函数图象与系数的关系推导出系数的符号是解决本题的关键16（2020山东济南市中考真题）已知抛物线yx2+（2m6）x+m23与y轴交于点A，与直线x4交于点B，当x2时，y值随x值的增大而增大记抛物线在线段AB下方的部分为G（包含A、B两点），M为G上任意一点，设M的纵坐标为t，若，则m的取值范围是（）AmBm3Cm3D1m3【答案】A【分析】当x2时，y值随x值的
14、增大而增大，得由抛物线在线段AB下方的部分为G（包含A、B两点），M为G上任意一点，M的纵坐标为t，得，分三种情况讨论，当对称轴在y轴的右侧时，有即 当对称轴是y轴时，有 当对称轴在y轴的左侧时，有从而可得结论【详解】解：当对称轴在y轴的右侧时， ，由得： 由得： 由得： 解得：3，当对称轴是y轴时， m3，符合题意，当对称轴在y轴的左侧时，解得m3，综上所述，满足条件的m的值为故选：A【点睛】本题考查二次函数图形与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征，解不等式组，解题的关键是理解题意，学会利用对称轴的位置进行分类讨论思考问题17（2020辽宁阜新市中考真题）已知二次函数 ，则下列关于这个
15、函数图象和性质的说法，正确的是（ ）A图象的开口向下B图象的顶点坐标是 C当 时，y随x的增大而减少D图象与x轴有唯一交点【答案】A【分析】由抛物线的二次项的系数判断A；把抛物线写成顶点式，可判断B；由得抛物线的图像在对称轴的左侧，从而得到y随x的增大而增大，可判断C；利用的值，判断D【详解】，抛物线的开口向下，故A正确；抛物线的顶点为：，故B错误；当，即在抛物线的对称轴的左侧，y随x的增大而增大，故C错误； ，抛物线与轴有两个交点，故D错误故选：A【点睛】本题考查的是二次函数的性质，掌握二次函数的开口方向，顶点坐标，增减性，及与轴的交点个数的判断方法是解题的关键18（2020四川中考真题）已
16、知不等式ax+b0的解集为x2，则下列结论正确的个数是（）（1）2a+b0；（2）当ca时，函数yax2+bx+c的图象与x轴没有公共点；（3）当c0时，抛物线yax2+bx+c的顶点在直线yax+b的上方；（4）如果b3且2ambm0，则m的取值范围是m0A1B2C3D4【答案】C【分析】由不等式的解集得出a0，=2，即b=2a，从而得出2a+b=0，即可判断（1）；根据=4a（ac）0即可判断（2）；求得抛物线的顶点为（1，ac）即可判断（3）；求得03，得出不等式组的解集为m0即可判断（4）【详解】（1）不等式ax+b0的解集为x2，a0，=2，即b=2a，2a+b=0，故结论正确；（2
17、）函数y=ax2+bx+c中，令y=0，则ax2+bx+c=0，b=2a，=b24ac=（2a）24ac=4a（ac），a0，ca，=4a（ac）0，当ca时，函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，故结论错误；（3）b=2a，=1，=ca，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为（1，ca），当x=1时，直线y=ax+b=a+b=a2a=a0当c0时，caa0，抛物线y=ax2+bx+c的顶点在直线y=ax+b的上方，故结论正确；（4）b=2a，由2ambm=0，得到bmbm=0，b=，如果b3，则03，m0，故结论正确；故选：C【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，一次函数的性质，二次
18、函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，由题意得到b=2a是解题的关键19（2020山东日照市中考真题）如图，二次函数yax2+bx+c（a0）图象的对称轴为直线x1，下列结论：abc0；3ac；若m为任意实数，则有abmam2+b； 若图象经过点（3，2），方程ax2+bx+c+20的两根为x1，x2（|x1|x2|），则2x1x25其中正确的结论的个数是（）A4个B3个C2个D1个【答案】C【分析】由图象可知a0，c0，由对称轴得b=2a0，则abc0，故错误；当x=1时，y=a+b+c=a+2a+c=3a+c0，得正确；由x=-1时，y有最大值，得a-b+ca
19、m2+bm+c，得错误；由题意得二次函数y=ax2+bx+c与直线y=-2的一个交点为（-3，-2），另一个交点为（1，-2），即x1=1，x2=-3，进而得出正确，即可得出结论【详解】解：由图象可知：a0，c0， ，b2a0，abc0，故abc0错误；当x1时，ya+b+ca+2a+c3a+c0，3ac，故3ac正确；x1时，y有最大值，ab+cam2+bm+c（m为任意实数），即abam2+bm，即abmam2+b，故错误；二次函数yax2+bx+c（a0）图象经过点（3，2），方程ax2+bx+c+20的两根为x1，x2（|x1|x2|），二次函数yax2+bx+c与直线y2的一个交点为
20、（3，2），抛物线的对称轴为直线x1，二次函数yax2+bx+c与直线y2的另一个交点为（1，2），即x11，x23，2x1x22（3）5，故正确所以正确的是；故选：C【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小当a0时，抛物线向上开口；当a0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左； 当a与b异号时，对称轴在y轴右常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）20（2020辽宁铁岭市）如图，二次函数的图象的对称轴是直线，则以下四个结论中：，正确的个数是（ ）A1B2C3D4【答案】B【分析
21、】由开口方向，对称轴方程，与轴的交点坐标判断的符号，从而可判断，利用与轴的交点位置得到，结合 可判断，利用当 结合图像与对称轴可判断【详解】解：由函数图像的开口向下得 由对称轴为 所以 由函数与轴交于正半轴，所以 故错误；， 故正确； 由交点位置可得：， ， 故错误；由图像知：当 此时点在第三象限， 故正确；综上：正确的有：，故选B【点睛】本题考查的是二次函数的图像与系数的关系，同时考查利用二次函数的图像判断代数式的符号，掌握以上知识是解题的关键21（2020四川绵阳市中考真题）三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.
22、5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（）A4米B5米C2米D7米【答案】B【分析】根据题意，可以画出相应的抛物线，然后即可得到大孔所在抛物线解析式，再求出顶点为A的小孔所在抛物线的解析式，将x=10代入可求解【详解】解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得MN=4，EF=14，BC=10，DO=，设大孔所在抛物线解析式为y=ax2+，BC=10，点B（5，0），0=a（5）2+，a=-，大孔所在抛物线解析式为y=-x2+，设点A（b，0），则设顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y=m（xb）2，EF=14，
23、点E的横坐标为-7，点E坐标为（-7，-）， -=m（xb）2，x1=+b，x2=-+b，MN=4，|+b-（-+b）|=4m=-，顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y=-（xb）2，大孔水面宽度为20米，当x=-10时，y=-，-=-（xb）2，x1=+b，x2=-+b，单个小孔的水面宽度=|（+b）-（-+b）|=5（米），故选：B【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答22（2020云南昆明市中考真题）如图，抛物线yax2+bx+c（a0）的对称轴为直线x1，与y轴交于点B（0，2），点A（1，m）在抛物线上，则下列结论中错误的是（
24、）Aab0 B一元二次方程ax2+bx+c0的正实数根在2和3之间Ca D点P1（t，y1），P2（t+1，y2）在抛物线上，当实数t时，y1y2【答案】D【分析】由抛物线开口方向得到a0，利用抛物线的对称轴方程得到b2a0，则可对A选项进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标在（2，0）与（3，0）之间，则根据抛物线与x轴的交点问题可对B选项进行判断；把B（0，2），A（1，m）和b2a代入抛物解析式可对C选项进行判断；利用二次函数的增减性对D进行判断【详解】解：抛物线开口向上，a0，抛物线的对称轴为直线x1，b2a0，ab0，所以A选项的结论正确；抛物线的对称轴为直线x
25、1，抛物线与x轴的一个交点坐标在（0，0）与（1，0）之间，抛物线与x轴的另一个交点坐标在（2，0）与（3，0）之间，一元二次方程ax2+bx+c0的正实数根在2和3之间，所以B选项的结论正确；把B（0，2），A（1，m）代入抛物线得c2，ab+cm，而b2a，a+2a2m，a，所以C选项的结论正确；点P1（t，y1），P2（t+1，y2）在抛物线上，当点P1、P2都在直线x1的右侧时，y1y2，此时t1；当点P1在直线x1的左侧，点P2在直线x1的右侧时，y1y2，此时0t1且t+111t，即t1，当t1或t1时，y1y2，所以D选项的结论错误；故选：D【点睛】本题考查了图象法求一元二次方程
26、的近似根：利用二次函数图象的对称性确定抛物线与x轴的交点坐标，从而得到一元二次方程的根也考查了二次函数的性质23（2020辽宁丹东市中考真题）如图，二次函数（）的图象与轴交于，两点，与轴交于点，点坐标为，点在与之间（不包括这两点），抛物线的顶点为，对称轴为直线，有以下结论：；若点，点是函数图象上的两点，则；可以是等腰直角三形其中正确的有（ ）A1个B2个C3个D4个【答案】B【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案【详解】解：由开口可知：a0，对称轴x= 0，b0，由抛物线与y轴的交点可知：c0，abc0，故错误；由于2，且（，y1）关于直线x=2的对称点的坐标为（，y1），y1y2
27、，故正确，=2，b=-4a，x=-1，y=0，a-b+c=0，c=-5a，2c3，2-5a3，故正确根据抛物线的对称性可知，AB=6，假定抛物线经过（0，2），（-1，0），（5，0），设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-5)，则a=-， y=-(x-2)2+3不可以是等腰直角三形故错误所以正确的是，共2个故选：B【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用图象与系数的关系，本题属于中等题型24（2020贵州毕节市中考真题）已知的图象如图所示，对称轴为直线，若，是一元二次方程的两个根，且，则下列说法正确的是（ ）ABCD【答案】B【分析】利用函数图象对称轴位置及抛物线与轴交点
28、的位置，分别判断四个结论正确性【详解】解：，是一元二次方程的两个根，、是抛物线与轴交点的横坐标，抛物线的对称轴为，即，故选项错误；由图象可知，解得：，故选项正确；抛物线与轴有两个交点，故选项错误；由对称轴可知，可知，故选项错误故选：【点睛】主要考查二次函数与一元二次方程之间的关系，会利用对称轴的值求抛物线与轴交点的横坐标间的数量关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用25（2020内蒙古呼和浩特市中考真题）关于二次函数，下列说法错误的是（ ）A若将图象向上平移10个单位，再向左平移2个单位后过点，则B当时，y有最小值C对应的函数值比最小值大7D当时，图象与x轴有两个不同的交点【
29、答案】C【分析】求出二次函数平移之后的表达式，将（4，5）代入，求出a即可判断A；将函数表达式化为顶点式，即可判断B；求出当x=2时的函数值，减去函数最小值即可判断C；写出函数对应方程的根的判别式，根据a值判断判别式的值，即可判断D.【详解】解：A、将二次函数向上平移10个单位，再向左平移2个单位后，表达式为：=，若过点（4，5），则，解得：a=-5，故选项正确；B、，开口向上，当时，y有最小值，故选项正确；C、当x=2时，y=a+16，最小值为a-9，a+16-（a-9）=25，即对应的函数值比最小值大25，故选项错误；D、=9-a，当a0时，9-a0，即方程有两个不同的实数根，即二次函数图
30、象与x轴有两个不同的交点，故选项正确，故选C.【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，涉及到二次函数的基本知识点，解题的关键是掌握二次函数的性质，以及与一元二次方程的关系.26（2020四川宜宾市中考真题）函数的图象与x轴交于点(2，0)，顶点坐标为(-1，n)，其中，以下结论正确的是（ ） ；函数在处的函数值相等；函数的图象与的函数图象总有两个不同的交点；函数在内既有最大值又有最小值ABCD【答案】C【分析】根据题意作出函数图像，根据系数与图像的关系即可求解【详解】如图，根据题意作图，故a0，b0，c0，正确；对称轴为x=-1函数在处的函数值相等，故错误；图中函数的图象与的函数图象无交点，故
31、错误；当时，x=-1时，函数有最大值x=3时，函数有最小值，故正确；故选C【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是根据题意画出函数大致图像进行求解27（2020黑龙江齐齐哈尔市中考真题）如图，抛物线yax2+bx+c（a0）与x轴交于点（4，0），其对称轴为直线x1，结合图象给出下列结论：ac0；4a2b+c0；当x2时，y随x的增大而增大；关于x的一元二次方程ax2+bx+c0有两个不相等的实数根其中正确的结论有（）A1个B2个C3个D4个【答案】C【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及与x轴y轴的交点，综合判断即可【详解】解：抛物线开口向上，因此a0，与y
32、轴交于负半轴，因此c0，故ac0，所以正确；抛物线对称轴为x1，与x轴的一个交点为（4，0），则另一个交点为（2，0），于是有4a2b+c0，所以不正确；x1时，y随x的增大而增大，所以正确；抛物线与x轴有两个不同交点，因此关于x的一元二次方程ax2+bx+c0有两个不相等的实数根，所以正确；综上所述，正确的结论有：，故选：C【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象与系数之间的关系是正确判断的前提28（2020湖北随州市中考真题）如图所示，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴的正半轴交于点，顶点为，则下列结论：；当是等腰三角形时，的值有2个；当是直角三角形时，其中正确的有（
33、）A1个B2个C3个D4个【答案】B【分析】根据二次函数对称轴的位置可判断；把两个点代入解析式可得到方程组，解出B与C的关系即可；由图象可知，从而得以判断；根据直角三角形的【详解】二次函数的图象与轴交于，两点，二次函数的对称轴为，即，故正确；二次函数的图象与轴交于，两点，又，故错误；由图象可知，当是等腰三角形时，只能是或，故a有两个值，故正确；是直角三角形，分两种情况或，得到的a有两个值，故错误；故答案选B【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数之间的关系，准确分析判断是解题的关键29（2020福建中考真题）已知，是抛物线上的点，下列命题正确的是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则【答案】C
34、【分析】分别讨论a0和a0时，x=1为对称轴，|x-1|表示为x到1的距离，由图象可知抛物线上任意两点到x=1的距离相同时，对应的y值也相同，当抛物线上的点到x=1的距离越大时，对应的y值也越大，由此可知A、C正确当a0时， x=1为对称轴，|x-1|表示为x到1的距离，由图象可知抛物线上任意两点到x=1的距离相同时，对应的y值也相同，当抛物线上的点到x=1的距离越大时，对应的y值也越小，由此可知B、C正确综上所述只有C正确故选C【点睛】本题考查二次函数图象的性质，关键在于画出图象，结合图象增减性分类讨论30（2020湖南长沙市中考真题）“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小
35、，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把焦脆而不糊的豆腐块数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，“可食用率”p与加工煎炸的时间t（单位：分钟）近似满足函数关系式：（a，b，c为常数），如图纪录了三次实验数据，根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为( )A3.50分钟B4.05分钟C3.75分钟D4.25分钟【答案】C【分析】将图中三个坐标代入函数关系式解出a和b,再利用对称轴公式求出即可【详解】将(3,0.8)(4,09)(5,0.6)代入得: 和得得,解得a=0.2将a=0.2代入可得b=1.5对称轴=故选C【点睛】本题考查二次函数的三点式,关键
36、在于利用待定系数法求解,且本题只需求出a和b即可得出答案二、填空题31（2021山东菏泽市中考真题）定义：为二次函数（）的特征数，下面给出特征数为的二次函数的一些结论：当时，函数图象的对称轴是轴；当时，函数图象过原点；当时，函数有最小值；如果，当时，随的增大而减小，其中所有正确结论的序号是_【答案】【分析】利用二次函数的性质根据特征数，以及的取值，逐一代入函数关系式，然判断后即可确定正确的答案【详解】解：当时，把代入，可得特征数为，函数解析式为，函数图象的对称轴是轴，故正确；当时，把代入，可得特征数为，函数解析式为，当时，函数图象过原点，故正确；函数 当时，函数图像开口向上，有最小值，故正确；
37、当时，函数图像开口向下，对称轴为：时，可能在函数对称轴的左侧，也可能在对称轴的右侧，故不能判断其增减性，故错误；综上所述，正确的是，故答案是：【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数的对称轴等知识点，牢记二次函数的基本性质是解题的关键32（2021湖北武汉市中考真题）如图（1），在中，边上的点从顶点出发，向顶点运动，同时，边上的点从顶点出发，向顶点运动，两点运动速度的大小相等，设，关于的函数图象如图（2），图象过点，则图象最低点的横坐标是_【答案】【分析】先根据图形可知AE+CD=AB+AC=2，进而求得AB=AC=1、BC=以及图象最低点的函数值即为AE+CD的最小值；再运用勾股定理
38、求得CD、AE，然后根据AE+CD得到+可知其表示点（x，0）到（0,-1）与（，）的距离之和，然后得当三点共线时有函数值.最后求出该直线的解析式，进而求得x的值【详解】解：由图可知，当x=0时，AE+CD=AB+AC=2AB=AC=1，BC=，图象最低点函数值即为AE+CD的最小值由题意可得：CD=,AE= AE+CD=+，即点（x，0）到（0,-1）与（，）的距离之和当这三点共线时，AE+CD最小 设该直线的解析式为y=kx+b 解得 当y=0时，x=故填【点睛】本题主要考查了二次函数与方程的意义，从几何图形和函数图象中挖掘隐含条件成为解答本题的关键33（2021湖北武汉市中考真题）已知抛
39、物线（，是常数），下列四个结论：若抛物线经过点，则；若，则方程一定有根；抛物线与轴一定有两个不同的公共点；点，在抛物线上，若，则当时，其中正确的是_（填写序号）【答案】【分析】将代入解析式即可判定；由b=c，可得a=-2c，cx2+bx+a=0可得cx2+cx-2c=0，则原方程可化为x2+x-2=0，则一定有根x=-2；当b2-4ac0时，图像与x轴少于两个公共点，只有一个关于a，b，c的方程，故存在a、b、c使b2-4ac00，故错误；若0ac，则有b|c|a|，|b|2|a|，所以对称轴，因为a0在对称轴左侧，函数单调递减，所以当x1x2y2，故正确【详解】解：抛物线经过点，即9a-3b
40、+c=0b=2a故正确；b=c，a=-2c，cx2+bx+a=0cx2+cx-2c=0，即x2+x-2=0一定有根x=-2故正确；当b2-4ac0时，图像与x轴少于两个公共点，只有一个关于a、b、c的方程，故存在a、b、c使b2-4ac0，故错误；若0ac，则有b|c|a|，|b|2|a|，所以对称轴，因为a0在对称轴左侧，函数单调递减，所以当x1x2y2，故正确故填：【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质以及二元一次方程，灵活运用二次函数的图像与性质成为解答本题的关键34（2021四川成都市中考真题）在平面直角坐标系中，若抛物线与x轴只有一个交点，则_【答案】1【分析】根据抛物线与x轴只有
41、一个交点可知方程=0根的判别式=0，解方程求出k值即可得答案【详解】抛物线与x轴只有一个交点，方程=0根的判别式=0，即22-4k=0，解得：k=1，故答案为：1【点睛】本题考查二次函数与x轴的交点问题，对于二次函数（k0），当判别式0时，抛物线与x轴有两个交点；当k=0时，抛物线与x轴有一个交点；当x0时，抛物线与x轴没有交点；熟练掌握相关知识是解题关键35（2021山东泰安市中考真题）如图是抛物线的部分图象，图象过点，对称轴为直线，有下列四个结论：；y的最大值为3；方程有实数根其中正确的为_（将所有正确结论的序号都填入）【答案】【分析】根据二次函数的图象与性质对各项进行判断即可【详解】解：
42、抛物线的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴，a0，c0，抛物线的对称轴为直线x=1，=1，即b=2a0abc0，故错误；抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），根据对称性，与x轴的另一个交点坐标为（1，0），ab+c=0，故正确；根据图象，y是有最大值，但不一定是3，故错误；由得，根据图象，抛物线与直线y=1有交点，有实数根，故正确，综上，正确的为，故答案为：【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，会利用数形结合思想解决问题是解答的关键36（2021江苏连云港市中考真题）某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份该店为
43、了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是_元【答案】1264【分析】根据题意，总利润=快餐的总利润快餐的总利润，而每种快餐的利润=单件利润对应总数量，分别对两份快餐前后利润和数量分析，代入求解即可【详解】解：设种快餐的总利润为，种快餐的总利润为，两种快餐的总利润为，设快餐的份数为份，则B种快餐的份数为份据题意： 当的时候，W取到最大值1264，故最大利润为1264元故答案为：1264【点睛】本题考查的是二次
44、函数的应用，正确理解题意、通过具体问题找到变化前后的关系是解题关键点37（2021四川南充市中考真题）关于抛物线，给出下列结论：当时，抛物线与直线没有交点；若抛物线与x轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间；若抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）所围成的三角形区域内（包括边界），则其中正确结论的序号是_【答案】【分析】先联立方程组，得到，根据判别式即可得到结论；先求出a1，分两种情况：当0a1时，当a0时，进行讨论即可；求出抛物线的顶点坐标为：，进而即可求解【详解】解：联立，得，=，当时，有可能0，抛物线与直线有可能有交点，故错误；抛物线的对称轴为：直线
45、x=，若抛物线与x轴有两个交点，则=，解得：a1，当0a1时，则1，此时，x，y随x的增大而减小，又x=0时，y=10，x=1时，y=a-10，抛物线有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间，当a0时，则0，此时，x，y随x的增大而减小，又x=0时，y=10，x=1时，y=a-10，抛物线有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间，综上所述：若抛物线与x轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间，故正确；抛物线的顶点坐标为：，抛物线的顶点所在直线解析式为：x+y=1，即：y=-x+1，抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）所围成的三角形区域内（包括边界），解得：
46、，故正确故答案是：【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数与二次方程的联系，熟练应用判别式判断一元二次方程根的情况，是解题的关键38（2021安徽中考真题）设抛物线，其中a为实数（1）若抛物线经过点，则_；（2）将抛物线向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是_【答案】0 2 【分析】（1）直接将点代入计算即可（2）先根据平移得出新的抛物线的解析式，再根据抛物线顶点坐标得出顶点坐标的纵坐标，再通过配方得出最值【详解】解：（1）将代入得：故答案为：0（2）根据题意可得新的函数解析式为： 由抛物线顶点坐标得新抛物线顶点的纵坐标为： 当a=1时，有最大值为8，所得抛物线顶点的
47、纵坐标的最大值是故答案为：2【点睛】本题考查将抛物线的顶点坐标、将点代入代入函数解析式、利用配方法求最值是常用的方法39（2021浙江中考真题）已知在平面直角坐标系中，点的坐标为是抛物线对称轴上的一个动点小明经探究发现：当的值确定时，抛物线的对称轴上能使为直角三角形的点的个数也随之确定若抛物线的对称轴上存在3个不同的点，使为直角三角形，则的值是_【答案】2或【分析】分，和 确定点M的运动范围，结合抛物线的对称轴与，共有三个不同的交点，确定对称轴的位置即可得出结论【详解】解：由题意得：O（0,0），A（3，4）为直角三角形，则有：当时， 点M在与OA垂直的直线上运动 （不含点O）；如图，当时，点
48、M在与OA垂直的直线上运动 （不含点A）；当时，点M在与OA为直径的圆上运动，圆心为点P，点P为OA的中点， 半径r= 抛物线的对称轴与x轴垂直由题意得，抛物线的对称轴与，共有三个不同的交点，抛物线的对称轴为的两条切线，而点P到切线，的距离 ，又直线的解析式为：；直线的解析式为：；或4或-8故答案为：2或-8【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有圆的切线的判定，直角三角形的判定，综合性较强，有一定难度运用数形结合、分类讨论是解题的关键40（2020广西贵港市中考真题）如图，对于抛物线，给出下列结论：这三条抛物线都经过点；抛物线的对称轴可由抛物线的对称轴向右平移1个单位而得到；这
49、三条抛物线的顶点在同一条直线上；这三条抛物线与直线的交点中，相邻两点之间的距离相等其中正确结论的序号是_【答案】【分析】根据抛物线图象性质及配方法解题【详解】将分别代入抛物线，中，可知，这三条抛物线都经过点C，故正确；抛物线的对称轴为，抛物线的对称轴为，可由向右平移1个单位而得到，故正确；抛物线的顶点为A抛物线的顶点为B抛物线的顶点为C，三条抛物线的顶点不在同一条直线上，故错误；将分别代入三条抛物线，得0或1，0或2，0或3，可知，相邻两点之间的距离相等，故正确，综上所述，正确的是，故选：【点睛】本题考查二次函数的性质，其中涉及将一般式化为顶点式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题
50、关键41（2020黑龙江大庆市中考真题）已知关于的一元二次方程，有下列结论：当时，方程有两个不相等的实根；当时，方程不可能有两个异号的实根；当时，方程的两个实根不可能都小于1；当时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3以上4个结论中，正确的个数为_【答案】【分析】由根的判别式，根与系数的关系进行判断，即可得到答案【详解】解：根据题意，一元二次方程，；当，即时，方程有两个不相等的实根；故正确；当，解得：，方程有两个同号的实数根，则当时，方程可能有两个异号的实根；故错误；抛物线的对称轴为：，则当时，方程的两个实根不可能都小于1；故正确；由，则，解得：或；故正确；正确的结论有；故答案为：【点睛】本
51、题考查了二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是掌握所学的知识进行解题42（2020湖北荆州市中考真题）我们约定：为函数的关联数，当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”，若关联数为的函数图象与x轴有两个整交点（m为正整数），则这个函数图象上整交点的坐标为_【答案】或或【分析】将关联数为代入函数得到：，由题意将y=0和x=0代入即可【详解】解：将关联数为代入函数得到：，关联数为的函数图象与x轴有两个整交点（m为正整数），y=0，即，因式分解得，又关联数为的函数图象与x轴有两个整交点，即 m=1，与x轴交点即y=0解得x=1或x=2，即坐标为或，
52、与y轴交点即x=0解得y=2，即坐标为，这个函数图象上整交点的坐标为或或；故答案为：或或【点睛】此题考查二次函数相关知识，涉及一元二次方程判别式判断解的个数的关系及二次函数与坐标轴交点的求解办法，难度一般，计算较多43（2020广东广州市中考真题）对某条线段的长度进行了3次测量，得到3个结果（单位：）9.9，10.1，10.0，若用作为这条线段长度的近以值，当_时，最小对另一条线段的长度进行了次测量，得到个结果（单位：），若用作为这条线段长度的近似值，当_时，最小【答案】10.0； 【分析】（1）把整理得：，设，利用二次函数性质求出当时有最小值；（2）把整理得：， 设，利用二次函数的性质可求出
53、当 取最小值时的值【详解】解：（1）整理得：，设，由二次函数的性质可知：当时，函数有最小值，即：当时，的值最小，故答案为：10.0；（2）整理得：，设，由二次函数性质可知：当时，有最小值，即：当时，的值最小，故答案为：【点睛】本题考查了二次函数模型的应用，关键是设，整理成二次函数，利用二次函数的性质何时取最小值来解决即可44（2020四川内江市中考真题）已知抛物线（如图）和直线我们规定：当x取任意一个值时，x对应的函数值分别为和若，取和中较大者为M；若，记当时，M的最大值为4；当时，使的x的取值范围是；当时，使的x的值是，；当时，M随x的增大而增大上述结论正确的是_（填写所有正确结论的序号）【
54、答案】【分析】根据题目中的较大者M的定义逐个分析即可【详解】解：对于：当时，显然只要，则M的值为，故错误；对于：当时，在同一直角坐标系内画出的图像，如下图所示，其中红色部分即表示M，联立的函数表达式，即，求得交点横坐标为和，观察图形可知的x的取值范围是，故正确；对于：当时，在同一直角坐标系内画出的图像，如下图所示，其中红色部分即表示M，联立的函数表达式，即，求得其交点的横坐标为和，故M=3时分类讨论：当时，解得或，当时，解得，故错误；对于：当时，函数，此时图像一直在图像上方，如下图所示，故此时M=，故M随x的增大而增大，故正确故答案为：【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的图像性质及交点坐标，
55、本题的关键是要能理解M的含义，学会用数形结合的方法分析问题45（2020湖北武汉市中考真题）抛物线（，为常数，）经过，两点，下列四个结论：一元二次方程的根为，；若点，在该抛物线上，则；对于任意实数，总有；对于的每一个确定值，若一元二次方程（为常数，）的根为整数，则的值只有两个其中正确的结论是_（填写序号）【答案】【分析】根据二次函数与一元二次方程的联系即可得；先点，得出二次函数的对称轴，再根据二次函数的对称性与增减性即可得；先求出二次函数的顶点坐标，再根据二次函数图象的平移规律即可得；先将抛物线向下平移个单位长度得到的二次函数解析式为，再根据二次函数与一元二次方程的联系即可得【详解】抛物线经过
56、，两点一元二次方程的根为，则结论正确抛物线的对称轴为时的函数值与时的函数值相等，即为当时，y随x的增大而减小 又，则结论错误当时， 则抛物线的顶点的纵坐标为，且将抛物线向下平移个单位长度得到的二次函数解析式为由二次函数图象特征可知，的图象位于x轴的下方，顶点恰好在x轴上即恒成立则对于任意实数，总有，即，结论正确将抛物线向下平移个单位长度得到的二次函数解析式为函数对应的一元二次方程为，即因此，若一元二次方程的根为整数，则其根只能是或或 对应的的值只有三个，则结论错误 综上，结论正确的是故答案为：【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质（对称性、增减性）、二次函数图象的平移问题、二次函数与一元二次方
57、程的联系等知识点，熟练掌握并灵活运用二次函数的图象与性质是解题关键46（2020山东泰安市中考真题）已知二次函数（是常数，）的与的部分对应值如下表：02606下列结论：；当时，函数最小值为；若点，点在二次函数图象上，则；方程有两个不相等的实数根其中，正确结论的序号是_（把所有正确结论的序号都填上）【答案】【分析】先根据表格中的数据利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而可直接判断；由抛物线的性质可判断；把点和点代入解析式求出y1、y2即可；当y=5时，利用一元二次方程的根的判别式即可判断，进而可得答案【详解】解：由抛物线过点（5，6）、（2，6）、（0，4），可得：，解得：，二次函数的解析式是，
58、a=10，故正确；当时，y有最小值，故错误；若点，点在二次函数图象上，则，故正确；当y=5时，方程即，方程有两个不相等的实数根，故正确；综上，正确的结论是：故答案为：【点睛】本题以表格的形式考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质以及一元二次方程的根的判别式等知识，属于常考题型，熟练掌握二次函数与一元二次方程的基本知识是解题的关键47（2019四川广元市中考真题）如图，抛物线过点，且顶点在第一象限，设，则M的取值范围是_【答案】.【分析】将（-1，0）与（0，2）代入y=ax2+bx+c，可知b=a+2，利用对称轴可知：a-2，从而可知M的取值范围【详解】将与代入，故答案为.【点睛】
59、本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型48（2019广西贵港市中考真题）我们定义一种新函数：形如（，且）的函数叫做“鹊桥”函数小丽同学画出了“鹊桥”函数y=|x2-2x-3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：图象与坐标轴的交点为，和；图象具有对称性，对称轴是直线；当或时，函数值随值的增大而增大；当或时，函数的最小值是0；当时，函数的最大值是4其中正确结论的个数是_.【答案】4【分析】由，和坐标都满足函数，是正确的；从图象可以看出图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线，也是正确的；根据函数的图象和性质，发现当或时，函数值随值的增大而增大，因此也
60、是正确的；函数图象的最低点就是与轴的两个交点，根据，求出相应的的值为或，因此也是正确的；从图象上看，当或，函数值要大于当时的，因此时不正确的；逐个判断之后，可得出答案【详解】解：，和坐标都满足函数，是正确的；从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线，因此也是正确的；根据函数的图象和性质，发现当或时，函数值随值的增大而增大，因此也是正确的；函数图象的最低点就是与轴的两个交点，根据，求出相应的的值为或，因此也是正确的；从图象上看，当或，函数值要大于当时的，因此是不正确的；故答案是：4【点睛】理解“鹊桥”函数的意义，掌握“鹊桥”函数与与二次函数之间的关系；两个函数性质之间的联系和区别
61、是解决问题的关键；二次函数与轴的交点、对称性、对称轴及最值的求法以及增减性应熟练掌握.三、解答题49（2021安徽中考真题）已知抛物线的对称轴为直线（1）求a的值；（2）若点M（x1，y1），N（x2，y2）都在此抛物线上，且，比较y1与y2的大小，并说明理由；（3）设直线与抛物线交于点A、B，与抛物线交于点C，D，求线段AB与线段CD的长度之比【答案】（1）；（2），见解析；（3）【分析】（1）根据对称轴，代值计算即可（2）根据二次函数的增减性分析即可得出结果（3）先根据求根公式计算出，再表示出，=，即可得出结论【详解】解：（1）由题意得：（2）抛物线对称轴为直线，且当时，y随x的增大而减小
62、，当时，y随x的增大而增大当时，y1随x1的增大而减小，时，时，同理：时，y2随x2的增大而增大时， 时， （3）令 令 AB与CD的比值为【点睛】本题考查二次函数的图像性质、二次函数的解析式、对称轴、函数的交点、正确理解二次函数的性质是关键，利用交点的特点解题是重点50（2021浙江绍兴市中考真题）小聪设计奖杯，从抛物线形状上获得灵感，在平面直角坐标系中画出截面示意图，如图1，杯体ACB是抛物线的一部分，抛物线的顶点C在y轴上，杯口直径，且点A，B关于y轴对称，杯脚高，杯高，杯底MN在x轴上（1）求杯体ACB所在抛物线的函数表达式（不必写出x的取值范围）（2）为使奖杯更加美观，小敏提出了改进
63、方案，如图2，杯体所在抛物线形状不变，杯口直径，杯脚高CO不变，杯深与杯高之比为0.6，求的长【答案】（1）；（2）【分析】（1）确定B点坐标后，设出抛物线解析式，利用待定系数法求解即可；（2）利用杯深 CD 与杯高 OD 之比为0.6，求出OD ，接着利用抛物线解析式求出B或A横坐标即可完成求解【详解】解：（1）设，杯口直径 AB=4 ，杯高 DO=8 ，将，代入，得，（2），当时，或，即杯口直径的长为【点睛】本题考查了抛物线的应用，涉及到待定系数法求抛物线解析式、求抛物线上的点的坐标等内容，解决本题的关键是读懂题意，找出相等关系列出等式等51（2021湖北十堰市中考真题）某商贸公司购进某种
64、商品的成本为20元/，经过市场调研发现，这种商品在未来40天的销售单价y（元/）与时间x（天）之间的函数关系式为：且x为整数，且日销量与时间x（天）之间的变化规律符合一次函数关系，如下表：时间x（天）13610日销量142138132124填空：（1）m与x的函数关系为_；（2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少？（3）在实际销售的前20天中，公司决定每销售商品就捐赠n元利润（）给当地福利院，后发现：在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x的增大而增大，求n的取值范围【答案】（1）；（2）第16天销售利润最大，最大为1568元；（3）【分析】（1）设，将，代入，利用待定系数法即
65、可求解；（2）分别写出当时与当时的销售利润表达式，利用二次函数和一次函数的性质即可求解；（3）写出在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润表达式，根据二次函数的性质可得对称轴，求解即可【详解】解：（1）设，将，代入可得：，解得，；（2）当时，销售利润，当时，销售利润最大为1568元；当时，销售利润，当时，销售利润最大为1530元；综上所述，第16天销售利润最大，最大为1568元；（3）在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润为：，时，随x的增大而增大，对称轴，解得【点睛】本题考查二次函数与一次函数的实际应用，掌握二次函数与一次函数的性质是解题的关键52（2021四川达州市中考真题）渠县是全国优
66、质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克（1）写出工厂每天的利润元与降价元之间的函数关系当降价2元时，工厂每天的利润为多少元？（2）当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？（3）若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则定价应为多少元？【答案】（1），9600；（2）降价4元，最大利润为9800元；（3）43【分析】（1）若降价元，则每天销量可增加千克，根据利润公式求解并整理即可得到解析式，然后代入求出对应
67、函数值即可；（2）将（1）中的解析式整理为顶点式，然后利用二次函数的性质求解即可；（3）令可解出对应的的值，然后根据“让利于民”的原则选择合适的的值即可【详解】（1）若降价元，则每天销量可增加千克，整理得：，当时，每天的利润为9600元；（2），当时，取得最大值，最大值为9800，降价4元，利润最大，最大利润为9800元；（3）令，得：，解得：，要让利于民，（元）定价为43元【点睛】本题考查二次函数的实际应用，弄清数量关系，准确求出函数解析式并熟练掌握二次函数的性质是解题关键53（2021湖南怀化市中考真题）某超市从厂家购进A、B两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如下表：进货批次A型水杯（个）
68、B型水杯（个）总费用（元）一1002008000二20030013000（1）求A、B两种型号的水杯进价各是多少元？（2）在销售过程中，A型水杯因为物美价廉而更受消费者喜欢为了增大B型水杯的销售量，超市决定对B型水杯进行降价销售，当销售价为44元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个，请问超市应将B型水杯降价多少元时，每天售出B型水杯的利润达到最大？最大利润是多少？（3）第三次进货用10000元钱购进这两种水杯，如果每销售出一个A型水杯可获利10元，售出一个B型水杯可获利9元，超市决定每售出一个A型水杯就为当地“新冠疫情防控”捐b元用于购买防控物资若A、B两种型号的水杯在全部售出
69、的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时b为多少？利润为多少？【答案】（1）A型号水杯进价为20元，B型号水杯进价为30元；（2）超市应将B型水杯降价5元后，每天售出B型水杯的利润达到最大，最大利润为405元；（3）A，B两种杯子全部售出，捐款后利润不变，此时b为4元，利润为3000元【分析】（1）主要运用二元一次方程组，设A型号水杯为x元，B型号水杯为y元，根据表格即可得出方程组，解出二元一次方程组即可得A、B型号水杯的单价；（2）主要运用二次函数，由题意可设：超市应将B型水杯降价z元后，每天售出B型水杯的利润达到最大，最大利润为w，每个水杯的利润为元；每降价1元，多售出5个，可得售出的数量
70、为个，根据：利润=（售价-进价）数量，可确定函数关系式，依据二次函数的基本性质，开口向下，在对称轴处取得最大值，即可得出答案；（3）根据（1）A型号水杯为20元，B型号水杯为30元设10000元购买A型水杯m个，B型水杯n个，所得利润为W元，可列出方程组，利用代入消元法化简得到利润W的函数关系式，由于利润不变，所以令未知项的系数为0，即可求出b，W【详解】（1）解：设A型号水杯进价为x元，B型号水杯进价为y元，根据题意可得：，解得：，A型号水杯进价为20元，B型号水杯进价为30元（2）设：超市应将B型水杯降价z元后，每天售出B型水杯的利润达到最大，最大利润为w，根据题意可得：，化简得：，当时，
71、超市应将B型水杯降价5元后，每天售出B型水杯的利润达到最大，最大利润为405元（3）设购买A型水杯m个，B型水杯n个，所得利润为W元，根据题意可得：将代入可得：，化简得：，使得A，B两种杯子全部售出后，捐款后所得利润不变，则，得，当时，A，B两种杯子全部售出，捐款后利润不变，此时b为4元，利润为3000元【点睛】题目主要考察二元一次方程、一元二次函数的以及一次函数的应用，难点是对题意的理解及对函数和方程的综合运用54（2021湖北黄冈市中考真题）红星公司销售一种成本为40元/件的产品，若月销售单价不高于50元/件一个月可售出5万件；月销售单价每涨价1元，月销售量就减少万件其中月销售单价不低于成
72、本设月销售单价为x（单位：元/件），月销售量为y（单位：万件）（1）直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当月销售单价是多少元/件时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？（3）为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售1件产品便向大别山区捐款a元已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元，求a的值【答案】（1）；（2）当月销售单价是70元/件时，月销售利润最大，最大利润是90万元；（3）4【分析】（1）分和两种情况，根据“月销售单价每涨价1元，月销售量就减少万件”即可得函数关系式，再根据求出的取值范围；（2）在（1）的基础上，根据
73、“月利润（月销售单价成本价）月销售量”建立函数关系式，分别利用一次函数和二次函数的性质求解即可得；（3）设该产品的捐款当月的月销售利润为万元，先根据捐款当月的月销售单价、月销售最大利润可得，再根据“月利润（月销售单价成本价）月销售量”建立函数关系式，然后利用二次函数的性质即可得【详解】解：（1）由题意，当时，当时，解得，综上，；（2）设该产品的月销售利润为万元，当时，由一次函数的性质可知，在内，随的增大而增大，则当时，取得最大值，最大值为；当时，由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为90，因为，所以当月销售单价是70元/件时，月销售利润最大，最大利润是90万元；（3）捐款当月的月销售
74、单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元（大于50万元），设该产品捐款当月的月销售利润为万元，由题意得：，整理得：，在内，随的增大而增大，则当时，取得最大值，最大值为，因此有，解得【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，正确建立函数关系式是解题关键55（2021新疆中考真题）已知抛物线（1）求抛物线的对称轴；（2）把抛物线沿y轴向下平移个单位，若抛物线的顶点落在x轴上，求a的值；（3）设点，在抛物线上，若，求a的取值范围【答案】（1）直线；（2）或；（3）【分析】（1）直接根据抛物线的对称轴公式求解即可；（2）先求出原抛物线的顶点坐标，然后求出平移后新抛物线的顶点坐标，再根据题意
75、建立方程分情况讨论即可；（3）分别讨论a的情况，根据二次函数中利用对称性比较函数值大小的方法建立关于a的不等式求解即可【详解】（1）根据抛物线对称轴公式：，原抛物线的对称轴为：直线；（2）将代入解析式得：，原抛物线的顶点坐标为：，把抛物线沿y轴向下平移个单位，则平移后新抛物线的顶点坐标为，平移后抛物线的顶点落在x轴上，若，则，解得：，若，则，解得：，或；（3）若，则原抛物线开口向上，要使得，则应使得点P到对称轴的距离大于点Q到对称轴的距离，即：，即：，或，解得：或，；若，则原抛物线开口向下，要使得，则应使得点P到对称轴的距离小于点Q到对称轴的距离，即：，即：，解得：，与矛盾，故不成立，a的取值
76、范围为【点睛】本题考查二次函数的性质以及平移问题，熟记二次函数中的基本性质和结论是解题关键56（2021湖南长沙市中考真题）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于轴对称，则把该函数称之为“T函数”，其图象上关于轴对称的不同两点叫做一对“T点”根据该约定，完成下列各题（1）若点与点是关于的“T函数”的图象上的一对“T点”，则_，_，_（将正确答案填在相应的横线上）；（2）关于的函数（，是常数）是“T函数”吗？如果是，指出它有多少对“T点”；如果不是，请说明理由；（3）若关于的“T函数”（，且，是常数）经过坐标原点，且与直线（，且，是常数）交于，两点，当，满足时，直
77、线是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由【答案】（1）；（2）当时，关于的函数（是常数）不是“函数”，理由见解析；当时，关于的函数（是常数）是“函数”，它有无数对“点”；（3）直线总经过一定点，该定点的坐标为【分析】（1）先根据关于轴对称的点坐标变换规律可得的值，从而可得点的坐标，再将点的坐标代入“函数”即可得；（2）分和两种情况，当时，设点与点是一对“点”，将它们代入函数解析式可求出，与矛盾；当时，是一条平行于轴的直线，是“函数”，且有无数对“点”；（3）先将点代入可得，再根据“函数”的定义可得，从而可得，与直线联立可得是方程的两实数根，然后利用根与系数的关系
78、可得，最后根据化简可得，从而可得，由此即可得出答案【详解】解：（1）由题意得：点与点关于轴对称，将点代入得：，故答案为：；（2）由题意，分以下两种情况：当时，假设关于的函数（，是常数）是“函数”，点与点是其图象上的一对“点”，则，解得，与相矛盾，假设不成立，所以当时，关于的函数（是常数）不是“函数”；当时，函数是一条平行于轴的直线，是“函数”，它有无数对“点”；综上，当时，关于的函数（是常数）不是“函数”；当时，关于的函数（是常数）是“函数”，它有无数对“点”；（3）由题意，将代入得：，设点与点是“函数”图象上的一对“点”，则，解得，联立得：，“函数”与直线交于点，是关于的一元二次方程的两个不
79、相等的实数根，即，解得，则直线的解析式为，当时，因此，直线总经过一定点，该定点的坐标为【点睛】本题考查了关于轴对称的点坐标变换规律、二次函数与一次函数的综合、一元二次方程根与系数的关系等知识点，掌握理解“函数”和“点”的定义是解题关键57（2021湖北武汉市中考真题）在“乡村振兴”行动中，某村办企业以，两种农作物为原料开发了一种有机产品，原料的单价是原料单价的1.5倍，若用900元收购原料会比用900元收购原料少生产该产品每盒需要原料和原料，每盒还需其他成本9元市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒 （1）求每盒产品的成本（成本原料费其他成
80、本）；（2）设每盒产品的售价是元（是整数），每天的利润是元，求关于的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；（3）若每盒产品的售价不超过元（是大于60的常数，且是整数），直接写出每天的最大利润【答案】（1）每盒产品的成本为30元（2）；（3）当时，每天的最大利润为16000元；当时，每天的最大利润为元【分析】（1）设原料单价为元，则原料单价为元然后再根据“用900元收购原料会比用900元收购原料少”列分式方程求解即可；（2）直接根据“总利润=单件利润销售数量”列出解析式即可；（3）先确定的对称轴和开口方向，然后再根据二次函数的性质求最值即可【详解】解：（1）设原料单价为元，则原料单价为元依题
81、意，得解得，经检验，是原方程的根每盒产品的成本为：（元）答：每盒产品的成本为30元（2）；（3）抛物线的对称轴为=70，开口向下当时，a=70时有最大利润，此时w=16000，即每天的最大利润为16000元；当时，每天的最大利润为元【点睛】本题主要考查了分式方程的应用、二次函数的应用等知识点，正确理解题意、列出分式方程和函数解析式成为解答本题的关键58（2021陕西中考真题）已知抛物线与x轴交于点A、B（其中A在点B的左侧），与y轴交于点C（1）求点B、C的坐标；（2）设点与点C关于该抛物线的对称轴对称在y轴上是否存在点P，使与相似且与是对应边？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案
82、】（1），；（2）存在，或【分析】(1)令y=0,求的根即可；令x=0,求得y值即可确定点C的坐标；（2）确定抛物线的对称轴为x=1,确定的坐标为（2，8），计算C=2，利用直角相等，两边对应成比例及其夹角相等的两个三角形相似，分类求解即可.【详解】解：（1）令，则，令，则（2）存在由已知得，该抛物线的对称轴为直线点与点关于直线对称，点P在y轴上，当时，设，i）当时，则，ii）当时，则，iii）当时，则，与矛盾点P不存在或【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，对称轴的意义，三角形相似的判定和性质，熟练掌握二次函数的性质，灵活运用三角形的相似和进行一元二次方程根的求解是解题的关键59（
83、2021浙江杭州市中考真题）在直角坐标系中，设函数（，是常数，）（1）若该函数的图象经过和两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标（2）写出一组，的值，使函数的图象与轴有两个不同的交点，并说明理由（3）已知，当（，是实数，）时，该函数对应的函数值分别为，若，求证【答案】（1），顶点坐标是；（2），理由见解析；（3）见解析【分析】（1）把点和代入二次函数解析式进行求解，然后把一般式化为顶点式即可求解顶点坐标；（2）根据二次函数的图象与系数的关系可直接进行求解；（3）由题意，得，则有，进而问题可求解【详解】解：（1）把点和代入得：，解得，则化为顶点式为，该函数图象的顶点坐标是；（2）例如，此
84、时；因为，所以函数图象与轴有两个不同的交点；（3）由题意，得，由题意，知，所以【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键60（2021山东临沂市中考真题）公路上正在行驶的甲车，发现前方20m处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速，减速后甲车行驶的路程s（单位：m）、速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s） 的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示（1）当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是多少？（2）若乙车以10m/s的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？【答案】（1）87.5m；（2）6秒时两车相距最近，最近距离是2米【分析】（1）根
85、据图像分别求出一次函数和二次函数解析式，令v=9求出t，代入求出s即可；（2）分析得出当v=10m/s时，两车之间距离最小，代入计算即可【详解】解：（1）由图可知：二次函数图像经过原点，设二次函数表达式为，一次函数表达式为，一次函数经过（0，16），（8，8），则，解得：，一次函数表达式为，令v=9，则t=7，当t=7时，速度为9m/s，二次函数经过（2，30），（4，56），则，解得：，二次函数表达式为，令t=7，则s=87.5，当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是87.5m；（2）当t=0时，甲车的速度为16m/s，当10v16时，两车之间的距离逐渐变小，当0v10时，两车之间的距离逐渐
86、变大，当v=10m/s时，两车之间距离最小，将v=10代入中，得t=6，将t=6代入中，得，此时两车之间的距离为：106+20-78=2m，6秒时两车相距最近，最近距离是2米【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，理解题意，读懂函数图像，求出表达式是解题的基本前提61（2021四川乐山市中考真题）已知关于的一元二次方程（1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；（2）二次函数的部分图象如图所示，求一元二次方程的解【答案】（1）；（2），【分析】（1）根据0时，一元二次方程有两个不相等的实数根求解m的取值范围即可；（2）根据二次函数图象与x轴的交点的横坐标就是当y=0时对应一元二次函
87、数的解，故将x=1代入方程中求出m值，再代入一元二次方程中解方程即可求解【详解】解：（1）由题知，（2）由图知的一个根为1，即一元二次方程为，解得，一元二次方程的解为，【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、解一元一次不等式、解一元一次方程、解一元二次方程，会解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系是解答的关键62（2021浙江丽水市中考真题）如图，已知抛物线经过点（1）求的值；（2）连结，交抛物线L的对称轴于点M求点M的坐标；将抛物线L向左平移个单位得到抛物线过点M作轴，交抛物线于点NP是抛物线上一点，横坐标为，过点P作轴，交抛物线L于点E，点E在抛物线L对称轴的右侧若，求m
88、的值【答案】（1）；（2）；1或【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可；（2）求出直线AB的解析式，抛物线的对称轴方程，代入求解即可；根据抛物线的平移方式求出抛物线的表达式，再分三种情况进行求解即可【详解】解：（1）把点的坐标分别代入，得解得的值分别为（2）设所在直线的函数表达式为，把的坐标分别代入表达式，得解得所在直线的函数表达式为由（1）得，抛物线L的对称轴是直线，当时，点M的坐标是设抛物线的表达式是，轴，点N的坐标是点P的横坐标为点P的坐标是，设交抛物线于另一点Q，抛物线的对称轴是直线轴，根据抛物线的轴对称性，点Q的坐标是（i）如图1，当点N在点M下方，即时，由平移性质得，解得（舍去）
89、，（ii）图2，当点N在点M上方，点Q在点P右侧，即时，解得（舍去），（舍去）（）如图3，当点N在点M上方，点Q在点P左侧，即时，解得（舍去），综上所述，m的值是1或【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、抛物线的平移规律和一元二次方程等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质是解题的关键63（2021江苏扬州市中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于点、，与y轴交于点C（1）_，_；（2）若点D在该二次函数的图像上，且，求点D的坐标；（3）若点P是该二次函数图像上位于x轴上方的一点，且，直接写出点P的坐标【答案】（1）-2，-3；（2）（，6）或（，6）
90、；（3）（4，5）【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）先求出ABC的面积，设点D（m，），再根据，得到方程求出m值，即可求出点D的坐标；（3）分点P在点A左侧和点P在点A右侧，结合平行线之间的距离，分别求解【详解】解：（1）点A和点B在二次函数图像上，则，解得：，故答案为：-2，-3；（2）连接BC，由题意可得：A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），SABC=6，SABD=2SABC，设点D（m，），即，解得：x=或，代入，可得：y值都为6，D（，6）或（，6）； （3）设P（n，），点P在抛物线位于x轴上方的部分，n-1或n3，当点P在点A左侧时，即n-1，可知点C到AP的距
91、离小于点B到AP的距离，不成立；当点P在点B右侧时，即n3，APC和APB都以AP为底，若要面积相等，则点B和点C到AP的距离相等，即BCAP，设直线BC的解析式为y=kx+p，则，解得：，则设直线AP的解析式为y=x+q，将点A（-1，0）代入，则-1+q=0，解得：q=1，则直线AP的解析式为y=x+1，将P（n，）代入，即，解得：n=4或n=-1（舍），点P的坐标为（4，5）【点睛】本题考查了二次函数综合，涉及到待定系数法求函数解析式，三角形面积，平行线之间的距离，一次函数，解题的难点在于将同底的三角形面积转化为点到直线的距离64（2021浙江金华市中考真题）某游乐场的圆形喷水池中心O有
92、一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为（1）求雕塑高OA（2）求落水点C，D之间的距离（3）若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，问：顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明【答案】（1）；（2）22米；（3）不会【分析】（1）求雕塑高,直接令，代入求解可得；（2）可先求出的距离，再根据对称性求的长；（3）利用，计算出的函数值，再与的长进行比较可得结论【详解】解：（1）由题意得，A点在图象上当时，（2）由题意得，D点在图象上令，得解得：（不合题
93、意，舍去）（3）当时，不会碰到水柱【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质及图像关于轴对称问题，解题的关键是：掌握二次函数的图像与性质65（2021山东泰安市中考真题）二次函数的图象经过点，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接、，交于点Q，过点P作轴于点D（1）求二次函数的表达式；（2）连接，当时，求直线的表达式；（3）请判断：是否有最大值，如有请求出有最大值时点P的坐标，如没有请说明理由【答案】（1）；（2）；（3）有最大值为，P点坐标为【分析】（1）将，代入中，列出关于a、b的二元一次方程组，求出a、b的值即可；（2）设与y轴交于点E，根据轴可知，当，即，由此推断为等腰三角形，
94、设，则，所以，由勾股定理得，解出点E的坐标，用待定系数法确定出BP的函数解析式即可；（3）设与交于点N，过B作y轴的平行线与相交于点M由A、C两点坐标可得所在直线表达式，求得 M点坐标，则，由，可得，设，则，根据二次函数性质求解即可【详解】解：（1）由题意可得：解得：，二次函数的表达式为；（2）设与y轴交于点E，轴，设，则，在中，由勾股定理得，解得，设所在直线表达式为解得直线的表达式为 （3）设与交于点N过B作y轴的平行线与相交于点M由A、C两点坐标分别为，可得所在直线表达式为M点坐标为，由，可得，设，则，当时，有最大值0.8，此时P点坐标为【点睛】本题主要考查二次函数以及一次函数解析式的确定
95、，函数图像的性质，相似三角形，勾股定理等知识点，熟练运用待定系数法求函数解析式是解题关键，本题综合性强，涉及知识面广，难度较大，属于中考压轴题66（2021浙江温州市中考真题）已知抛物线经过点（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标（2）直线交抛物线于点，为正数若点在抛物线上且在直线下方（不与点，重合），分别求出点横坐标与纵坐标的取值范围，【答案】（1），顶点坐标为；（2），【分析】（1）把代入可求得函数解析式，然后利用配方法将二次函数解析式转化为顶点式，直接得到抛物线的顶点坐标；（2）把，代入可求出m，n，求出点横坐标取值范围，在利用二次函数的最值即可求纵坐标的取值范围【详解】解：（1）把代入，
96、得，解得，抛物线的函数表达式为，配方得，顶点坐标为（2）当时，当时，解得，为正数，点在抛物线上且在直线的下方（不与点，重合），0开口向上，当x=1时函数取得最小值=-9当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，当x=-4时，y=16，当x=5时y=7，【点睛】本题二次函数综合题，考查了利用待定系数法求二次函数解析式，配方法把二次函数一般式化成顶点式，以及二次函数的性质67（2021浙江嘉兴市中考真题）已知二次函数（1）求二次函数图象的顶点坐标；（2）当时，函数的最大值和最小值分别为多少？（3）当时，函数的最大值为，最小值为，m-n=3求的值【答案】（1）；（2）函数的最大值为4，最小值为0；
97、（3）或【分析】（1）把二次函数配成顶点式即可得出结论；（2）利用二次函数的图象和性质确定函数的最大值和最小值（3）分t0；三种情况，根据二次函数的性质和m-n=3列出关于t的方程，解之即可【详解】（1），顶点坐标为（2）顶点坐标为，当时， 当时，随着的增大而增大，当时，当时，随着的增大而减小，当时，当时，函数的最大值为4，最小值为0（3）当时，对进行分类讨论当时，即，随着的增大而增大当时，解得（不合题意，舍去）当时，顶点的横坐标在取值范围内，i）当时，在时，解得，（不合题意，舍去）ii）当时在时，解得，（不合题意舍去）当时，随着的增大而减小，当时，当时，解得（不合题意，舍去）综上所述，或【点
98、睛】本题是二次函数综合题，考查抛物线的性质以及最值问题，有难度，并学会利用参数解决问题是解题的关键，属于中考常考题型68（2021浙江中考真题）如图，已知经过原点的抛物线与轴交于另一点A(2，0)（1）求的值和抛物线顶点的坐标；（2）求直线的解析式【答案】（1），M (1，-2)；（2）【分析】（1）将A(2，0)代入抛物线的解析式，可求得m的值，再配成顶点式即可求解；（2）利用待定系数法即可求得直线AM的解析式【详解】解 （1）抛物线过点A(2，0)，解得，,顶点M的坐标是(1，-2)；（2）设直线AM的解析式为，图象过A(2，0)，M (1，-2)，解得，直线AM的解析式为【点睛】本题考查
99、了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题69（2020广西贵港市中考真题）如图，已知抛物线与轴相交于，与轴相交于点，直线，垂足为（1）求该抛物线的表达式：（2）若直线与该抛物线的另一个交点为，求点的坐标；（3）设动点在该抛物线上，当时，求的值【答案】（1）；（2）点的坐标为；（3）的值为或-5【分析】（1）将和，代入抛物线解析式即可；（2）过点作轴于点，而，轴，由相似三角形的判定与性质解题；（3）分类讨论，当点在轴上方时，或当点在轴下方时，设直线AP与直线L的交点为M，结合全等三角形的判定与性质解题即可【详解】解：（1）抛物线经过和，抛物线的表达式为
100、（2）如图，过点作轴于点，而，轴，则，设，又，即，（舍去），从而，点的坐标为（3）如图，当点在轴上方时，设直线与交于点，是等腰直角三角形，作轴于点，则，点的坐标为，直线的表达式为， ，解得，（舍去）；如图，当点在轴下方时，设直线与交于点，作轴于点，则，同理可得：点的坐标为，直线的表达式为，又，解得，（舍去）；综上所述，的值为或-5【点睛】本题考查待定系数法解抛物线的解析式、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、二元一次方程组的解法等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键70（2020山东济南市中考真题）如图1，抛物线yx2bxc过点A（1，0），点B（3，0）与y轴交于点
101、C在x轴上有一动点E（m，0）（0m3），过点E作直线lx轴，交抛物线于点M（1）求抛物线的解析式及C点坐标；（2）当m1时，D是直线l上的点且在第一象限内，若ACD是以DCA为底角的等腰三角形，求点D的坐标；（3）如图2，连接BM并延长交y轴于点N，连接AM，OM，设AEM的面积为S1，MON的面积为S2，若S12S2，求m的值【答案】（1）；（2）或；（3）【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）若ACD是以DCA为底角的等腰三角形，则可以分CDAD或ACAD两种情况，分别求解即可；（3）S1AEyM，2S2ONxM，即可求解【详解】解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得，解得，故
102、抛物线的表达式为yx22x3，当x0时，y3，故点C（0，3）；（2）当m1时，点E（1，0），设点D的坐标为（1，a），由点A、C、D的坐标得，AC，同理可得：AD，CD，当CDAD时，即，解得a1；当ACAD时，同理可得a（舍去负值）；故点D的坐标为（1，1）或（1，）；（3）E（m，0），则设点M（m，m22m3），设直线BM的表达式为ysxt，则，解得：，故直线BM的表达式为yx，当x0时，y，故点N（0，），则ON；S1AEyM（m1）（m22m3），2S2ONxMmS1（m1）（m22m3），解得m2（舍去负值），经检验m2是方程的根，故m2【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉
103、及到一次函数的性质、等腰三角形的性质、面积的计算等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏71（2020山东日照市中考真题）如图，函数yx2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n）两点，m，n分别是方程x22x30的两个实数根，且mn（）求m，n的值以及函数的解析式；（）设抛物线yx2+bx+c与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，连接AB，BC，BD，CD求证：BCDOBA；（）对于（）中所求的函数yx2+bx+c，（1）当0x3时，求函数y的最大值和最小值；（2）设函数y在txt+1内的最大值为p，最小值为q，若pq3，求t的值【答案】（I）m1，n3，yx2+2x+3；（II）
104、见解析；（III）（1）y最大值4；y最小值0；（2）t1或t2【分析】（I）首先解方程求得A、B两点的坐标，然后利用待定系数法确定二次函数的解析式即可；（II）根据解方程直接写出点C的坐标，然后确定顶点D的坐标，根据两点的距离公式可得BDC三边的长，根据勾股定理的逆定理可得DBC=90，根据边长可得AOB和DBC两直角边的比相等，则两直角三角形相似；（III）（1）确定抛物线的对称轴是x=1，根据增减性可知：x=1时，y有最大值，当x=3时，y有最小值；（2）分5种情况：当函数y在txt+1内的抛物线完全在对称轴的左侧；当t+1=1时；当函数y在txt+1内的抛物线分别在对称轴的两侧；当t=
105、1时，函数y在txt+1内的抛物线完全在对称轴的右侧；分别根据增减性可解答【详解】（I）m，n分别是方程x22x30的两个实数根，且mn，用因式分解法解方程：（x+1）（x3）0，x11，x23，m1，n3，A（1，0），B（0，3），把（1，0），（0，3）代入得，解得，函数解析式为yx2+2x+3（ II）证明：令yx2+2x+30，即x22x30，解得x11，x23，抛物线yx2+2x+3与x轴的交点为A（1，0），C（3，0），OA1，OC3，对称轴为，顶点D（1，1+2+3），即D（1，4），CD2DB2+CB2，BCD是直角三角形，且DBC90，AOBDBC，在RtAOB和RtDB
106、C中，BCDOBA；（ III）抛物线yx2+2x+3的对称轴为x1，顶点为D（1，4），（1）在0x3范围内，当x1时，y最大值4；当x3时，y最小值0；（2）当函数y在txt+1内的抛物线完全在对称轴的左侧，当xt时取得最小值qt2+2t+3，最大值p（t+1）2+2（t+1）+3，令pq（t+1）2+2（t+1）+3（t2+2t+3）3，即2t+13，解得t1当t+11时，此时p4，q3，不合题意，舍去；当函数y在txt+1内的抛物线分别在对称轴的两侧，此时p4，令pq4（t2+2t+3）3，即t22t20解得：t11+（舍），t21（舍）；或者pq4（t+1）2+2（t+1）+33，即
107、（不合题意，舍去）；当t1时，此时p4，q3，不合题意，舍去；当函数y在txt+1内的抛物线完全在对称轴的右侧，当xt时取得最大值pt2+2t+3，最小值q（t+1）2+2（t+1）+3，令pqt2+2t+3（t+1）2+2（t+1）+33，解得t2综上，t1或t2【点睛】本题是二次函数的综合题型，考查利用待定系数法求抛物线的解析式，抛物线的顶点公式，三角形相似的性质和判定，勾股定理的逆定理，最值问题等知识，解题时需注意运用分类讨论的思想解决问题72（2020山东日照市中考真题）如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形空地ABCD，为美化环境，用总长为100m的篱笆围成四块矩形花圃（靠墙一
108、侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）（1）若四块矩形花圃的面积相等，求证：AE3BE；（2）在（1）的条件下，设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围【答案】（1）见解析；（2），见解析【分析】（1）由题意易得AM2ME，故可直接得证；（2）由（1）及题意得2AB+GH+3BC100，设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2即可得出函数关系式【详解】解：（1）证明：矩形MEFN与矩形EBCF面积相等，MEBE，AMGH四块矩形花圃的面积相等，即S矩形AMDND2S矩形MEFN，AM2ME，AE3BE；（2）篱笆总长为100m，2A
109、B+GH+3BC100，即，设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2，则，解得，【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，关键是根据题意得到线段的等量关系，然后列出函数关系式即可73（2020湖北荆门市中考真题）如图，抛物线与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B（1）求直线的解析式及抛物线顶点坐标；（2）如图1，点P为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作轴，垂足为C，交于点D，求的最大值，并求出此时点P的坐标；（3）如图2，将抛物线向右平移得到抛物线，直线与抛物线交于M，N两点，若点A是线段的中点，求抛物线的解析式【答案】（1）直线的解析式为，抛物线顶点坐标为；（2）当时，的最
110、大值为； ；（3）【分析】（1）先根据函数关系式求出A、B两点的坐标，设直线的解析式为，利用待定系数法求出AB的解析式，将二次函数解析式配方为顶点式即可求得顶点坐标；（2）过点D作轴于E，则求得AB=5，设点P的坐标为，则点D的坐标为，ED=x，证明，由相似三角形的性质求出，用含x的式子表示PD，配方求得最大值，即可求得点P的坐标；（3）设平移后抛物线的解析式，将L的解析式和直线AB联立，得到关于x的方程，设，则是方程的两根，得到，点A为的中点，可求得m的值，即可求得L的函数解析式【详解】（1）在中，令，则，解得，令，则，设直线的解析式为，则，解得：，直线的解析式为，抛物线顶点坐标为（2）如图，过点D作轴于E，则，设点P的坐标为，则点D的坐标为，而， ，由二次函数的性质可知：当时，的最大值为， （3）设平移后抛物线的解析式，联立，整理，得：，设，则是方程的两根， 而A为的中点，解得：抛物线的解析式【点睛】本题考查二次函数的图象和性质、相似三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质
