1、专题1.4 有理数（全章分层练习）（培优练）一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1（2023秋全国七年级专题练习）在数轴上，把表示2的点移动2个单位长度后所得到的对应点表示的数为（ ）A0B4C0或4D无法确定2（2021秋全国七年级期中）若，则以下四个结论中，正确的是（ ）A一定是正数B可能是负数C一定是正数D一定是正数3（2023秋全国七年级专题练习）如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为8，且AB12，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为AP，BP的中点，设运动时间为t（t0）秒，则下列结论中正
2、确的有（ ）B对应的数是4；点P到达点B时，t6；BP2时，t5；在点P的运动过程中，线段MN的长度不变A1个B2个C3个D4个4（2017秋七年级课时练习）已知a、b在数轴上对应的点如图1所示，下列结论正确的是（ ） AabB|a|b|CabDa0，-a-b0，所以d+c-a-b一定大于0；对于D，设a=-2，b=-1，c=1，d=5，则c-d-b-a=-1，不是正数.【详解】A.根据已知条件，可设a=-2，b-1，c=1，d=2，则a+b+c+d=0是非正数，故错误；B. 根据已知条件可知d+c0，-a-b0，所以d+c-a-b0，故错误；C. 根据已知条件可知d-c0，-a-b0，所以一
3、定是正数，故正确；D，根据已知条件可设a=-2，b=-1，c=1，d=5，则c-d-b-a=-1，是负数，故错误；故选C【点拨】本题考查正数和负数，难度大，熟练掌握相关知识点是解题关键.3C【分析】根据两点间距离进行计算即可；利用路程除以速度即可；分两种情况，点P在点B的右侧，点P在点B的左侧，由题意求出AP的长，再利用路程除以速度即可；分两种情况，点P在点B的右侧，点P在点B的左侧，利用线段的中点性质进行计算即可【详解】解：设点B对应的数是x，点A对应的数为8，且AB=12，8-x=12，x=-4，点B对应的数是-4，故正确；由题意得：122=6（秒），点P到达点B时，t=6，故正确；分两种
4、情况：当点P在点B的右侧时，AB=12，BP=2，AP=AB-BP=12-2=10，102=5（秒），BP=2时，t=5，当点P在点B的左侧时，AB=12，BP=2，AP=AB+BP=12+2=14，142=7（秒），BP=2时，t=7，综上所述，BP=2时，t=5或7，故错误；分两种情况：当点P在点B的右侧时，M，N分别为AP，BP的中点，MP=AP，NP=BP，MN=MP+NP=AP+BP=AB=12=6，当点P在点B的左侧时，M，N分别为AP，BP的中点，MP=AP，NP=BP，MN=MP-NP=AP-BP=AB=12=6，在点P的运动过程中，线段MN的长度不变，故正确；所以，上列结论中
5、正确的有3个，故选：C【点拨】本题考查了数轴，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键4D【详解】如下图，把表示的点表示到数轴上，由图可知：，A、B、C三个选项中的结论都是错的，只有D选项中的结论是正确的.故选D.5C【分析】先根据数轴判定a、b、a+b、a-b的正负，然后进行判定即可.【详解】解：由数轴可得，b20a2，a+b0，故选项A错误，|b|a|，故选项B错误，ab0，故选项C正确，ab0，故选项D错误，故答案为C【点拨】本题考查了数轴的应用、绝对值、正数和负数的相关知识，解题的关键在于根据数轴判定字母和代数式的正负.6B【分析】利用数轴特点确定a、b的关系，然后根据绝对值的性质
6、解答即可得出答案【详解】因为，所以，所以当原点在或点时，又因为，所以原点可能在或点当原点在或点时，所以原点不可能在或点综上所述，原点应是在或点故选：B【点拨】本题考查了数轴的定义和绝对值的意义，解题的关键是先利用条件判断出绝对值符号里代数式的正负性，再根据绝对值的性质把绝对值符号去掉，把式子化简后根据整点的特点求解7C【分析】根据绝对值的意义，先求出a的值，然后进行化简，得到，则，再进行化简计算，即可得到答案【详解】解：|x2|+|x4|+|x6|+|x8|的最小值是a，当时，|x2|+|x4|+|x6|+|x8|有最小值8，=0；故选：C【点拨】本题考查了绝对值的意义，求代数式的值，解题的关
7、键是掌握绝对值的意义，正确的求出，8A【分析】根据绝对值的性质，数轴上的两点之间的距离逐项分析即可【详解】若，则，故不正确；，当时，则，当时，则，当时，则，故正确；A、B、C三点在数轴上对应的数分别是2、6、x，若相邻两点的距离相等，当为的中点时，即，则当为的中点时，即，则当为的中点时，即，则故不正确；若代数式2x+|93x|+|1x|+2011的值与x无关，；即2x+|93x|+|1x|+2011故不正确；，有1个负数，2个正数，设， 故不正确综上所述，正确的有，共1个故选A【点拨】本题考查了绝对值的意义，数轴上两点的距离，分类讨论是解题的关键9A【分析】相乘的这些分数的特点是分母都是偶数，
8、分子都是奇数；再写出一道分数相乘，使它们分子都是偶数，分母都是奇数， 把这两道算式相乘，得出积为，由此进一步再做比较即可得解【详解】解：设，即，故选A【点拨】本题考查了比较有理数的大小，采用适当的方式将有理数放大后比较是解题的关键10C【分析】根据符号x表示不超过x的最大整数，依次判断可得答案【详解】解：由题意可得，-3=-3，故正确；-2.9=-3，故错误；0.9=0，故正确；当x为整数时，x+-x=x+（-x）=0，当x为小数时，如x=1.2，则x+-x=1+（-2）=-10，故错误；故选：C【点拨】本题考查了有理数的大小比较，解答本题的关键是理解题目中的新定义11或【分析】根据数轴上A、
9、B两点离开原点的距离分别是2和3可得出点A表示，点B表示，再根据数轴上两点间的距离公式即可得出结论.【详解】解：数轴上A、B两点离开原点的距离分别是2和3可得出点A表示，点B表示，当点A、B在原点同侧时，AB=1；当点A、B在原点的异侧时，AB=5故答案为：5或1.【点拨】本题考查了数轴上两点间的距离，明确离开原点的距离分为左右两个方向；数轴上两点间的距离指的是相应数的差的绝对值是解题的关键.12-8或-2【分析】由条件|x|5，|y|3求出x、y的值，再由条件|xy|yx判断出x、y的大小关系，从而确定x、y的取值，进而计算xy的值.【详解】解：|x|5，|y|3，x5，y3，|xy|yx，
10、xy0，xy538，或xy5(3)5+32，综上所述，xy8或2故答案为8或2【点拨】本题考查了有理数的减法，绝对值的性质，熟记运算法则和性质是解题的关键13-2，1，或4【分析】显然点C在点B的右边，且BC=2，对点A的位置分三种情况讨论，逐一求解即可【详解】解：显然点C在点B的右边，且BC=2，分三种情况讨论：当A在B左边时，即AB=BC=2，所以mn=-2；当A在B与C之间时，即AB=AC=1，所以mn=1；当A在C右边时，即AC=BC=2，所以mn=4；故答案为：-2或1或4【点拨】考查了数轴上两点间的距离，解题的关键是对点A的位置进行分类讨论14 或 或【分析】先求出圆的周长，再通过
11、滚动周数确定A点移动的距离，最后分类讨论，将A点原来位置的数加上或减去滚动的距离即可得到答案【详解】解：因为半径为1的圆的周长为2，所以每滚动一周就相当于圆上的A点平移了个单位，滚动2周就相当于平移了个单位；当圆向左滚动一周时，则A表示的数为，当圆向右滚动一周时，则A表示的数为；当A点开始时与重合时，若向右滚动两周，则A表示的数为，若向左滚动两周，则A表示的数为；故答案为：或；或【点拨】本题考查了用数轴上的点表示无理数的知识，要求学生能动态的理解数轴上点的位置变化，能明白圆滚动一周或两周时同一个点的运动变化，并能通过加减运算得到运动后点的位置所表示的数15或【分析】根据数轴上两点间的距离可得，
12、联立方程求得，根据题意可求得当点，运动的时间为秒时，两点都停止运动；分类讨论：当点在点的左侧时，当点在点的右侧时，分别求得和的值，代入求解即可得到当或时，点，满足；分别求得的值，即可求得此时点在数轴上对应的数【详解】解：，即，即，又，联立得，解得，动点，分别从点，处同时出发，在数轴上向右运动，点的速度为每秒个单位长度，点的速度为每秒个单位长度，设点，的运动时间为，则，当点重合时，两点都停止运动，即，解得：，即当点，运动的时间为秒时，点重合；当点在点的左侧时，若满足，即，解得：；当点在点的右侧时，若满足，即，解得：；，故当或时，点，满足；当时，则此时点在数轴上对应的数是，当时，则此时点在数轴上对
13、应的数是，故答案为：或【点拨】本题考查了数轴上两点间的距离，数轴上的动点问题等，分别求得和的值是解题的关键16【分析】根据题意，可以得出这一组数的规律，分为n为奇数和偶数二种情况讨论即可【详解】因为，所以=-1，=-1，=-2，所以n为奇数时，n为偶数时，所以-=-1009，故答案为：-1009【点拨】本题考查了有理数运算的规律，含有绝对值的计算，掌握有理数运算的规律是解题的关键17-a-3b-c【分析】先确定a、b、c的正负，然后再去绝对值，最后化简求值即可.【详解】解：a0，b0，c0a+2b0，c-a0，-b-a0=-（a+2b）-（c-a）+（-b-a）=-a-2b-c+a-b-a=-
14、a-3b-c故答案为-a-3b-c.【点拨】本题考查了绝对值的相关知识，牢记非负数得绝对值是它本身，负数的绝对值为其相反数，是解答本题的关键.18 3 -9【分析】当时，可得x-10，x+20，利用绝对值的性质即可化简，分别化简当时以及当x1时，根据当时，求出a，b即可【详解】解：当时，x-10，x+20，当时，当x1时，当时，代数式的最大值为3，最小值为-3，a=3，b=-3，ab=-9，故答案为：3，-9【点拨】本题主要考查了绝对值的化简，解题的关键是对x进行分类讨论，再化简代数式19（1）+1、200、6.8、0、0.12003407、1、77；（2）-5、-3、-43.555、-3；（
15、3）200、1；（4）-5、-43.555、-3.【分析】根据有理数的分类，可得答案【详解】解：（1）非负数集合：+1、200、6.8、0、0.12003407、1、77；（2）负有理数集合：-5、-3、-43.555、-3；（3）正整数集合：200、1；（4）负分数集合：-5、-43.555、-3.【点拨】本题考查了有理数，熟知有理数的分类是解题关键20（1）最后他们没有回到出发点,在A地的南边,距离A地8千米.（2）2.28升【详解】试题分析：首先求得所走路程的和，再根据有理数加减混合运算的法则计算，若计算结果是正数，则是离开A地向南；若是负数，则是离开A地向北；等于0，则是回到A地；求出
16、这一组数据的绝对值的和，再乘每千米耗油量即可试题解析：最后他们没回到出发点-3+4-2-8+11-2+8=8（千米）；最后他们没回到出发点，在A地的南方，距离A地8千米；（2）0.06（3+4+2+8+11+2+8）=0.0638=2.28（升）答：今天共耗油2.28升点拨：本题主要考查有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键，需要注意第二问中的总路程是所有路程的绝对值的和21(1)；(2)(3)【分析】（1）直接按比例求解即可；（2）根据数量关系列方程即可；（3）分类讨论两点的位置关系，列方程求解即可【详解】（1），点O为线段AB上一点，且，那么故答案为：；（2）动点P以1cm/s
17、的速度，从点O出发，沿OB方向运动，则，点P出发1s后，点Q以4cm/s的速度，从点O出发，沿OA方向运动，运动到点A时，停留2s，按原速沿AB方向运动到点B停止，则从到时，从到时，因为当Q从O向A运动时，若，所以，解得（3）当则从到时，可得，解得，从到时，在左侧时，可得，解得，从到时，在右侧时，可得，解得综上所述：【点拨】此题考查动点问题，解题关键是找出每段线段的长，用速度表示点的路程，然后找出等量关系列方程22(1)4，7(2)(3)当时，有最小值，且最小值为4(4)当时，有最小值，且最小值为6【分析】（1）根据A、B两点之间的距离，进行计算可得答案；（2）根据A、B两点之间的距离，进行计
18、算可得答案；（3），该式子表示实数x到1和的距离之和，当时，有最小值，且最小值为1和之间的距离4；（4），该式子表示实数x到1、的距离之和，当时，有最小值，且最小值为1和之间的距离6【详解】（1）解：，数轴上表示3和7的两点之间的距离是4，数轴上表示2和的两点之间的距离是7故答案为：4，7（2）解：数轴上表示x和的两点之间的距离是，故答案为：（3）解：，当实数x满足时，实数x到1与的距离和有最小值，最小值为1与之间的距离，即，故当时，有最小值，且最小值为4（4）解：，当时，有最小值，且最小值为与1之间的距离，即最小值为故当时，有最小值，且最小值为6【点拨】本题主要考查了绝对值的几何意义，充分理
19、解绝对值的几何意义，运用数形结合的思想进行分析是解题的关键23(1)一定是(2)(3)或3(4)或【分析】（1）根据数轴上两点距离公式求出与之间的关系即可得到答案；（2）根据数轴上两点距离公式求出长，进而求出与之间的关系即可得到答案；（3）设点D表示的数为m，根据两点距离公式结合已知条件得到，据此求解即可；（4）设上线段的“3倍点”表示的数为n，同（3）求出n的值，再根据这个“3倍点”在线段上进行求解即可【详解】（1）解点A表示的数为，点B表示的数为1，点C表示的数为x，点C一定是线段的“1倍点”，故答案为：一定是；（2）解：点A表示的数为，点B表示的数为1，点C表示的数为，；（3）解：设点D
20、表示的数为m，点D是线段的“2倍点”，当时，则，解得；当时，则，此时不满足题意；当时，则，解得；综上所述，点D表示的数为或3，故答案为：或3；（4）解：设上线段的“3倍点”表示的数为n，同理可得，当时，则，解得，点E在数轴上表示的数为t，点F表示的数为，；当时，则不满足题意；当时，则，解得，；综上所述，或【点拨】本题主要考查了数轴上两点的距离，解绝对值方程，正确理解题意熟知“n倍点”的定义是解题的关键24（1）点M、点N分别所对应的数分别为，；（2）；（3）t=1或18【分析】（1）根据题意进行求解即可；（2）由（1）所求，根据数轴上两点距离公式可得，再由，得到，由此即可得到答案；（3）分当M
21、、N均在A点右侧时，当N在A点左侧，M在A点右侧时，当M、N都在A点左侧时，三种情况讨论求解即可【详解】解：（1）由题意得：点M、点N分别所对应的数分别为，；（2）点A表示的数为-6，点M、点N分别所对应的数分别为，；（3）如图1所示，当M、N均在A点右侧时，由（1）（2）得点M、点N分别所对应的数分别为，点P为线段AM的中点，点Q为线段BN的中点，点P和点Q表示的数分别为，；如图2所示，当N在A点左侧，M在A点右侧时，同图1可知点P和点Q表示的数分别为，不符合题意；如图3所示，当M、N都在A点左侧时，同图1可得点P和点Q表示的数分别为，此时方程无解；如图4所示，当M、N都在A点左侧时，同理可得点P和点Q表示的数分别为，解得，综上所述，当，t=1或18【点拨】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，数轴上的动点问题，熟知数轴的相关知识是解题的关键
