1、专题1.1 菱形的性质与判定（知识解读）【直击考点】 【学习目标】1、探索菱形的面积计算公式，并运用其进行有关计算。2、能够综合应用菱形的性质定理与判定定理进行相关的证明和计算。3、通过相关证明和计算，进一步发展逻辑思维能力与推理论证能力。【知识点梳理】考点 1 菱形的性质 ：菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。菱形的性质：（1）具有平行四边形的性质（2） 且四条边都相等（3）两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。注意：菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。考点2 菱形的面积：菱形的面积等于两条对角线长的乘积的一半 考点3 菱形的判定：菱形的判别方法：一组邻边
2、相等的平行四边形是菱形。对角线互相垂直的平行四边形是菱形。四条边都相等的四边形是菱形。【典例分析】【考点 1 菱形的性质】【典例1】（2022春海淀区校级期中）若菱形两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为（）A10B12C16D20【变式1-1】（2022春启东市校级月考）如图，若四边形ABCD是菱形，AC24，BD10，则菱形ABCD的边长是（）A13B12C26D52【变式1-2】（2021秋双流区期末）如图，在菱形ABCD中，BAD60，对角线BD6，则菱形的边AB的长为（）A4B6C3D8【变式1-3】（2022剑阁县模拟）如图，在菱形ABCD中，BAD60，连接AC，BD，若
3、BD8，则AC的长为（）AB8CD16【典例2】（2022石阡县模拟）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是AB、AC的中点，如果EF4，那么菱形ABCD的周长是（）A16B24C28D32【变式2-1】（2020春武川县期中）如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，H为AD边的中点，BC6cm，则OH的长为（）A6cmB4cmC3cmD2cm【变式2-2】（2018沙湾区模拟）如图，在菱形ABCD中，AB2，B60，E、F分别是边BC、CD中点，则AEF周长等于（）ABCD3【变式2-3】（2022河东区一模）如图，若菱形ABCD的顶点A、B的坐标分别为（3，0）、（2，0），点D
4、在y轴上，则点C的坐标是（）A（5，4）B（5，5）C（4，4）D（4，5）【考点 2 菱形的面积】 【典例3】（2022春连江县期中）如图，在菱形ABCD中，对角线BD4，AC12，则菱形ABCD的面积为（）A96B48C24D12【变式3-1】（2021秋深圳期末）已知菱形的两条对角线的长分别为6cm和8cm，则这个菱形的面积是（）A20cm2B24cm2C48cm2D100cm2【变式3-2】（2022渝中区校级模拟）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DHAB于点H，连接OH，若OA4，OH2，则菱形ABCD的面积为（）A8B16C24D32【变式3-3】（2022
5、春仓山区期中）如图，四边形ABCD是菱形，AC8，BD6，DHAB于点H，则DH的长是（）ABCD【考点 3 菱形的判定】 【典例4】（2022春晋安区期中）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件仍不能判断四边形ABCD是菱形的是（）AABADBAO2+BO2AB2CACBDDBACACB【变式4-1】（2022春九龙坡区校级月考）如图，在ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，添加下列条件不能判定四边形ABCD是菱形的是（）AABBCBACBDCAC平分DABDACBD【变式4-2】（2021秋天桥区期末）如图，点B，C分别是锐角A两边上的点，ABAC，分别以点B
6、，C为圆心，以AB的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接BD，CD，则根据作图过程判定四边形ACDB是菱形的依据是（）A对角线互相垂直的平行四边形是菱形B对角线平分一组对角的四边形是菱形C一组邻边相等的四边形是菱形D四条边相等的四边形是菱形【变式4-3】（2022春无锡期中）如图，已知点E、F分别是四边形ABCD的边AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点，要使四边形EGFH是菱形，则四边形ABCD需满足的条件是（）AABCDBACBDCACBDDADBC【典例5】（2022潮南区模拟）如图，四边形ABCD中，ABAD，BD，AEBC于E，AFCD于F，连接EF（1）若EAF60，求
7、证：AEF是等边三角形；（2）若ABCD，求证：四边形ABCD为菱形【变式5-1】（2021秋碑林区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB6，AD3，C60，E，F分别是AB，CD的中点，连接DE、BF求证：四边形EBFD是菱形【变式5-2】（2021秋佛山月考）如图，平行四边形ABCD中，以A为圆心，DA的长为半径画弧，交BA于点F，作DAB的角平分线，交CD于点E，连接EF求证：四边形AFED是菱形【变式5-3】（2022春宝应县月考）已知：如图，在ABCD中，点 E、F分别在AD、BC上，且BE平分ABC，EFAB求证：（1）ABAE；（2）四边形ABFE是菱形【典例6】（2020
8、春永春县期末）如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB13，AC24，BD10求证：四边形ABCD是菱形【变式6-1】（2019秋景泰县校级期中）已知：如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB，OA2，OB1，求证：ABCD是菱形【变式6-2】（2022春新田县期中）如图，在ABCD中，点O是对角线BD的中点，过点O作EFBD，垂足为点O，且交AD，BC分别于点E，F求证：四边形BEDF是菱形【考点 4 菱形的性质与判定综合】【典例7】（2022丹江口市模拟）如图，AMBN，C是BN上一点，BD平分ABN且过AC的中点O，交AM于点D，DEBD，交BN于点E（1）求证：四边
9、形ABCD是菱形（2）若DEAB2，求菱形ABCD的面积【变式7-1】（2022春庐江县期中）如图，ABC中，D，E分别是AC，AB的中点，DECE，过点B作BFCE，交DE的延长线于点F（1）求证：四边形BCEF是菱形（2）若BC2，BCE60，求菱形BCEF的面积【变式7-2】（2021秋章丘区期末）如图，在四边形ABCD中，ADBC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N（1）求证：四边形BNDM是菱形；（2）若C90，BC16，CD8，求菱形BNDM的周长【变式7-3】（2022仪征市一模）在RtABC中，BAC90，D是BC的中点，E是AD的中点过点A做AFBC交BE
10、的延长线于点F（1）求证：AEFDEB；（2）证明四边形ADCF是菱形；（3）若AC3，AB4，求菱形ADCF的面积专题1.1菱形的性质（知识解读）【直击考点】 【学习目标】1、探索菱形的面积计算公式，并运用其进行有关计算。2、能够综合应用菱形的性质定理与判定定理进行相关的证明和计算。3、通过相关证明和计算，进一步发展逻辑思维能力与推理论证能力。【知识点梳理】考点 1 菱形的性质 ：菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。菱形的性质：（1）具有平行四边形的性质（3） 且四条边都相等（3）两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。注意：菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称
11、轴。考点2 菱形的面积：菱形的面积等于两条对角线长的乘积的一半 考点3 菱形的判定：菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。对角线互相垂直的平行四边形是菱形。四条边都相等的四边形是菱形。【典例分析】【考点 1 菱形的性质】【典例1】（2022春海淀区校级期中）若菱形两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为（）A10B12C16D20【答案】D【解答】解：在菱形ABCD中，AC8，BD6，如图：ABCD为菱形，ACBD，BO3，AO4AB5周长4520故选：D【变式1-1】（2022春启东市校级月考）如图，若四边形ABCD是菱形，AC24，BD10，则菱形ABCD的边长是（）A13
12、B12C26D52【答案】A【解答】解：四边形ABCD是菱形，OAOC，OBOD，ACBD，AC24，BD10，PA12，OB5，在RtAOB中，由勾股定理得，AB，故选：A【变式1-2】（2021秋双流区期末）如图，在菱形ABCD中，BAD60，对角线BD6，则菱形的边AB的长为（）A4B6C3D8【答案】B【解答】解：四边形ABCD为菱形，ABBCCDAD，BAD60，ABD为等边三角形，ABBD6，故选：B【变式1-3】（2022剑阁县模拟）如图，在菱形ABCD中，BAD60，连接AC，BD，若BD8，则AC的长为（）AB8CD16【答案】C【解答】解：如图，设AC，BD交于O，四边形A
13、BCD是菱形，ACBD，AC2AO，ODBD4，DAODAB30，AD2OD8，AO4，AC2AO8，故选：C【典例2】（2022石阡县模拟）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是AB、AC的中点，如果EF4，那么菱形ABCD的周长是（）A16B24C28D32【答案】D【解答】解：点E、F分别是AB、AC的中点，EF4，BC2EF8，四边形ABCD是菱形，菱形ABCD的周长是：4832故选：D【变式2-1】（2020春武川县期中）如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，H为AD边的中点，BC6cm，则OH的长为（）A6cmB4cmC3cmD2cm【答案】C【解答】解：四边形ABCD
14、是菱形，ADBC6cm，ACBD，H为AD边的中点，HOAD3cm故选：C【变式2-2】（2018沙湾区模拟）如图，在菱形ABCD中，AB2，B60，E、F分别是边BC、CD中点，则AEF周长等于（）ABCD3【答案】B【解答】解：如图，连接AC，菱形ABCD，B60，ABC是等边三角形，点E是BC的中点，AE，EAC30，同理可得：AF，FAC30，AEAF，EACFAC，AEF是等边三角形，AEF的周长33故选：B【变式2-3】（2022河东区一模）如图，若菱形ABCD的顶点A、B的坐标分别为（3，0）、（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是（）A（5，4）B（5，5）C（4，4）D（4
15、，5）【答案】A【解答】解：菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（2，0），点D在y轴上，AB3（2）5，ABCD，ADCDAB5，即CDx轴，在RtAOD中，由勾股定理得：OD4，点C的坐标是：（5，4）故选：A【考点 2 菱形的面积】 【典例3】（2022春连江县期中）如图，在菱形ABCD中，对角线BD4，AC12，则菱形ABCD的面积为（）A96B48C24D12【答案】C【解答】解：BD4，AC12，菱形ABCD的面积24，故选：C【变式3-1】（2021秋深圳期末）已知菱形的两条对角线的长分别为6cm和8cm，则这个菱形的面积是（）A20cm2B24cm2C48cm2D1
16、00cm2【答案】B【解答】解：菱形的两条对角线的长分别为6cm和8cm，这个菱形的面积6824（cm2），故选：B【变式3-2】（2022渝中区校级模拟）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DHAB于点H，连接OH，若OA4，OH2，则菱形ABCD的面积为（）A8B16C24D32【答案】B【解答】解：四边形ABCD是菱形，OAOC，OBOD，ACBD，DHAB，BHD90，BD2OH，OH2，BD4，OA4，AC8，菱形ABCD的面积ACBD16故选：B【变式3-3】（2022春仓山区期中）如图，四边形ABCD是菱形，AC8，BD6，DHAB于点H，则DH的长是（）AB
17、CD【答案】C【解答】解：如图，设AC与BD的交点为O，四边形ABCD是菱形，ACBD，OAOC4，OBOD3，AB5，S菱形ABCDACBDABDH，DH，故选C【考点 3 菱形的判定】 【典例4】（2022春晋安区期中）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件仍不能判断四边形ABCD是菱形的是（）AABADBAO2+BO2AB2CACBDDBACACB【答案】C【解答】解：ABAD，平行四边形ABCD是菱形，故A正确；AO2+BO2AB2，AOB是直角三角形，ACBD，平行四边形ABCD是菱形，故B正确；ACBD，平行四边形ABCD是矩形，故C错误；BACACB，
18、ABBC，平行四边形ABCD是菱形，故D正确；故选：C【变式4-1】（2022春九龙坡区校级月考）如图，在ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，添加下列条件不能判定四边形ABCD是菱形的是（）AABBCBACBDCAC平分DABDACBD【答案】D【解答】解：当ABBC或ACBD时，均可判定平行四边形ABCD是菱形，故选项A、B不符合题意；AC平分DAB，BACDAC，四边形ABCD是平行四边形，ABCD，BACDCA，DACDCA，CDAD，平行四边形ABCD是菱形，故选项C不符合题意；当ACBD时，可判定平行四边形ABCD是矩形，故选项D符合题意；故选：D【变式4-2】（2021秋天桥区
19、期末）如图，点B，C分别是锐角A两边上的点，ABAC，分别以点B，C为圆心，以AB的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接BD，CD，则根据作图过程判定四边形ACDB是菱形的依据是（）A对角线互相垂直的平行四边形是菱形B对角线平分一组对角的四边形是菱形C一组邻边相等的四边形是菱形D四条边相等的四边形是菱形【答案】D【解答】解：由作图得：BABD，CACD，ABAC，ABACBDCD，四边形ACDB是菱形，故选：D【变式4-3】（2022春无锡期中）如图，已知点E、F分别是四边形ABCD的边AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点，要使四边形EGFH是菱形，则四边形ABCD需满足的条件是
20、（）AABCDBACBDCACBDDADBC【答案】A【解答】解：点E、F分别是四边形ABCD的边AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点，EGFHAB，EHFGCD，当EGFHGFEH时，四边形EGFH是菱形，当ABCD时，四边形EGFH是菱形故选：A【典例5】（2022潮南区模拟）如图，四边形ABCD中，ABAD，BD，AEBC于E，AFCD于F，连接EF（1）若EAF60，求证：AEF是等边三角形；（2）若ABCD，求证：四边形ABCD为菱形【答案】略【解答】（1）证明：AEBC，AFCD，AEBAFD90，在ABEADF中，ABEADF（AAS），AEAF，AEF是等腰三角
21、形，EAF60，AEF是等边三角形；（2）证明：ABCD，B+C180，BD，D+C180，ADBC，四边形ABCD为平行四边形，又ABAD，平行四边形ABCD为菱形【变式5-1】（2021秋碑林区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB6，AD3，C60，E，F分别是AB，CD的中点，连接DE、BF求证：四边形EBFD是菱形【答案】略【解答】证明：四边形ABCD是平行四边形，ABCD，DCAB，AC60，E，F分别是AB，CD的中点，AB6，AD3，DFAEEB3，四边形EBFD是平行四边形，ADAE3，A60，ADE是等边三角形，DEAE3，DEEB，平行四边形EBFD是菱形【变式5-
22、2】（2021秋佛山月考）如图，平行四边形ABCD中，以A为圆心，DA的长为半径画弧，交BA于点F，作DAB的角平分线，交CD于点E，连接EF求证：四边形AFED是菱形【答案】略【解答】证明：四边形ABCD是平行四边形，ABCD，DEAFAE，AE平分BAD，DAEFAE，DEADAE，ADED，ADAF，DEAF，四边形AFED是平行四边形，又ADED，平行四边形AFED是菱形【变式5-3】（2022春宝应县月考）已知：如图，在ABCD中，点 E、F分别在AD、BC上，且BE平分ABC，EFAB求证：（1）ABAE；（2）四边形ABFE是菱形【答案】略【解答】证明：（1）四边形ABCD是平行
23、四边形，ADBC，AEBEBF，BE平分ABC，ABEFBE，ABEAEB，ABAE；（2）四边形ABCD是平行四边形，ADBC，又EFAB，四边形ABFE是平行四边形，由（1）得：ABAE，平行四边形ABFE是菱形【典例6】（2020春永春县期末）如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB13，AC24，BD10求证：四边形ABCD是菱形【答案】略【解答】证明：四边形ABCD是平行四边形，OAAC12，OBBD5，OA2+OB2122+52169，AB2132169，OA2+OB2AB2，AOB90，ACBD，ABCD是菱形【变式6-1】（2019秋景泰县校级期中）已知：如图，在ABC
24、D中，对角线AC与BD相交于点O，AB，OA2，OB1，求证：ABCD是菱形【答案】略【解答】证明：在AOB中，AB，OA2，OB1，AO2+OB222+15，又AB2（）25，AO2+OB2AB2，AOB90，ACBD；四边形ABCD是平行四边形，ABCD是菱形【变式6-2】（2022春新田县期中）如图，在ABCD中，点O是对角线BD的中点，过点O作EFBD，垂足为点O，且交AD，BC分别于点E，F求证：四边形BEDF是菱形【答案】略【解答】证明：四边形ABCD是平行四边形，O为对角线BD的中点，BODO，EDBFBO，在EOD和FOB中，DOEBOF（ASA）；OEOF，又OBOD，四边形
25、BEDF是平行四边形，EFBD，平行四边形BEDF为菱形【考点 4 菱形的性质与判定综合】【典例7】（2022丹江口市模拟）如图，AMBN，C是BN上一点，BD平分ABN且过AC的中点O，交AM于点D，DEBD，交BN于点E（1）求证：四边形ABCD是菱形（2）若DEAB2，求菱形ABCD的面积【答案】（1）略 （2）【解答】（1）证明：点O是AC的中点，AOCO，AMBN，DAOBCO，在AOD和COB中，ADOCBO（ASA），ADCB，又AMBN，四边形ABCD是平行四边形，AMBN，ADBCBD，BD平分ABN，ABDCBD，ABDADB，ADAB，平行四边形ABCD是菱形；（2）解：
26、由（1）得：四边形ABCD是菱形，ACBD，ADCB，又DEBD，ACDE，AMBN，四边形ACED是平行四边形，ACDE2，ADEC，ECCB，四边形ABCD是菱形，ECCBAB2，EB4，在RtDEB中，由勾股定理得：BD2，S菱形ABCDACBD【变式7-1】（2022春庐江县期中）如图，ABC中，D，E分别是AC，AB的中点，DECE，过点B作BFCE，交DE的延长线于点F（1）求证：四边形BCEF是菱形（2）若BC2，BCE60，求菱形BCEF的面积【答案】(1) 略 (2)2【解答】（1）证明：D、E分别是AC、AB的中点，DE是ABC的中位线，DEBC，DEBC，EFBC，BFC
27、E，四边形BCEF是平行四边形，DECE，BCCE，平行四边形BCEF是菱形；（2）解：如图，过点E作EGBC于点G，由（1）知BCCE，BCE60，BCE是等边三角形，BECEBC2，EGBC，BGBC1，在RtBGE中，由勾股定理得：EG，S菱形BCEFBCEG22【变式7-2】（2021秋章丘区期末）如图，在四边形ABCD中，ADBC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N（1）求证：四边形BNDM是菱形；（2）若C90，BC16，CD8，求菱形BNDM的周长【答案】（1） 略 （2）40【解答】（1）证明：ADBC，DMOBNO，MN是对角线BD的垂直平分线，OBOD，
28、MNBD，在MOD和NOB中，MODNOB（AAS），OMON，OBOD，四边形BNDM是平行四边形，MNBD，平行四边形BNDM是菱形；（2）解：四边形BNDM是菱形，BMBNDMDN，设BNDNx，则CNBCBN16x，在RtCDN中，由勾股定理得：CD2+CN2DN2，即82+（16x）2x2，解得：x10，即BN10，菱形BNDM的周长4BN40【变式7-3】（2022仪征市一模）在RtABC中，BAC90，D是BC的中点，E是AD的中点过点A做AFBC交BE的延长线于点F（1）求证：AEFDEB；（2）证明四边形ADCF是菱形；（3）若AC3，AB4，求菱形ADCF的面积【答案】（1） 略 （2）略 （3）6【解答】（1）证明：AFBC，AFEDBE，E是AD的中点，AD是BC边上的中线，AEDE，BDCD，在AEF和DEB中，AEFDEB（AAS）；（2）证明：由（1）知，AFEDBE，则AFDBDBDC，AFCDAFBC，四边形ADCF是平行四边形，BAC90，D是BC的中点，E是AD的中点，ADDCBC，四边形ADCF是菱形；（3）解：连接DF，如图所示：AFBD，AFBD，四边形ABDF是平行四边形，DFAB4，四边形ADCF是菱形，菱形ADCF的面积ACDF346
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