1、专题09 导数的概念意义及运算（考点清单）目录一、思维导图2二、知识回归3三、典型例题讲与练4考点清单：01平均变化率4【考试题型1】求平均变化率4考点清单：02瞬时变化率5【考试题型1】求瞬时变化率5考点清单：03导数的概念6【考试题型1】导数概念中极限的简单计算6【考试题型2】利用定义求导数7考点清单：04导数的几何意义7【考试题型1】求在某一点出切线7【考试题型2】求过某一点处切线9【考试题型3】已知切线求参数10【考试题型4】已知某点处的导数值求参数11考点清单：05导数的运算12【考试题型1】导数的加减乘除，复合运算12考点清单：06已知切线的条数求参数14【考试题型1】已知切线的条
2、数求参数14一、思维导图二、知识回归知识点01：函数的平均变化率定义：一般地，函数在区间上的平均变化率为：，表示为函数从到的平均变化率，若设,则平均变化率为 知识点02：函数在处的导数（瞬时变化率）定义：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作.知识点03：导数的几何意义如图,在曲线上任取一点,如果当点沿着曲线无限趋近于点时,割线无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线.则割线的斜率知识点04：曲线的切线问题1、在型求切线方程已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程.步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点.第二步：计算切线斜率.
3、第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。根据直线的点斜式方程得到切线方程：.2、过型求切线方程已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程.步骤：第一步：设切点第二步：计算切线斜率；计算切线斜率；第三步：令：，解出，代入求斜率第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：.三、典型例题讲与练：01平均变化率【考试题型1】求平均变化率【解题方法】【典例1】（2023上北京高二清华附中校考期中）已知函数，则的大小关系为（）ABCD【答案】C【详解】作出函数的图象，如图所示. 由图可知曲线上各点与坐标原点的连线的斜率随着的增大而减小.由，得，即，故选：C【专训1-1】（
4、2023全国高二课堂例题）已知函数，分别计算它们在区间，上的平均变化率【答案】3；3；-3；6【详解】函数在上的平均变化率为函数在上的平均变化率为函数在上的平均变化率为函数在上的平均变化率为：02瞬时变化率【考试题型1】求瞬时变化率【解题方法】【典例1】（2023上上海高三校考期中）物体位移s和时间t满足函数关系，则当时，物体的瞬时速度为 【答案】80【详解】因为.所以该物体时，物体的瞬时速度为.故答案为：80【专训1-1】（2023下内蒙古鄂尔多斯高二校联考期末）已知质点运动的位移（单位：米）与时间（单位：秒）的关系为，则质点在时刻的瞬时速度为 米/秒【答案】1【详解】由题意得，所以，即质点
5、在时刻的瞬时速度为1米/秒故答案为：1.：03导数的概念【考试题型1】导数概念中极限的简单计算【解题方法】【典例1】（2023上上海闵行高三校考期中）已知函数，若，则 .【答案】【详解】，又，所以.故答案为：.【专训1-1】（2023上浙江宁波高二镇海中学校考期中）设函数在处可导且，则 【答案】【详解】由.故答案为：.【考试题型2】利用定义求导数【解题方法】【典例1】（2023全国高二课堂例题）已知(1)求在处的导数；(2)求在处的导数【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，所以，故在处的导数等于，即（2）因为，所以，故在处的导数等于，即【专训1-1】（2023全国高二课堂例题）已知，求曲线在
6、处的切线斜率【答案】4【详解】设，则割线PQ的斜率为，当无限趋近于0时，无限趋近于常数4，所以曲线在点处的切线斜率为4：04导数的几何意义【考试题型1】求在某一点出切线【解题方法】【典例1】（2023全国高三专题练习）已知函数当时，求曲线在点处的切线方程【答案】【详解】当时，定义域为，且.根据导数的几何意义可得曲线在点处的切线斜率.又，代入点斜式方程可得，整理可得，.【典例2】（2023全国高三专题练习）已知函数求曲线在处切线的斜率【答案】【详解】由已知可得，定义域为，且.根据导数的几何意义可知，曲线在处切线的斜率.【专训1-1】（2023上山东淄博高三统考期中）已知函数(1)求曲线在点处的切
7、线方程；【答案】(1)【详解】（1），定义域为，故切线方程为，即；【考试题型2】求过某一点处切线【解题方法】计算切线斜率【典例1】（2023下陕西渭南高二校考期中）已知曲线方程求过点与曲线相切的直线方程【答案】和【详解】设切点坐标为，则切线方程为，即，代入，则，即，解得或，当时，所求直线方程为；当时，切点，斜率为，所求直线方程为.所以过点与曲线相切的直线方程为和【典例2】（2023上山东高三校联考开学考试）曲线过原点的切线方程为 .【答案】或.【详解】由题意可得，设切点为，则，所以函数过原点的切线方程为，解之得，则，此时切线方程为，若切点为原点，则，此时切线方程为.故答案为：或.【专训1-1】
8、（2023上新疆伊犁高三奎屯市第一高级中学校考阶段练习）已知函数.(1)求的单调区间；(2)求过点的切线方程.【答案】(1)的单调递增区间是，单调递减区间是(2)y2x1【详解】（1）的定义域为，所以的单调递增区间是：，单调递减区间是：.（2）由题意可得点不在曲线上，设切点为，因为，所以所求切线的斜率，又由斜率公式得，因为切点在上，所以，所以，即，设，在上单调递增，且，所以有唯一解，则所求切线的斜率，故所求切线方程为.【考试题型3】已知切线求参数【解题方法】导数概念【典例1】（2023四川攀枝花统考模拟预测）函数在点处的切线与直线平行则实数 【答案】1【详解】因为，所以，依题意可得，即，解得.
9、故答案为：【典例2】（2023上山东聊城高三统考期中）已知直线是函数在点处的切线，则 【答案】4【详解】因为，所以，因为直线是函数在点处的切线，所以，解得，所以，故答案为：4【专训1-1】（2023全国高三专题练习）设函数，曲线在点处的切线方程为求的值；【答案】【详解】因为，所以，因为在处的切线方程为，所以，则，解得，所以.【考试题型4】已知某点处的导数值求参数【解题方法】导数概念【典例1】（2023全国高三专题练习）设函数，若，则（）A3BCD1【答案】A【详解】由函数，可得，因为，可得，解得.故选：A.【典例2】（2023上陕西渭南高二统考期末）已知，若，则a的值是 【答案】1【详解】解：
10、因为，所以，则，解得，故答案为：1【专训1-1】（2023下北京房山高二统考期末）函数，若，则 【答案】/【详解】函数，求导得，而，即，解得，所以.故答案为：05导数的运算【考试题型1】导数的加减乘除，复合运算【解题方法】导数四则运算和复合运算法则【典例1】（2023全国高二随堂练习）写出下列函数的中间变量，并利用复合函数的求导法则分别求出函数的导数：(1)； (2)； (3)；(4)； (5)； (6)【详解】（1）令，因为，所以.（2）令，因为，.（3）令，因为，.（4）令，因为，.（5）令，因为，.（6）令，因为， .【专训1-1】（2023上山西临汾高三校考阶段练习）求下列函数的导数：
11、(1)(2)(3)(4)(5)(6)【详解】（1）因为，所以.（2）因为，所以.（3）因为，所以.（4）因为，所以.（5）因为，所以.（6）因为，所以.：06已知切线的条数求参数【考试题型1】已知切线的条数求参数【解题方法】几何法+代数运算【典例1】（2023全国高三专题练习）已知函数，若过点存在三条直线与曲线相切，则的取值范围为 【答案】【详解】设切点为，由，得，所以切线的斜率为，所以切线方程为，因为切线过点，所以，整理得，令，则，由，得或，当或时，当时，所以在和上递增，在上递减，所以当时，取得极大值，当时，取得极小值，因为过点存在三条直线与曲线相切，所以，得，即的取值范围为，故答案为：【典
12、例2】（2023全国模拟预测）若曲线有3条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围为 .【答案】【详解】由题意得，设过坐标原点的直线与曲线相切于点，则，且切线的斜率为， 所以切线方程为，又切线过坐标原点，因此， 整理得，设，则“曲线有3条过坐标原点的切线”等价于“函数有3个不同的零点”， ，当x变化时，与的变化情况如下表：x0100当时，当时，所以，解得.【专训1-1】（2023上贵州贵阳高三贵阳一中校考阶段练习）已知曲线，过点作该曲线的两条切线，切点分别为，则（）ABCD3【答案】D【详解】由函数，可得，设切点坐标为，所以，所以切线方程为，所以，即，因为过点作该曲线的两条切线，所以关于的方程有两个不同的解，即关于的方程有两个不同的解，所以.故选：D.【专训1-2】（2023全国模拟预测）若过点与曲线相切的直线只有2条，则的取值范围是（）ABCD【答案】D【详解】设过点的直线与曲线相切于点，由，可得，所以切线的斜率，整理得，因为切线有2条，所以切点有2个，即方程有2个不等实根，则，解得或，所以的取值范围是故选：D
