1、1设F1，F2分别是椭圆E：1(ab0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A， B两点，|AF1|3|F1B|，且|AB|4，ABF2的周长为16.(1)求|AF2|；(2)若直线AB的斜率为1，求椭圆E的方程导学号35950706解：(1)由|AF1|3|F1B|，|AB|4，得|AF1|3，|F1B|1.因为ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a16，|AF1|AF2|2a8，故|AF2|2a|AF1|835.(2)由(1)可设椭圆方程为1，F1(c,0)，其中c.设直线AB的方程为yxc，即xyc，代入椭圆方程得b2(yc)216y216b2.整理得(b216)y22b2cyb
2、40.4b4c24b4(b216)128b40，y1，y2.由|AF1|3|BF1|知y13y2，得2b2c8b23(2b2c8b2)解得c2.又因为c，所以b28，所以椭圆E的方程为1.2设A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆1(ab0)上的两点，已知向量m，n，若m n0且椭圆的离心率e，短轴长为2，O为坐标原点(1)求椭圆的方程；(2)若直线AB过椭圆的焦点F(0，c)(c为半焦距)，求直线AB的斜率k的值导学号35950707解：(1)由2b2，得b1，由e，得a2，c，故椭圆的方程为x21.(2)由题意，设AB的方程为ykx.由得(k24)x22kx10.所以x1x2，x1x2.
3、由已知mn0，得x1x2(kx1)(kx2)x1x2(x1x2)0，解得k.3已知椭圆C：1(ab0)，椭圆C上的一动点到右焦点的最短距离为2，且右焦点到直线x的距离等于半短轴的长已知点P(4,0)过P点的直线l与椭圆C相交于M，N两点(1)求椭圆C的方程；(2)求的取值范围；导学号35950708解：(1)由题意知解得故椭圆C的方程为1.(2)由题意知直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为yk(x4)由得(2k21)x216k2x32k240.(16k2)24(2k21)(32k24)1696k20，解得0k2.设点M(x1，y1)，N(x2，y2)，则有x1x2，x1x2，y1y2k2(x
4、14)(x24)，从而x1x2y1y222.因为0k2b0)的离心率e，直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等(1)求椭圆E的方程；(2)过圆O上任意一点P作椭圆E的两条切线，若切线都存在斜率，求证：两切线的斜率之积为定值导学号35950709解：(1)设椭圆的半焦距为c，圆心O到直线l的距离d，所以b.由题意，得所以a23，b22.所以椭圆E的方程为1.(2)证明：设点P(x0，y0)，则椭圆E的切线l0的方程为yy0k(xx0)，联立直线l0与椭圆E的方程，得消去y，得(32k2)x24k(y0kx0)x2(kx0y0)260，所以4k(y0kx0)24(32k2)2(kx0y0)260，整理，得(2x)k22kx0y0(y3)0.设满足题意的椭圆E的两条切线的斜率分别为k1，k2，则k1k2.因为点P在圆O上，所以xy5.所以k1k21.所以两条直线的斜率之积为常数1.
