1、第九节圆锥曲线的综合问题A组基础题组1.(2014北京,19,14分)已知椭圆C:x2+2y2=4.(1)求椭圆C的离心率;(2)设O为原点.若点A在直线y=2上,点B在椭圆C上,且OAOB,求线段AB长度的最小值.2.(2017北京东城一模)已知椭圆W:+=1(ab0)的左右焦点分别为F1,F2,且|F1F2|=2,椭圆上一动点P满足|PF1|+|PF2|=2.(1)求椭圆W的标准方程及离心率;(2)如图,过点F1作直线l1与椭圆W交于点A,C,过点F2作直线l2l1,且l2与椭圆W交于点B,D,l1与l2交于点E,试求四边形ABCD的面积的最大值.3.(2016北京西城期末)已知椭圆C:+
2、=1(ab0)的离心率为,点A在椭圆C上,O为坐标原点.(1)求椭圆C的方程;(2)设动直线l与椭圆C有且仅有一个公共点,且l与圆x2+y2=5相交于不在坐标轴上的两点P1,P2,记直线OP1,OP2的斜率分别为k1,k2,求证:k1k2为定值.4.(2016北京朝阳一模)已知椭圆C:+=1的焦点分别为F1,F2.(1)求以线段F1F2为直径的圆的方程;(2)过点P(4,0)任作一条直线l与椭圆C交于不同的两点M,N.在x轴上是否存在点Q,使得PQM+PQN=180?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.B组提升题组5.(2017北京海淀二模)已知F1(-1,0)、F2(1,0)分别是
3、椭圆C:+=1(a0)的左、右焦点.(1)求椭圆C的方程;(2)若A,B分别在直线x=-2和x=2上,且AF1BF1.(i)当ABF1为等腰三角形时,求ABF1的面积;(ii)求点F1,F2到直线AB距离之和的最小值.6.(2016北京海淀二模)已知曲线C:+=1(y0),直线l:y=kx+1与曲线C交于A,D两点,A,D两点在x轴上的射影分别为点B,C.(1)当点B坐标为(-1,0)时,求k的值;(2)记OAD的面积为S1,四边形ABCD的面积为S2.(i)若S1=,求|AD|的值;(ii)求证:.答案精解精析A组基础题组1.解析(1)由题意,知椭圆C的标准方程为+=1.所以a2=4,b2=
4、2,从而c2=a2-b2=2.因此a=2,c=.故椭圆C的离心率e=.(2)设点A,B的坐标分别为(t,2),(x0,y0),其中x00.因为OAOB,所以=0,即tx0+2y0=0,解得t=-.又+2=4,所以|AB|2=(x0-t)2+(y0-2)2=+(y0-2)2=+4=+4=+4(04).因为+4(04),当且仅当=4时等号成立,所以|AB|28.故线段AB长度的最小值为2.2.解析(1)由已知,得解得所以椭圆W的标准方程为+=1,离心率e=.(2)连接EO.由题意知EF1EF2,所以|EO|=|F1F2|=1.所以点E的轨迹是以原点为圆心,1为半径的圆.显然点E在椭圆W的内部.S四
5、边形ABCD=SABC+SADC=|AC|BE|+|AC|DE|=|AC|BD|.当直线l1,l2中的一条直线与x轴垂直时,不妨令l2x轴,此时AC为长轴,BDx轴,把x=1代入椭圆方程,可求得y=,则|BD|=,此时S四边形ABCD=|AC|BD|=4.当直线l1,l2的斜率都存在时,设直线l1:x=my-1(m0),A(x1,y1),B(x2,y2).联立消去x,得(2m2+3)y2-4my-4=0.所以y1+y2=,y1y2=,则|AC|=.同理,|BD|=.S四边形ABCD=|AC|BD|=40.即(-16k2)2-4(2k2+1)(32k2-4)0,解得k2.设M(x1,y1),N(
6、x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,y1=k(x1-4),y2=k(x2-4).k1+k2=+=0,即(x1-m)y2+(x2-m)y1=0,即(x1-m)k(x2-4)+(x2-m)k(x1-4)=0,当k0时,2x1x2-(m+4)(x1+x2)+8m=0,所以2-(m+4)+8m=0,化简得=0,所以m=1.当k=0时,也成立.所以存在点Q(1,0),使得PQM+PQN=180.B组提升题组5.解析(1)由题意可得a2-3=1,所以a2=4,所以椭圆C的方程为+=1.(2)由题意可设A(-2,m),B(2,n),因为AF1BF1,所以=0,所以(1,-m)(-3,-n)=0,所以m
7、n=3.(i)因为AF1BF1,所以当ABF1为等腰三角形时,只能是|AF1|=|BF1|,即=,化简得m2-n2=8.由可得或所以=|AF1|BF1|=()2=5.(ii)直线AB:y=(x+2)+m,化简得(n-m)x-4y+2(m+n)=0,设点F1,F2到直线AB的距离分别为d1,d2,则d1+d2=+.因为点F1,F2在直线AB的同一侧,所以d1+d2=4.因为mn=3,所以m2+n22mn=6(当且仅当m=n时取等号),d1+d2=4=4,所以d1+d2=42.当m=n=或m=n=-时,点F1,F2到直线AB的距离之和取得最小值2.6.解析(1)因为B(-1,0),所以设A(-1,
8、y0),代入+=1(y0),解得y0=,将A代入直线y=kx+1,得k=-.(2)(i)解法一:设点E(0,1),A(x1,y1),D(x2,y2).由得(3+4k2)x2+8kx-8=0,所以因为S1=|OE|(|x1|+|x2|)=1|x1-x2|=|x1-x2|,而|x1-x2|=,所以S1=,所以=,所以=,解得k=0,所以|AD|=.解法二:设点E(0,1),A(x1,y1),D(x2,y2).由得(3+4k2)x2+8kx-8=0,所以点O到直线AD的距离d=,|AD|=|x1-x2|=.所以S1=|AD|d=.所以=,解得k=0.所以|AD|=.(ii)证明:因为S2=(y1+y2)|x1-x2|,所以=,而y1+y2=kx1+1+kx2+1=k(x1+x2)+2,所以=.