1、广东省2021-2022学年高三数学期末考试分类汇编专题08 解析几何一、单选题1（2022广东珠海高三期末）双曲线的右支上一点M关于原点O的对称点为点N，F为双曲线的右焦点，若，则双曲线C的离心率e为（）ABCD2（2022广东金山中学高三期末）“”是“点在圆外”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件3（2022广东潮州高三期末）、分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与的左、右两支曲线分别交于、两点，若，则（）ABCD4（2022广东东莞高三期末）已知直线过抛物线：的焦点，且与该抛物线交于两点.若线段的长为16，的中点到轴距离为6，则（为坐标原点）的面积是（
2、）ABCD5（2022广东深圳高三期末）阿波罗尼斯（公元前262年公元前190年），古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆是他的论著中的一个著名问题：已知平面上两点A，B，则所有满足（，且）的点P的轨迹是一个圆已知平面内的两个相异定点P，Q，动点M满足，记M的轨迹为C，若与C无公共点的直线l上存在点R，使得的最小值为6，且最大值为10，则C的长度为（）ABCD6（2022广东清远高三期末）若椭圆的焦距为6，则实数（）A13B40C5D7（2022广东清远高三期末）直线被圆截得的最短弦长为（）ABCD8（2022广东汕尾高三期末
3、）已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（）ABCD2二、多选题9（2022广东珠海高三期末）已知O为坐标原点，M为平面上一动点，且满足若M的轨迹为曲线C，点P在直线上，过点P作曲线C的两条切线，A、B是切点下列结论中错误的为（）A曲线C上不存在到直线l的距离为1的点B切线长的最小值为C直线l上存在点P，使D四边形面积的最小值为110（2022广东金山中学高三期末）已知点，若过点的直线交圆：于，两点，是圆上一动点，则（）A的最小值为B到的距离的最大值为C的最小值为D的最大值为11（2022广东潮州高三期末）已知抛物线C：，过其准线上的点T(1，-1)作C的两条切线，切点分别为A、B，下
4、列说法正确的是（）Ap=1B抛物线的焦点为F(0，1)CD直线AB的斜率为12（2022广东深圳高三期末）在平面直角坐标系中，点，动点，记M到y轴的距离为d将满足的M的轨迹记为，且直线与交于相异的两点，则下列结论正确的为（）A曲线的方程为B直线l过定点CDk可能是整数13（2022广东清远高三期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，点P是双曲线C上位于第一象限的点，过点作的角平分线的垂线，垂足为A，若O为坐标原点，则（）A双曲线C的渐近线方程为B双曲线C的渐近线方程为C双曲线C的离心率为D双曲线C的离心率为14（2022广东佛山高三期末）已知椭圆的左右焦点分别为，上顶点为B，且，点P在C上，线段与
5、交于Q，则（）A椭圆C的离心率为B椭圆C上存在点K，使得C直线的斜率为D平分三、填空题15（2022广东金山中学高三期末）已知椭圆：与圆：，若在椭圆上不存在点P，使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是_.16（2022广东东莞高三期末）已知为双曲线：的一个焦点，则点到双曲线的一条渐近线的距离为_.17（2022广东深圳高三期末）在平面直角坐标系中，为双曲线的一个焦点，以为圆心的圆与的两条渐近线交于、三点，若四边形的面积为，则的离心率为_18（2022广东汕尾高三期末）已知分别是椭圆C：的左、右两个焦点，若椭圆C上存在四个不同的点P，使得，的面积为，则正实数m的取值范围
6、为_19（2022广东佛山高三期末）抛物线上一点与焦点F的距离，则M到坐标原点的距离为_.20（2022广东中山高三期末）已知点M为双曲线C：在第一象限上一点，点F为双曲线C的右焦点，O为坐标原点，则双曲线C的离心率为_；若分别交双曲线C于P、Q两点，记直线QM与PQ的斜率分别为，则_四、解答题21（2022广东珠海高三期末）已知椭圆的长轴长为4，左顶点A到上顶点B的距离为，F为右焦点(1)求椭圆C的方程和离心率；(2)设直线l与椭圆C交于不同的两点M，N（不同于A，B两点），且直线时，求F在l上的射影H的轨迹方程22（2022广东中山高三期末）已知椭圆的右焦点为,离心率为,直线被椭圆截得的弦
7、长为求椭圆的标准方程若是椭圆上一点,是坐标原点,过点与直线平行的直线与椭圆的两个交点为,且,求的最大值23（2022广东金山中学高三期末）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的左，右顶点分别为A、B，点F是椭圆的右焦点，(1)求椭圆C的方程；(2)不过点A的直线l交椭圆C于M、N两点，记直线l、AM、AN的斜率分别为k、若，证明直线l过定点，并求出定点的坐标24（2022广东潮州高三期末）已知椭圆的离心率为，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线相切(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知点A，B为动直线y=k(x-2)(k0)与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在定点E，使得为定值？若
8、存在，试求出点E的坐标和定值；若不存在，请说明理由25（2022广东东莞高三期末）已知点为椭圆的左顶点，点为右焦点，直线与轴的交点为，且，点为椭圆上异于点的任意一点，直线交于点.(1)求椭圆的标准方程；(2)证明：.26（2022广东深圳高三期末）在平面直角坐标系中，点在椭圆上，过点的直线l与C交于M，N两点（异于点A），记直线AM，AN的斜率分别为，当时，(1)求C的方程；(2)证明：为定值27（2022广东清远高三期末）设抛物线的焦点为F，准线为l，过焦点F且斜率为1的直线与抛物线C交于A，B两点，若的中点到准线l的距离为4(1)求抛物线C的方程；(2)设P为l上任意一点，过点P作C的切线
9、，切点为Q，试判断F是否在以为直径的圆上28（2022广东汕尾高三期末）已知点M为直线：x=-2上的动点，N（2，0），过M作直线的垂线l，l交线段MN的垂直平分线于点P，记点P的轨迹为C(1)求曲线C的方程；(2)设O是坐标原点，A，B是曲线C上的两个动点，且，试问直线AB是否过定点？若不过定点，请说明理由；若过定点，请求出定点坐标29（2022广东佛山高三期末）已知双曲线C的渐近线方程为，且过点.(1)求C的方程；(2)设，直线不经过P点且与C相交于A，B两点，若直线与C交于另一点D，求证：直线过定点.30（2021广东汕头高三期末）已知椭圆的离心率为，又点在椭圆上(1)求椭圆的标准方程；
10、(2)若动直线与椭圆有且只有一个公共点，过点作直线的垂线，垂足为，试探究：是否为定值，如果是，请求出该值；如果不是，请说明理由参考答案：1D【分析】根据双曲线的对称性及平面几何知识，可得为直角三角形，且，再根据双曲线的定义可求解.【详解】设为双曲线左焦点，连接，由平面几何知识可知，根据对称性，四边形为矩形，在中，所以，根据双曲线的定义可知.故选:D2B【分析】根据点在圆外得求解集，应用等价法，由集合的包含关系即可判断条件间的充分、必要关系.【详解】将化为标准方程，得当点在圆外时，有，解得“”是“点”在圆外”的必要不充分条件.故选：B.3C【分析】利用勾股定理结合双曲线的定义可求得，结合平面向量
11、数量积的运算性质可求得结果.【详解】在双曲线中，则、，因为直线过点，由图可知，直线的斜率存在且不为零，则为直角三角形，可得，由双曲线的定义可得，所以，可得，联立，解得，因此，.故选：C.【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：（1）利用定义：（2）利用向量的坐标运算；（3）利用数量积的几何意义具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用4B【分析】设，的坐标，由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离，可得的表达式，再由的中点到轴的距离是6可得，的横坐标之和，进而可得的值，求出抛物线的方程，设直线的方程，与抛物线联立，结合韦达定理可求出三角形的面积【详解】设，由抛
12、物线的定义可得，又因为的中点到轴的距离是6，所以，所以，所以抛物线的方程为：，设直线的方程，联立直线与抛物线的方程：，整理可得，所以，解得，所以的方程为：，.故选：B5B【分析】根据给定条件确定轨迹C是圆，利用圆的性质求出其半径即可计算作答.【详解】依题意，M的轨迹C是圆，设其圆心为点D，半径为r，显然直线l与圆C相离，令点D到直线l的距离为d，由圆的性质得：，解得，所以C的长度为.故选：B6A【分析】根据题意，可知，由进行运算，即可求出的值.【详解】解：因为椭圆的焦距为6，可知，则，所以，所以，解得：.故选：A.7D【分析】先求圆C的圆心为，半径为4，再计算圆心到定点的距离，最后根据垂径定理
13、可求解.【详解】将圆化为一般方程为，因此可知圆C的圆心为，半径为4，因为直线l过定点，所以当圆心到直线l的距离为时，直线l被圆C截得的弦长最短，且最短弦长为故选：D8D【分析】由渐近线求出，进而求出离心率.【详解】双曲线的渐近线方程为，离心率，故选：D9AD【分析】先求M的轨迹方程为圆，再判断圆与直线的位置关系结合切线长与勾股定理可求解.【详解】设，则，即M的轨迹方程为圆，对于A，圆心O到直线的距离，故圆上的点到直线的距离为，显然，故曲线C上存在到直线l的距离为的点，A选项错误；对于B，当最小时最小，此时，所以B选项正确；对于C，当时，此时，所以，所以直线l上存在点P，使，C选项正确；对于D，
14、四边形面积，所以D选项错误综上所述，故选：AD10ABD【分析】对于A，由圆的性质可得当直线与轴垂直时，有最小值，从而可求出其最小值；对于B，当直线与垂直时，到的距离有最大值；对于C，设，从而可得，进而可求出其最小值；对于D，当，三点共线时，最大【详解】如图，当直线与轴垂直时，有最小值，且最小值为，所以A正确；设，则，所以，所以的最小值为，所以C错误；当，三点共线时，最大，且最大值为，所以D正确；当直线与垂直时，到的距离有最大值，且最大值为，所以B正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆，考查运算求解能力，解题的关键是由题意画出图形，结合图形求解，考查数形结合的思想，属于中档题1
15、1BCD【分析】：，故选项A不正确；抛物线：的焦点为F(0，1)，所以选项B正确；设直线，联立直线和抛物线的方程，得到韦达定理，利用韦达定理可判断选项C正确；求出：，故.故选项D正确.【详解】解：易知准线方程为，：，故选项A不正确；抛物线：的焦点为F(0，1)，所以选项B正确；设直线，代入，得，当直线与相切时，有，即，设，斜率分别为，易知，是上述方程两根，故，故.故选项C正确；设，其中，.则：，即.代入点，得，同理可得，故：，故.故选项D正确.故选：BCD12BC【分析】由题意结合抛物线的定义，得到点的轨迹方程为，可判定A不正确；把直线化简为，可判定B正确；联立方程组，结合韦达定理，可判定C正
16、确；结合，可判定D不正确.【详解】由题意，点M到y轴的距离为d，将满足的M的轨迹记为，即点M到轴的距离和点到的距离相等，结合抛物线的定义，可得点的轨迹为以为焦点，以为准线的抛物线，所以点的轨迹方程为，所以A不正确；由直线，可化为，所以直线必过定点，所以B正确；由，整理得，可得，所以C正确；又由，即，解得，所以D不正确.故选：BC.13AC【分析】作出图形，延长交于Q，根据题意可知，然后结合双曲线的定义可以求出，进而求出，即得到a,b的关系，最后求出渐近线方程和离心率.【详解】如图，延长交于Q，则，因为，所以因为为的中位线，所以因为，所以，故双曲线C的渐近线方程为，离心率故选：AC.14ACD【
17、分析】根据给定条件用椭圆半焦距c表示a，b以及点Q的坐标，再逐一分析各个选项即可判断作答.【详解】令椭圆半焦距为c，则，由得，椭圆，而，则点，对于A，椭圆C的离心率，A正确；对于B，设，即有，即为锐角，B不正确；对于C，直线的斜率，C正确；对于D，直线的方程为，点Q到直线的距离，即点Q到直线与的距离相等，则平分，D正确.故选：ACD15【分析】设过点的两条直线与圆分别切于点，由两条切线相互垂直，可知，由题知，解得，又即可得出结果.【详解】设过的两条直线与圆分别切于点，由两条切线相互垂直，知：，又在椭圆C1上不存在点P，使得由P所作的圆C2的两条切线互相垂直，所以，即得，所以，所以椭圆C1的离心
18、率，又，所以.故答案为：.【点睛】关键点点睛：首先假设过P所作的圆C2的两条切线互相垂直求出，再由椭圆的有界性构造含椭圆参数的不等关系，即可求离心率范围.16【分析】分别求出双曲线的焦点和渐近线，再代入点到直线的距离公式即可.【详解】双曲线：的焦点为双曲线：的渐近线为由双曲线的对称性，不妨取焦点，渐近线为则则点到渐近线的距离为故答案为：417【分析】不妨设点为双曲线的右焦点，则，求出点、的坐标，可得出关于、的齐次等式，进而可求得双曲线的离心率的值.【详解】不妨设点为双曲线的右焦点，则，则以为圆心，且过原点的圆的方程为，联立，解得或，不妨设点，由对称性可知点，由已知可得，即，即，由已知，解得，因
19、此，双曲线的离心率为.故答案为：.18【分析】由椭圆的性质可知当点在短轴的端点时，的面积最大，所以由题意可得，即可求得的范围.【详解】当点P在椭圆C上运动时，故只需，即，解得：故答案为：.19【分析】写出抛物线的准线，再利用抛物线的定义直接列式计算作答.【详解】抛物线的准线为：，由抛物线定义得：，解得，抛物线方程为，而在抛物线上，则，原点为O，即有，所以M到坐标原点的距离为.故答案为：20 4 -15【分析】首先根据题意得到，从而得到，代入双曲线方程得到，从而得到；设，由题知：，根据得到，再计算即可得到答案.【详解】设，如图所示：因为，所以.所以，即.所以，整理得：，即，解得或.因为，所以，即
20、.设，由题知：，因为，所以，即，所以又因为，所以，所以.故答案为：；.【点睛】方法点睛：求离心率的方法：1.直接法：根据题意求出双曲线中的的值，再求离心率即可；2.齐次式法：根据题意得到的齐次式，再转化为关于的方程求解.21(1)，离心率为(2)【分析】（1）由题意可得，可求出，再由可求得，从而可求出椭圆C的方程和离心率；（2）设，当直线斜率存在时，可设代入椭圆方程消去，整理后利用根与系数的关系，结合，可求出的值，从而可得直线l经过定点，当直线斜率不存在时，可设，求出的坐标，结合可求出的值，得F在l上的射影H的轨迹为以为直径的圆，从而可求出射影H的轨迹方程（1）由题意可得：，可得，所以椭圆C的
21、方程为，离心率为（2）当直线斜率存在时，可设代入椭圆方程，得：设，则因为直线，垂直，斜率之积为，所以，所以将代入，整理化简得：，所以或由直线，当时，直线l经过，与B点重合，舍去，当时，直线l经过定点，当直线斜率不存在时，可设，则，因为，所以，解得，舍去综上所述，直线l经过定点，而F在l上的射影H的轨迹为以为直径的圆，其，所以圆心，半径，所以圆的方程为，即为点H的轨迹方程22（1）（2）【分析】（1）利用，得，设椭圆方程，与直线联立由弦长公式得c=1，方程可求（2）过与直线平行的直线方程，与椭圆联立韦达定理得，向量坐标化得，代入椭圆方程，利用点在椭圆上整体代入得，结合基本不等式求最值即可【详解】
22、设椭圆的焦距为,则椭圆的方程化为由得由条件知椭圆的方程为.由知,过与直线平行的直线方程由得设,则由点是椭圆上一点,得,当且仅当时,取等号,的最大值为【点睛】本题考查椭圆方程，考查弦长公式，考查向量坐标化及点在曲线上的综合运用，考查计算能力及整体代入思想，是难题23(1)；(2)证明见解析，(5,0).【分析】(1)写出A、B、F的坐标，求出向量坐标，根据向量的关系即可列出方程组，求得a、b、c和椭圆的标准方程；(2)设直线l的方程为ykxm，联立直线l与椭圆方程，根据韦达定理得到根与系数的关系，求出，根据即可求得k和m的关系，即可证明直线过定点并求出该定点.(1)由题意，知A(a，0)，B(a
23、，0)，F(c，0)，解得从而b2a2c23椭圆C的方程；(2)设直线l的方程为ykxm，直线l不过点A，因此2km0由得时，由，可得3km2k，即m5k，故l的方程为ykx5k，恒过定点(5,0).24(1)(2)存在定点，使得为定值【分析】（1）求得圆得方程，由直线与圆相切得条件，可得的值，再由离心率可求得，从而可得，即可得出答案；（2），假设存在，设，联立,消，利用韦达定理求得，分析计算从而可得出结论.(1)解：由离心率为，得，及，又以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆为，且与直线相切，所以，所以，所以椭圆C的标准方程为；(2)解：假设存在，设，联立,消整理得，设，则，由，则，要使
24、上式为定值，即与无关，则应，即，此时为定值，所以在x轴上存在定点，使得为定值.【点睛】本题考查了椭圆方程的求法，考查了满足条件的定点是否存在的判断与方法，考查了定值定点问题，考查了学生的计算能力和数据分析能力，计算量较大.25(1)(2)证明见解析【分析】（1）由，右焦点，以及关系，联立可求解出，从而得椭圆的方程；（2）设点的坐标为，表示出直线的方程，从而得点的坐标，进而表示出和，计算得，再由，代入化简计算，即可得，所以可证明.(1)由题知，得，又因为右焦点为，则，解得，所以，所以椭圆的方程为.(2)设点的坐标为，则，所以直线的方程是，当时，所以点的坐标为，所以，所以.因为点在椭圆上，所以，即
25、，所以，又因为和是锐角，所以.【点睛】一般椭圆中的动点问题，需要设出动点坐标，然后根据题意列式计算，再由动点满足椭圆的方程代入化简，即可求出定值.26(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）由题可得，再利用弦长公式可得，即求；（2）由题可设直线的方程为，利用韦达定理法可得，且，再计算即得.(1)在上， 当时，直线的方程为：，将代入，并整理得，解得，或， ，解得，椭圆的方程为：.(2)由题意知，直线的斜率存在，不妨设直线的方程为，联立得，且， ，即为定值.27(1)(2)F在以为直径的圆上【分析】（1）根据点差法可得,再由抛物线的定义及中点坐标公式建立方程求出即可；（2）设，切线的方程为，利用直
26、线与抛物线相切求出, ,根据向量的数量积即可判断.(1)设，则所以，整理得，所以因为直线的方程为，所以因为的中点到准线l的距离为4，所以，得，故抛物线C的方程为(2)设，可知切线的斜率存在且不为0，设切线的方程为，联立方程组得，由，得，即，所以方程的根为，所以，即因为，所以，所以，即F在以为直径的圆上28(1)；(2)直线过定点.【分析】（1）利用定义法求曲线C的方程；（2）设直线的方程为，联立直线和抛物线方程得到韦达定理，化简，代入韦达定理即得解.(1)解：由已知可得，即点P到定点N的距离等于它到直线的距离，故点P的轨迹是以N为焦点，为准线的抛物线，曲线C的方程为.(2)解：设直线的方程为联
27、立，得，解得所以直线过定点29(1)(2)见解析【分析】（1）可设双曲线的方程为，将点代入求出，即可得解；（2）可设直线为，联立，消，利用韦达定理求得，然后求出直线的方程，整理分析即可得出结论.(1)解：因为双曲线C的渐近线方程为，则可设双曲线的方程为，将点代入得，解得，所以双曲线C的方程为；(2)解：显然直线的斜率不为零，设直线为，联立，消整理得，依题意得且，即且，直线的方程为，令，得.所以直线过定点.30(1)；(2)是定值，且.【分析】（1）根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的标准方程；（2）对切线分三种情况讨论，设出直线的方程，根据直线与椭圆相切可得出参数
28、所满足的等量关系式，求出点的坐标，计算出的值，即可得出结论.(1)解：由已知可得，解得，因此，椭圆的方程为.(2)解：当切线的斜率存在且不为时，设的方程为，联立直线和椭圆的方程得，消去并整理，得，因为直线和椭圆有且仅有一个公共点，即方程有两个相等的根，化简并整理，得，因为直线与垂直，所以直线的方程为，联立，解得，即点.，所以，；当切线的斜率为时，直线，过点作直线的垂线为，即此时或，；当切线的斜率不存在时，直线，过点作直线的垂线为，即此时或，则.综上所述，恒为定值【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值
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