1、1在直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC90，ABACAA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A30B45C60 D90解析：选C.不妨设ABACAA11，建立空间直角坐标系如图所示，则B(0，1，0)，A1(0，0，1)，A(0，0，0)，C1(1，0，1)，所以(0，1，1)，(1，0，1)，所以cos，所以，60，所以异面直线BA1与AC1所成的角等于60.2在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为()A. BC. D解析：选B.以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设棱长为1，则A1(0，0，1)，
2、E，D(0，1，0)，所以(0，1，1)，设平面A1ED的一个法向量为n1(1，y，z)，则所以所以n1(1，2，2)因为平面ABCD的一个法向量为n2(0，0，1)，所以cosn1，n2.即所成的锐二面角的余弦值为.3(2016云南省第一次检测)在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，点D在棱BB1上，若BD1，则AD与平面AA1C1C所成角的正切值为_解析：如图，设AD与平面AA1C1C所成的角为，E为AC的中点，连接BE，则BEAC，所以BE平面AA1C1C，可得()1cos (为与的夹角)，所以cos sin ，所以所求角的正切值为tan .答案：4.如图所示，在空间直角坐标系中有直三
3、棱柱ABCA1B1C1，CACC12CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为_解析：不妨令CB1，则CACC12，可得O(0，0，0)，B(0，0，1)，C1(0，2，0)，A(2，0，0)，B1(0，2，1)，所以(0，2，1)，(2，2，1)，所以cos，0.所以与的夹角即为直线BC1与直线AB1的夹角，所以直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为.答案：5已知单位正方体ABCDA1B1C1D1，E，F分别是棱B1C1，C1D1的中点试求：(1)AD1与EF所成角的大小；(2)AF与平面BEB1所成角的余弦值解：建立如图所示的空间直角坐标系，得A(1，0，1)，B(0，0，1)，D1(1，
4、1，0)，E，F.(1)因为(0，1，1)，所以cos，即AD1与EF所成的角为60.(2)，由图可得，(1，0，0)为平面BEB1的一个法向量，设AF与平面BEB1所成的角为，则sin |cos，|，所以cos .即AF与平面BEB1所成角的余弦值为.6(2015高考重庆卷)如图，三棱锥PABC中，PC平面ABC，PC3，ACB.D，E分别为线段AB，BC上的点，且CDDE，CE2EB2.(1)证明：DE平面PCD；(2)求二面角APDC的余弦值解：(1)证明：由PC平面ABC，DE平面ABC，得PCDE.由CE2，CDDE，得CDE为等腰直角三角形，故CDDE.由PCCDC，DE垂直于平面
5、PCD内两条相交直线，故DE平面PCD.(2)由(1)知，CDE为等腰直角三角形，DCE.如图，过D作DF垂直CE于F，易知DFFCFE1.又已知EB1，故FB2.由ACB，得DFAC，故ACDF.以C为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)，P(0，0，3)，A，E(0，2，0)，D(1，1，0)，(1，1，0)，(1，1，3)，.设平面PAD的法向量为n1(x1，y1，z1)，由n10，n10，得故可取n1(2，1，1)由(1)可知DE平面PCD，故平面PCD的法向量n2可取为，即n2(1，1，0)，从而法向量n1，n2的夹角的余弦值为co
6、sn1，n2，故所求二面角APDC的余弦值为.1.(2016山西省考前质量检测)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为梯形，PD底面ABCD，ABCD，ADCD，ADAB1，BC.(1)求证：平面PBD平面PBC；(2)设H为CD上一点，满足2，若直线PC与平面PBD所成的角的正切值为，求二面角HPBC的余弦值解：(1)证明：由ADCD，ABCD，ADAB1，可得BD.又BC，所以CD2，所以BCBD.因为PD底面ABCD，所以PDBC，又PDBDD，所以BC平面PBD，又BC平面PBC，所以平面PBD平面PBC.(2)由(1)可知BPC为PC与平面PBD所成的角，所以tanBPC，所以PB
7、，PD1.由2及CD2，可得CH，DH.以点D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系则B(1，1，0)，P(0，0，1)，C(0，2，0)，H.设平面HPB的法向量为n(x1，y1，z1)，则即取y13，则n(1，3，2)设平面PBC的法向量为m(x2，y2，z2)，则即取x21，则m(1，1，2)又cosm，n，故二面角HPBC的余弦值为.2(2016长春质量检测)如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，PAABAD2，四边形ABCD满足ABAD，BCAD且BC4，点M为PC的中点，点E为BC边上的动点，且.(1)求证：平面ADM平面PBC；(2)
8、若二面角PDEB的余弦值为，求的值解：(1)证明：取PB的中点N，连接MN、AN(图略)，因为M是PC的中点，N是PB的中点，所以MNBC，MNBC2，又因为BCAD，所以MNAD，MNAD，所以四边形ADMN为平行四边形因为APAD，ABAD，所以AD平面PAB，所以ADAN，所以ANMN.因为APAB，所以ANPB，所以AN平面PBC，因为AN平面ADM，所以平面ADM平面PBC.(2)以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系Axyz(图略)，则P(0，0，2)， D(0，2，0)，B(2，0，0)，设E(2，t，0)，从而(0，2，2)，(2，t2，0)，则平面PDE的一个法向量为n1(2t，2，2)，又平面DEB即为平面xAy，其一个法向量为n2(0，0， 1)，则cosn1，n2，解得t3或t1，故3或.