1、2015-2016学年江苏省扬州中学高三（上）开学数学试卷（文科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）1已知集合A=x|x|2，B=x|0，则AB=2已知命题p：x（1，+），log2x0，则p为3若复数（其中i为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a=4设向量=（1，x），=（3，4），若，则实数x的值为5曲线y=xcosx在点（，）处的切线方程为6在平面直角坐标系xOy中，直线3x+4y5=0与圆x2+y2=4相交于A、B两点，则弦AB的长等于7记不等式x2+x60的解集为集合A，函数y=lg（xa）的定义域为集合B若“xA”是“xB”的充分条件
2、，则实数a的取值范围为8若函数f（x）=是奇函数，则使f（x）3成立的x的取值范围为9已知为第二象限角，则cos2=10若函数f（x）=2|xa|（aR）满足f（1+x）=f（1x），且f（x）在m，+）上单调递增，则实数m的最小值等于11在菱形ABCD中，则=12已知知函数f（x）=，xR，则不等式f（x22x）f（3x4）的解集是13已知f（x）是定义在2，2上的奇函数，当x（0，2时，f（x）=2x1，函数g（x）=x22x+m如果对于x12，2，x22，2，使得g（x2）=f（x1），则实数m的取值范围是14当x2，1时，不等式ax3x2+4x+30恒成立，则实数a的取值范围是二、解答
3、题（本大题共6小题，计90分）15已知，求值：（1）tan；（2）16已知命题p：关于实数x的方程x2+mx+1=0有两个不等的负根；命题q：关于实数x的方程4x2+4（m2）x+1=0无实根（1）命题“p或q”真，“p且q”假，求实数m的取值范围（2）若关于x的不等式（xm）（xm+5）0（mR）的解集为M；命题q为真命题时，m的取值集合为N当MN=M时，求实数m的取值范围17已知向量=（sin2x，2cosx），=，函数f（x）=1（I）求f（x）的周期；（）在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若f（A）=1，b=1，ABC的面积为，求边a的值18如图为某仓库一侧墙面的示意图，
4、其下部是矩形ABCD，上部是圆AB，该圆弧所在的圆心为O，为了调节仓库内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH（其中E，F在圆弧AB上，G，H在弦AB上）过O作OPAB，交AB 于M，交EF于N，交圆弧AB于P，已知OP=10，MP=6.5（单位：m），记通风窗EFGH的面积为S（单位：m2）（1）按下列要求建立函数关系式：（i）设POF=（rad），将S表示成的函数；（ii）设MN=x（m），将S表示成x的函数；（2）试问通风窗的高度MN为多少时？通风窗EFGH的面积S最大？19已知函数f（x）=+，（1）求函数f（x）的定义域和值域；（2）设F（x）=f2（x）2+f（x）（
5、其中a为参数），求F（x）的最大值g（a）20设函数f（x）=lnx，g（x）=（m0）（1）当m=1时，函数y=f（x）与y=g（x）在x=1处的切线互相垂直，求n的值；（2）若函数y=f（x）g（x）在定义域内不单调，求mn的取值范围；（3）是否存在实数a，使得f（）f（eax）+f（）0对任意正实数x恒成立？若存在，求出满足条件的实数a；若不存在，请说明理由2015-2016学年江苏省扬州中学高三（上）开学数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）1已知集合A=x|x|2，B=x|0，则AB=x|1x2【考点】交集
6、及其运算【专题】计算题【分析】利用绝对值不等式及分式不等式的解法，我们易求出集合A，B，再根据集合交集运算法则，即可求出答案【解答】解：集合A=x|x|2=（2，2）B=x|0=（1，+）AB=（1，2）=x|1x2故答案为：x|1x2【点评】本题考查的知识点是交集及其运算，其中根据绝对值不等式及分式不等式的解法，求出集合A，B，是解答本题的关键2已知命题p：x（1，+），log2x0，则p为x（1，+），log2x0【考点】命题的否定【专题】阅读型【分析】首先分析题目已知命题p：x（1，+），log2x0，求p由否命题的定义：否命题是一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否
7、定可直接得到答案【解答】解：已知命题p：x（1，+），log2x0，因为否命题是一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定则p为x（1，+），log2x0即答案为x（1，+），log2x0【点评】此题主要考查否命题的概念问题，需要注意的是否命题与命题的否定形式的区别，前者是对条件结论都否定，后者只对结论做否定3若复数（其中i为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a=1【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】数系的扩充和复数【分析】利用复数的运算法则、实部与虚部的定义即可得出【解答】解：复数=ai+1，Z的实部与虚部相等，a=1，解得a=1故答案为：1【点评】本题考查了复数的运算法
8、则、实部与虚部的定义，属于基础题4设向量=（1，x），=（3，4），若，则实数x的值为【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平行向量与共线向量；平面向量的坐标运算【专题】平面向量及应用【分析】由条件利用两个向量共线的性质求得x的值【解答】解：由于向量=（1，x），=（3，4），若，则由两个向量共线的性质可得 14x（3）=0，解得x=，故答案为【点评】本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题5曲线y=xcosx在点（，）处的切线方程为2xy=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】计算题；导数的概念及应用；直线与圆【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，再由
9、点斜式方程即可得到所求切线方程【解答】解：y=xcosx的导数为y=1+sinx，即有在点（，）处的切线斜率为k=1+sin=2，则曲线在点（，）处的切线方程为y=2（x），即为2xy=0故答案为：2xy=0【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，掌握导数的几何意义和运用点斜式方程是解题的关键6在平面直角坐标系xOy中，直线3x+4y5=0与圆x2+y2=4相交于A、B两点，则弦AB的长等于【考点】直线与圆的位置关系【专题】计算题【分析】求出圆心到直线3x+4y5=0的距离，利用勾股定理，可得结论【解答】解：圆x2+y2=4的圆心坐标为（0，0），半径为2圆心到直线3x+4y5=0的距离为=1
10、弦AB的长等于2=故答案为：【点评】本题考查圆心到直线的距离，考查垂径定理，考查学生的计算能力，属于基础题7记不等式x2+x60的解集为集合A，函数y=lg（xa）的定义域为集合B若“xA”是“xB”的充分条件，则实数a的取值范围为（，3【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】简易逻辑【分析】根据条件求出A，B，结合充分条件和必要条件的定义进行求解即可【解答】解：由x2+x60得3x2，即A（3，2），由xa0，得xa，即B=（a，+），若“xA”是“xB”的充分条件，则AB，即a3，故答案为：（，3【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的关系的应用，比较基础8若函数f（x）=是奇函
11、数，则使f（x）3成立的x的取值范围为（0，1）【考点】函数奇偶性的性质【专题】函数的性质及应用【分析】根据f（x）为奇函数，便有f（x）=f（x），从而可以求出a=1，从而得到，容易判断该函数在（0，+）上单调递减，并可判断x0时，f（x）1，且f（1）=3，从而可由f（x）3得到f（x）f（1），从而便得到0x1，这便求出了使f（x）3成立的x的取值范围【解答】解：f（x）为奇函数；f（x）=f（x）；即；1a2x=a2x；a=1；x0时，x增大时，2x1增大，从而f（x）减小；f（x）在（0，+）上单调递减；由f（x）3得，f（x）f（1）；解得0x1；x0时，2x10，f（x）1；不满
12、足f（x）3；综上所述，使f（x）3的x的取值范围为（0，1）故答案为：（0，1）【点评】考查奇函数的定义，根据单调性定义判断函数单调性的方法，指数函数的单调性，以及根据减函数的定义解不等式的方法9已知为第二象限角，则cos2=【考点】二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系【专题】计算题；压轴题；三角函数的求值【分析】由为第二象限角，可知sin0，cos0，从而可求得sincos的值，利用cos2=（sincos）（sin+cos）可求得cos2【解答】解：，两边平方得：1+sin2=，sin2=，（sincos）2=1sin2=，为第二象限角，sin0，cos0，sincos=，cos2=（
13、sincos）（sin+cos）=（）=故答案为：【点评】本题考查同角三角函数间的基本关系，突出二倍角的正弦与余弦的应用，求得sincos的值是关键，属于中档题10若函数f（x）=2|xa|（aR）满足f（1+x）=f（1x），且f（x）在m，+）上单调递增，则实数m的最小值等于1【考点】指数函数单调性的应用【专题】开放型；函数的性质及应用【分析】根据式子f（1+x）=f（1x），对称f（x）关于x=1对称，利用指数函数的性质得出：函数f（x）=2|xa|（aR），x=a为对称轴，在1，+）上单调递增，即可判断m的最小值【解答】解：f（1+x）=f（1x），f（x）关于x=1对称，函数f（x）
14、=2|xa|（aR）x=a为对称轴，a=1，f（x）在1，+）上单调递增，f（x）在m，+）上单调递增，m的最小值为1故答案为：1【点评】本题考查了指数型函数的单调性，对称性，根据函数式子对称函数的性质是本题解决的关键，难度不大，属于中档题11在菱形ABCD中，则=12【考点】平面向量数量积的运算【专题】平面向量及应用【分析】由题意可得=+=，且=，BAD=化简为+，再利用两个向量的数量积的定义求得结果【解答】解：在菱形ABCD中，则=+=（）+=，且=，BAD=故=（）（）=+=22cos+12=4+412=12，故答案为12【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向
15、量的数量积的定义，属于中档题12已知知函数f（x）=，xR，则不等式f（x22x）f（3x4）的解集是（1，2）【考点】其他不等式的解法【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】讨论x的符号，去绝对值，作出函数的图象，由图象可得原不等式即为或，分别解出它们，再求并集即可【解答】解：当x0时，f（x）=1，当x0时，f（x）=1，作出f（x）的图象，可得f（x）在（，0）上递增，不等式f（x22x）f（3x4）即为或，即有或，解得x2或1x，即有1x2则解集为（1，2）故答案为：（1，2）【点评】本题考查函数的单调性的运用：解不等式，主要考查二次不等式的解法，属于中档题和易错题13已知
16、f（x）是定义在2，2上的奇函数，当x（0，2时，f（x）=2x1，函数g（x）=x22x+m如果对于x12，2，x22，2，使得g（x2）=f（x1），则实数m的取值范围是5，2【考点】指数函数综合题；特称命题【专题】函数的性质及应用【分析】求出函数f（x）的值域，根据条件，确定两个函数的最值之间的关系即可得到结论【解答】解：f（x）是定义在2，2上的奇函数，f（0）=0，当x（0，2时，f（x）=2x1（0，3，则当x2，2时，f（x）3，3，若对于x12，2，x22，2，使得g（x2）=f（x1），则等价为g（x）max3且g（x）min3，g（x）=x22x+m=（x1）2+m1，x2
17、，2，g（x）max=g（2）=8+m，g（x）min=g（1）=m1，则满足8+m3且m13，解得m5且m2，故5m2，故答案为：5，2【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数最值之间的关系，综合性较强14当x2，1时，不等式ax3x2+4x+30恒成立，则实数a的取值范围是6，2【考点】函数恒成立问题【专题】导数的综合应用【分析】分x=0，0x1，2x0三种情况进行讨论，分离出参数a后转化为函数求最值即可，利用导数即可求得函数最值，注意最后要对a取交集【解答】解：当x=0时，不等式ax3x2+4x+30对任意aR恒成立；当0x1时，ax3x2+4x+30可化为a，令f（x）=，则f（
18、x）=+=（*），当0x1时，f（x）0，f（x）在（0，1上单调递增，f（x）max=f（1）=6，a6；当2x0时，ax3x2+4x+30可化为a，由（*）式可知，当2x1时，f（x）0，f（x）单调递减，当1x0时，f（x）0，f（x）单调递增，f（x）min=f（1）=2，a2；综上所述，实数a的取值范围是6a2，即实数a的取值范围是6，2故答案为：6，2【点评】本题考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想、分类与整合思想，按照自变量讨论，最后要对参数范围取交集若按照参数讨论则取并集，是中档题二、解答题（本大题共6小题，计90分）15已知，求值：（1）tan；（2）【考点】两角和与差的
19、正切函数；同角三角函数间的基本关系；二倍角的余弦【专题】计算题【分析】（1）由题意，可由正切的和角公式展开得，由此方程解出tan；（2）由正弦与余弦的二倍角公式将这形为，再由同角三角关系，将其变为将正切值代入即可求出代数式的值【解答】解：（1）由题意，可得，解得tan=（2）=由（1）tan=，=【点评】本题考查了两角的和的正切公式，正弦、余弦的二倍角公式，同角三角函数的基本关系，解题的关键是牢固记忆公式，能根据这些公式灵活变形，求出代数式的值，三角函数由于公式多，可选择的方法多，故解题时要注意选取最合适的方法解题16已知命题p：关于实数x的方程x2+mx+1=0有两个不等的负根；命题q：关于
20、实数x的方程4x2+4（m2）x+1=0无实根（1）命题“p或q”真，“p且q”假，求实数m的取值范围（2）若关于x的不等式（xm）（xm+5）0（mR）的解集为M；命题q为真命题时，m的取值集合为N当MN=M时，求实数m的取值范围【考点】复合命题的真假【专题】简易逻辑【分析】（1）分别求出命题p，q为真时的m的范围，通过讨论p，q的真假得到关于m的不等式组，解出即可；（2）先求出关于M、N的x的范围，根据NM，得到不等式组，解出即可【解答】解：（1）若方程x2+mx+1=0有两不等的负根，则，解得：m2，即命题p：m2，若方程4x2+4（m2）x+1=0无实根，则=16（m2）216=16（
21、m24m+3）0解得：1m3即命题q：1m3由题意知，命题p、q应一真一假，即命题p为真，命题q为假或命题p为假，命题q为真或，解得：m3或1m2（2）MN=M，NM，M=（m5，m），N=（1，3），解得：3m6【点评】本题考查了复合命题的判断，考查二次函数的性质，集合的关系，是一道中档题17已知向量=（sin2x，2cosx），=，函数f（x）=1（I）求f（x）的周期；（）在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若f（A）=1，b=1，ABC的面积为，求边a的值【考点】平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；余弦定理【专题】解三角形；平面向量及应用【分析】（I）由数量积的运算
22、和三角函数的公式可得f（x）=2sin（），可得周期；（II）由（I）结合条件可得A=，由面积可得c=2，代入余弦定理可得a值【解答】解：（I）由题意可得f（x）=1=1=sin2x+2cos2x1=sin2x+cos2x=2sin（），所以函数f（x）的最小正周期为T=；（II）由（I）可知：若f（A）=2sin（）=1，即sin（）=，可得=，A=，又SABC=bcsinA=，c=2，由余弦定理可得a2=b2+c22bccosA=1+44=3，a=【点评】本题考查三角函数的运算涉及平面向量的数量积和余弦定理，属中档题18如图为某仓库一侧墙面的示意图，其下部是矩形ABCD，上部是圆AB，该圆
23、弧所在的圆心为O，为了调节仓库内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH（其中E，F在圆弧AB上，G，H在弦AB上）过O作OPAB，交AB 于M，交EF于N，交圆弧AB于P，已知OP=10，MP=6.5（单位：m），记通风窗EFGH的面积为S（单位：m2）（1）按下列要求建立函数关系式：（i）设POF=（rad），将S表示成的函数；（ii）设MN=x（m），将S表示成x的函数；（2）试问通风窗的高度MN为多少时？通风窗EFGH的面积S最大？【考点】函数模型的选择与应用【专题】计算题；应用题；函数的性质及应用；导数的综合应用【分析】（1）由题意知，OF=OP=10，MP=6.5，OM
24、=3.5（i）在RtONF中与矩形EFGH中表示出边长，从而由S=EFFG写出面积公式S=10sin（20cos7），注意角的取值范围；（ii）在RtONF中与矩形EFGH中利用勾股定理等表示出边长，从而写出S=EFFG=x，注意x的取值范围；（2）方法一：选择（i）中的函数模型，利用导数确定函数的单调性，从而示函数的最大值及最大值点，再代入求NM的长度即可；方法二：选择（ii）中的函数模型，利用导数确定函数的单调性，从而示函数的最大值及最大值点即可【解答】解：（1）由题意知，OF=OP=10，MP=6.5，故OM=3.5（i）在RtONF中，NF=OFsin=10sin，ON=OFcos=1
25、0cos在矩形EFGH中，EF=2MF=20sin，FG=ONOM=10cos3.5，故S=EFFG=20sin（10cos3.5）=10sin（20cos7）即所求函数关系是S=10sin（20cos7），00，其中cos0=（ii）因为MN=x，OM=3.5，所以ON=x+3.5在RtONF中，NF=在矩形EFGH中，EF=2NF=，FG=MN=x，故S=EFFG=x即所求函数关系是S=x，（0x6.5） （2）方法一：选择（i）中的函数模型：令f（）=sin（20cos7），则f（）=cos（20cos7）+sin（20sin）=40cos27cos20由f（）=40cos27cos20
26、=0，解得cos=，或cos=因为00，所以coscos0，所以cos=设cos=，且为锐角，则当（0，）时，f（）0，f（）是增函数；当（，0）时，f（）0，f（）是减函数，所以当=，即cos=时，f（）取到最大值，此时S有最大值即MN=10cos3.5=4.5m时，通风窗的面积最大方法二：选择（ii）中的函数模型：因为S=，令f（x）=x2（35128x4x2），则f（x）=2x（2x9）（4x+39），因为当0x时，f（x）0，f（x）单调递增，当x时，f（x）0，f（x）单调递减，所以当x=时，f（x）取到最大值，此时S有最大值即MN=x=4.5m时，通风窗的面积最大【点评】本题考查了
27、导数在实际问题中的应用及三角函数的应用，属于中档题19已知函数f（x）=+，（1）求函数f（x）的定义域和值域；（2）设F（x）=f2（x）2+f（x）（其中a为参数），求F（x）的最大值g（a）【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法【专题】函数的性质及应用【分析】（1）由根式内部的代数式大于等于0联立不等式组求得函数的定义域；把函数解析式两边平方，求出f2（x）的范围后得函数值域；（2）把f2（x）、f（x）的解析式代入F（x）=f2（x）2+f（x），然后令t=f（x）=+换元，化为关于t的二次函数，然后结合二次函数的性质分类求得F（x）的最大值g（a）【解答】解：（1）由，得1x1，函
28、数f（x）的定义域为1，1；又f2（x）=2+22，4，由f（x）0，得值域为，2；（2）F（x）=f2（x）2+f（x）=a+，令t=f（x）=+，则=t21，F（x）=m（t）=a（t21）+t=at2+ta，t，2，由题意知g（a）即为函数m（t）=at2+ta，t，2的最大值注意到直线t=是抛物线mt=at2+ta的对称轴，当a=0时，m（t）=t，g（a）=2；当a0时，m（t）=at2+ta，t，2递增，g（a）=m（2）=a+2；当a0时：若t=（0，即a，则g（a）=m（）=；若t=（，2，即，则g（a）=m（）=a；若t=（2，+，即，则g（a）=m（2）=a+2综上有g（a
29、）=【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查了利用换元法和配方法求函数的值域，体现了分类讨论的数学思想方法，属中高档题20设函数f（x）=lnx，g（x）=（m0）（1）当m=1时，函数y=f（x）与y=g（x）在x=1处的切线互相垂直，求n的值；（2）若函数y=f（x）g（x）在定义域内不单调，求mn的取值范围；（3）是否存在实数a，使得f（）f（eax）+f（）0对任意正实数x恒成立？若存在，求出满足条件的实数a；若不存在，请说明理由【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用【分析】（1）分别求出f
30、（x）、g（x）的导数，求得在x=1处切线的斜率，由两直线垂直的条件，解方程即可得到n；（2）求出y=f（x）g（x）的导数，可得，得的最小值为负，运用基本不等式即可求得mn的范围；（3）假设存在实数a，运用构造函数，求出导数，求得单调区间和最值，结合不等式恒成立思想即有三种解法【解答】解：（1）当m=1时，y=g（x）在x=1处的切线斜率，由，y=f（x）在x=1处的切线斜率k=1，n=5（2）易知函数y=f（x）g（x）的定义域为（0，+），又，由题意，得的最小值为负，m（1n）4，m+（1n）4或m+1n4，mn3或mn5；（3）解法一、假设存在实数a，使得f（）f（eax）+f（）0对
31、任意正实数x恒成立令（x）=，其中x0，a0，则（x）=，设，（x）在（0，+）单调递减，（x）=0在区间（0，+）必存在实根，不妨设（x0）=0，即，可得（*）（x）在区间（0，x0）上单调递增，在（x0，+）上单调递减，所以（x）max=（x0），（x0）=（ax01）ln2a（ax01）lnx0，代入（*）式得，根据题意恒成立又根据基本不等式，当且仅当时，等式成立即有，即ax0=1，即代入（*）式得，即，解得解法二、假设存在实数a，使得f（）f（eax）+f（）0对任意正实数x恒成立令（x）=axln2aaxlnx+lnxln2a=（ax1）（ln2alnx），其中x0，a0根据条件对任
32、意正数x恒成立，即（ax1）（ln2alnx）0对任意正数x恒成立，且，解得且，即时上述条件成立，此时解法三、假设存在实数a，使得f（）f（eax）+f（）0对任意正实数x恒成立令（x）=axln2aaxlnx+lnxln2a=（ax1）（ln2alnx），其中x0，a0要使得（ax1）（ln2alnx）0对任意正数x恒成立，等价于（ax1）（2ax）0对任意正数x恒成立，即对任意正数x恒成立，设函数，则（x）的函数图象为开口向上，与x正半轴至少有一个交点的抛物线，因此，根据题意，抛物线只能与x轴有一个交点，即，所以【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，主要考查函数的单调性的运用，以及不等式恒成立思想的运用，考查运算能力，具有一定的综合性